लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का हो सकता है,जहाँ $m$ एक प्राकृतिक संख्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

(N/A) नहीं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को $b = 3q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 3$ है। अतः,कोई भी धनात्मक पूर्णांक $3k, 3k + 1$ या $3k + 2$ के रूप का होता है।
स्थिति $1$: यदि $b = 3k$ है,तो $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,जहाँ $m = 3k^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $b = 3k + 1$ है,तो $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 2k$ है।
स्थिति $3$: यदि $b = 3k + 2$ है,तो $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 4k + 1$ है।
सभी स्थितियों में,एक धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो $3m$ या $3m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है। इसलिए,यह $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।