Work Done by Constant Force Questions in Gujarati

(B) સાયકલ સવાર અટકે ત્યાં સુધીનું સ્થાનાંતર $s = 10 \,m$ છે.
રસ્તા દ્વારા સાયકલ પર લાગતું બળ $F = 200 \,N$ છે.
બળ ગતિ (સ્થાનાંતર) ની બિલકુલ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે.
અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ શોધવાનું સૂત્ર $W = F s \cos \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W = 200 \,N \times 10 \,m \times \cos 180^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 180^{\circ} = -1$,તેથી $W = 200 \times 10 \times (-1) = -2000 \,J$.
આમ,રસ્તા દ્વારા સાયકલ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય $-2000 \,J$ છે.

(C) જ્યારે માણસ દીવાલને ધક્કો મારે છે,ત્યારે તે દીવાલમાં કોઈ સ્થાનાંતર ઉત્પન્ન કરતો નથી.
સ્થાનાંતર $s = 0$ હોવાથી,કાર્ય $W$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$
$W = F \cdot 0 \cdot \cos(\theta) = 0$
તેથી,માણસ જરા પણ કાર્ય કરતો નથી.

(D) આપેલ બળ $F = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ છે.
ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$,જ્યાં $r = \sqrt{x^2+y^2}$.
આ કિંમતો બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$.
આ બળ એ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતું કેન્દ્રીય બળ છે,એટલે કે $F = \frac{K}{r^2} \hat{r}$.
કેન્દ્રીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int F \cdot dr = \int \frac{K}{r^2} dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ અચળ $(r = a)$ રહે છે.
વર્તુળાકાર પથ માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{l}$ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી બળ સદિશ $\vec{F}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,પથના દરેક બિંદુએ ડોટ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ થાય છે.
આમ,કુલ કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: બળ $F = 10 \ N$, દળ $m = 1.5 \ kg$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$, $g = 10 \ m/s^2$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, સમય $t = 6 \ s$.
સૌ પ્રથમ, ગતિક ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો: $f_k = \mu_k \cdot m \cdot g = 0.2 \times 1.5 \times 10 = 3 \ N$.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 10 - 3 = 7 \ N$ છે.
બ્લોકનો પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 7 / 1.5 = 14 / 3 \ m/s^2$ છે.
$t = 6 \ s$ માં સ્થાનાંતર $s = ut + (1/2)at^2 = 0 + (1/2) \times (14/3) \times (6)^2 = (1/2) \times (14/3) \times 36 = 7 \times 12 = 84 \ m$ મળે છે.
લગાડવામાં આવેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times s = 10 \times 84 = 840 \ J$ છે.

(C) વસ્તુનું સ્થાનાંતર $X$-અક્ષની દિશામાં $3 \text{ m}$ છે, તેથી સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = 3 \hat{i} \text{ m}$ છે.
આપેલ બળ સદિશ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ N}$ છે.
અચળ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i})$
$W = (2 \times 3)(\hat{i} \cdot \hat{i}) + (4 \times 0)(\hat{j} \cdot \hat{i})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ હોવાથી:
$W = 6 \times 1 + 0 = 6 \text{ J}$.

(D) પદાર્થનું દળ, $m = 10 \,kg$. બળ, $F = 4 \,N$. પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{4}{10} = 0.4 \,m/s^2$ છે।
સમયગાળા $0 \leq t \leq 1 \,s$ માટે, કાપેલું અંતર $s_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times (1)^2 = 0.2 \,m$ છે।
થયેલ કાર્ય $W_1 = F \times s_1 = 4 \times 0.2 = 0.8 \,J$ છે।
સમયગાળા $1 \,s \leq t \leq 2 \,s$ માટે, $t = 1 \,s$ સમયે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v_i = u + a t = 0 + 0.4 \times 1 = 0.4 \,m/s$ છે।
આ સમયગાળા $(t = 1 \,s)$ દરમિયાન કાપેલું અંતર $s_2 = v_i t + \frac{1}{2} a t^2 = 0.4 \times 1 + \frac{1}{2} \times 0.4 \times (1)^2 = 0.4 + 0.2 = 0.6 \,m$ છે।
થયેલ કાર્ય $W_2 = F \times s_2 = 4 \times 0.6 = 2.4 \,J$ છે।
ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{2.4}{0.8} = 3$ થાય.

(A) આપેલ છે, કણનું દળ $m = 30 \,g = 3 \times 10^{-2} \,kg$.
કણનું સ્થાન $x = \alpha t^2$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha$.
બળ $F = ma = (3 \times 10^{-2} \,kg) \times (2 \times 1 \,m/s^2) = 6 \times 10^{-2} \,N$.
થયેલ કાર્ય $W = \int F dx$. કારણ કે $x = \alpha t^2$, તેથી $dx = 2\alpha t dt$.
$t = 0$ સમયે, $x = 0$. $t = 4$ સમયે, $x = 1 \times (4)^2 = 16 \,m$.
$W = \int_{0}^{16} (6 \times 10^{-2}) dx = 6 \times 10^{-2} \times [x]_{0}^{16} = 6 \times 10^{-2} \times 16 = 0.96 \,J$.

