Work Done by Constant Force Questions in Gujarati

(C) બળ સદિશ $\vec{F}$ એ તેના મૂલ્ય અને $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\vec{F} = 30 \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\, N$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S}$ એ અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશનો તફાવત છે:
$\vec{S} = (3-2)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\, m$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ $\vec{F}$ અને $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{S} = [10\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})] \cdot [\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}]$
$W = 10\sqrt{3} (1 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 1) = 10\sqrt{3} \times 3 = 30\sqrt{3}\, J$.

(A) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = -3\hat{i}\, m$ છે.
ટ્રંક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$\vec{F}_1 = -5\hat{i}\, N$
$\vec{F}_2 = 9\cos(60^\circ)\hat{i} + 9\sin(60^\circ)\hat{j} = 4.5\hat{i} + 4.5\sqrt{3}\hat{j}\, N$
$\vec{F}_3 = -3\hat{j}\, N$
કુલ બળ $\vec{F}_{net}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = (-5 + 4.5)\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j} = -0.5\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j}\, N$
કુલ કાર્ય $W$ એ કુલ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F}_{net} \cdot \vec{s} = (-0.5\hat{i} + (4.5\sqrt{3} - 3)\hat{j}) \cdot (-3\hat{i})$
$W = (-0.5 \times -3) + (0) = 1.5\, J$.

(A) રસ્તા દ્વારા સાયકલ પર થતું કાર્ય એ રસ્તાને કારણે સાયકલ પર લાગતા અવરોધક (ઘર્ષણ) બળ દ્વારા થતું કાર્ય છે.
$(a)$ અવરોધક બળ અને સ્થાનાંતર એકબીજા સાથે $180^{\circ} \; (\pi \; \text{rad})$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,રસ્તા દ્વારા થતું કાર્ય,$W_{r} = F d \cos \theta$
$W_{r} = 200 \times 10 \times \cos(180^{\circ})$
$W_{r} = 2000 \times (-1) = -2000 \; J$
આ ઋણ કાર્ય જ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર સાયકલને સ્થિર કરે છે.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સાયકલને કારણે રસ્તા પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લાગે છે. તેનું મૂલ્ય $200 \; N$ છે. જોકે,રસ્તામાં કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી $(d = 0)$. તેથી,સાયકલ દ્વારા રસ્તા પર થતું કાર્ય $W = F \times 0 = 0 \; J$ છે.

(D) પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N}$ છે.
પદાર્થનું સ્થાનાંતર $z$-અક્ષ પર $4 \text{ m}$ જેટલું છે,તેથી સ્થાનાંતર સદિશ $s = 4\hat{k} \text{ m}$ થાય.
કાર્ય $(W)$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = F \cdot s$.
$W = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{k})$.
એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat{i} \cdot \hat{k} = 0, \hat{j} \cdot \hat{k} = 0, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1)$:
$W = (-1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 4) = 0 + 0 + 12 = 12 \text{ J}$.
તેથી,બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $12 \text{ J}$ છે.

(N/A) કાર્ય: બળનું મૂલ્ય અને બળની દિશામાં થયેલ સ્થાનાંતરના ગુણાકારને કાર્ય કહે છે.
$\therefore$ કાર્ય $=$ બળ $\times$ સ્થાનાંતર
જો બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોય,તો થયેલું કાર્ય ધન હોય છે. જો તેઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,તો થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે અને જો બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય,તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
ગતિઊર્જા: પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જાને ગતિઊર્જા કહે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાર્થના દળ અને તેના વેગના વર્ગના ગુણાકારના અડધા ભાગને ગતિઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\therefore$ ગતિઊર્જા $= \frac{1}{2} m v^{2}$
જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $v$ એ પદાર્થનો વેગ છે.

(N/A) અચળ બળ: જ્યારે પદાર્થ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય અને દિશા તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે,ત્યારે આવા બળને અચળ બળ કહેવામાં આવે છે.
કાર્ય: અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$\therefore W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$
જ્યાં $F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,$d$ એ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય છે,અને $\theta$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો સ્થાનાંતર એ લાગુ પાડેલા બળની દિશામાં ન હોય,તો કાર્યની ગણતરી બે રીતે કરી શકાય છે:
$(1)$ કાર્ય $=$ (બળ) $\times$ (બળની દિશામાં સ્થાનાંતરનો ઘટક) $= F(d \cos \theta)$
$(2)$ કાર્ય $=$ (સ્થાનાંતરની દિશામાં બળનો ઘટક) $\times$ (સ્થાનાંતર) $= (F \cos \theta)d$
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે બળ $\vec{F}$ એ સ્થાનાંતર $\vec{d}$ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે:
$(i)$ સ્થાનાંતરની દિશામાં બળનો ઘટક $F \cos \theta$ છે,જે કાર્ય કરવા માટે જવાબદાર છે.
$(ii)$ લંબ ઘટક $F \sin \theta$ કોઈ કાર્ય કરતું નથી કારણ કે તે સ્થાનાંતરને લંબ છે.

(N/A) કાર્યનું સામાન્ય સૂત્ર $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. ધન કાર્ય: જો બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ} \le \theta < 90^{\circ}$ ની વચ્ચે હોય,તો $\cos \theta$ ધન મળે છે. પરિણામે,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ ધન હોય છે. આ કિસ્સામાં,બળ પદાર્થની ગતિમાં મદદ કરે છે.
$2$. ઋણ કાર્ય: જો બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $90^{\circ} < \theta \le 180^{\circ}$ ની વચ્ચે હોય,તો $\cos \theta$ ઋણ મળે છે. પરિણામે,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ ઋણ હોય છે. આ કિસ્સામાં,બળ પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરે છે.