(A) આપેલ છે:
$F_{1} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ N}$
$F_{2} = (4\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ N}$
$r_{1} = (20\hat{i} + 15\hat{j}) \text{ cm} = (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j}) \text{ m}$
$r_{2} = (7\hat{k}) \text{ cm} = (0.07\hat{k}) \text{ m}$
કુલ બળ $F = F_{1} + F_{2} = (1+4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
સ્થાનાંતર $s = r_{2} - r_{1} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0.07\hat{k}) - (0.2\hat{i} + 0.15\hat{j} + 0\hat{k}) = (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s = (5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-0.2\hat{i} - 0.15\hat{j} + 0.07\hat{k})$.
$W = (5 \times -0.2) + (-3 \times -0.15) + (1 \times 0.07)$.
$W = -1.0 + 0.45 + 0.07 = -0.48 \text{ J}$.

(C) કણનો પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = \hat{i} + 3 \hat{k}$ છે.
કણનો અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = -3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = \hat{i} + 5 \hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{s} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) - (\hat{i} + 3 \hat{k})$
$\vec{s} = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (\hat{i} + 5 \hat{k}) \cdot (-4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$W = (1)(-4) + (0)(4) + (5)(2)$
$W = -4 + 0 + 10 = 6 \ J$.

(D) $\text{આપેલ છે: દળ } m = 6 \,kg$, $\text{સ્થાનાંતર } s = \frac{t^2}{4} \,m$.
$\text{વેગ } v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$\text{પ્રવેગ } a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \,m/s^2$.
$\text{બળ } F = m \times a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \,N$.
$t = 2 \,s$ $\text{સમયે, સ્થાનાંતર } s = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \,m$.
$\text{થયેલ કાર્ય } W = F \times s = 3 \,N \times 1 \,m = 3 \,J$.

(B) પાત્રમાંથી પાણી બહાર કાઢવા માટે, આપણે પાણીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને પાત્રની ઉપરની સપાટી સુધી ઊંચકવું પડે.
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $L = 1 \,m$ છે.
પાણીનું કદ $V = L^3 = 1^3 = 1 \,m^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$ છે.
પાણીનું દળ $m = \rho V = 1000 \times 1 = 1000 \,kg$ છે.
પૂર્ણ ભરેલા સમઘન પાત્રમાં પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તળિયેથી $h_{cm} = L/2 = 0.5 \,m$ ની ઊંચાઈએ હોય છે.
પાણીને બહાર કાઢવા માટે, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને પાત્રની ટોચ સુધી ઊંચકવું પડે, જે પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિથી $h = L/2 = 0.5 \,m$ ની ઊંચાઈએ છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = mgh = 1000 \times 10 \times 0.5 = 5000 \,J$ છે.

(D) દોરડાના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{0.4 \,kg}{4 \,m} = 0.1 \,kg/m$ છે।
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 0.6 \,m$ છે।
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 0.1 \,kg/m \times 0.6 \,m = 0.06 \,kg$ થાય।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6 \,m}{2} = 0.3 \,m$ નીચે છે।
દોરડાને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, જે $W = mgh$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $W = 0.06 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 0.18 \,J$।

(C) આપેલ છે: $m = 2 \ kg$, $x(t) = t^2 + t + 1 \ m$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t + 1 \ m/s$ છે.
પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = 2 \ m/s^2$ છે.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી, પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = m \times a = 2 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 4 \ N$ છે.
સમયગાળા $t = 2 \ s$ થી $t = 3 \ s$ દરમિયાન સ્થાનાંતર $s = x(3) - x(2)$ છે.
$x(3) = (3)^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13 \ m$.
$x(2) = (2)^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \ m$.
$s = 13 - 7 = 6 \ m$.
થયેલ કાર્ય $W = F \times s = 4 \ N \times 6 \ m = 24 \ J$ છે.

(C) પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})\text{ N}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $(3\hat{i} - 4\hat{j})$ દિશામાં છે.
આ દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5}$ છે.
તેથી, સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = 25 \hat{u} = 25 \times \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5} = 5(3\hat{i} - 4\hat{j}) = (15\hat{i} - 20\hat{j})\text{ m}$ મળે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (15\hat{i} - 20\hat{j} + 0\hat{k})$.
$W = (5 \times 15) + (2 \times -20) + (2 \times 0) = 75 - 40 = 35\text{ J}$.