(N/A) કાર્ય એટલે પદાર્થ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય અને બળની દિશામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર.
ગાણિતિક રીતે,તેને બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$
જ્યાં:
$W$ એ કરેલું કાર્ય છે,
$F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,
$d$ એ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય છે,
$\theta$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે અને તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(C) બળ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે. બળને અચળ ગણવા માટે,સ્થાનાંતરની સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તેનું મૂલ્ય અને તેની દિશા બંને બદલાવા જોઈએ નહીં. જો મૂલ્ય અથવા દિશામાંથી કોઈ પણ બદલાય,તો તે બળને ચલ બળ ગણવામાં આવે છે. તેથી,સાચી સ્થિતિ એ છે કે બળનું મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ રહે છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું સ્થાનાંતર લાગુ પડેલા બળની વિરુદ્ધ દિશામાં થાય છે.
કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે પદાર્થ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$W = F \cdot s \cdot \cos(180^{\circ}) = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$.
આમ,થયેલું કાર્ય ઋણ છે.

(B) બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = F d \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$d$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,ઘર્ષણબળ $F = 200 \, N$ એ સ્થાનાંતર $d = 10 \, m$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) થશે.
આ કિંમતો મૂકતા: $W = 200 \times 10 \times \cos(180^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(180^{\circ}) = -1$,તેથી આપણને $W = 2000 \times (-1) = -2000 \, J$ મળે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય ધન હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે મુક્તપતન પામતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશામાં જ થાય છે.
કાર્યના સૂત્ર $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ મુજબ,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર બંને નીચેની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ થાય છે.
તેથી,$W = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = F \cdot d$,જે ધન મૂલ્ય છે.

(N/A) બળ $\overrightarrow{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $d\overrightarrow{l}$ પર થતું કાર્ય $dW = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી $\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l} = 0$.
વેગને $\vec{v} = \frac{d\overrightarrow{l}}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે $d\overrightarrow{l} = \vec{v} dt$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $\overrightarrow{F} \cdot (\vec{v} dt) = 0$.
અહીં $dt \neq 0$ હોવાથી,$\overrightarrow{F} \cdot \vec{v} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા કણના વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
જો કણ તેની ગતિની દિશા બદલે,તો વેગ સદિશ $\vec{v}$ બદલાય છે.
$\overrightarrow{F} \cdot \vec{v} = 0$ ની શરત જાળવી રાખવા માટે (એટલે કે $\overrightarrow{F}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ રહે),બળ $\overrightarrow{F}$ ની દિશા પણ $\vec{v}$ ની દિશામાં થતા ફેરફાર મુજબ બદલાવી જોઈએ.
તેથી,બળ વેગ પર આધારિત હોવું જોઈએ.

(B) જ્યારે પદાર્થ પર બળ લાગતું હોય ત્યારે કાર્ય થવા માટે,પદાર્થનું સ્થાનાંતર એવી દિશામાં થવું જરૂરી છે જે લાગુ પાડેલા બળની દિશાને લંબ ન હોય. ગાણિતિક રીતે,કાર્યને $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કાર્ય $W \neq 0$ થવા માટે,સ્થાનાંતર $\vec{d}$ નો બળ $\vec{F}$ ની દિશામાં ઘટક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta \neq 90^{\circ}$.

(C) કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ લગાડેલું બળ છે,$d$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે બળ $(F)$ અને સ્થાનાંતર $(d)$ સમાન છે. જો આપણે ધારીએ કે બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં જ લગાડવામાં આવે છે $(\theta = 0^\circ)$,તો કાર્ય $W = F \cdot d$ થશે.
આમ,$F$ અને $d$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર બંને પર થયેલું કાર્ય સમાન જ રહેશે.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{d}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
અહીં બળ સદિશ $\vec{F} = (-1, 2, 3) \,N$ છે.
સ્થાનાંતર $X$-અક્ષની દિશામાં $4 \,m$ છે,તેથી સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = (4, 0, 0) \,m$ થશે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$W = (-1 \times 4) + (2 \times 0) + (3 \times 0)$
$W = -4 + 0 + 0 = -4 \,J$.
આમ,બળ વડે થયેલું કાર્ય $-4 \,J$ છે.

(N/A) પદાર્થને ઉપરની દિશામાં ઊંચકવા માટે તેના પર બળ લગાડવામાં આવે છે અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર પણ ઉપરની દિશામાં જ થાય છે.
લગાડેલા બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવાથી,લગાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F d \cos 0^{\circ} = F d$ થાય,જે ધન છે.
$(b)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની દિશામાં લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર ઉપરની દિશામાં થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F d \cos 180^{\circ} = -F d$ થાય,જે ઋણ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કાર પર શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે,જ્યારે કાર આડી સડક પર ગતિ કરી રહી છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
કાર્યનું સૂત્ર $W = F d \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $W = F d \cos 90^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 0\,J$ છે.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કાર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $0\,J$ છે કારણ કે સ્થાનાંતર એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને લંબ છે.

(N/A) આપેલ છે: પુખ્ત વ્યક્તિનું વજન $W = mg = 600 \, N$,દરેક ડગલે ઊંચાઈ $h = 0.25 \, m$,ડગલાની લંબાઈ $l = 1 \, m$,કુલ અંતર $d = 6 \, km = 6000 \, m$.
કુલ ડગલાની સંખ્યા $n = \frac{d}{l} = \frac{6000 \, m}{1 \, m} = 6000$.
દરેક ડગલે વપરાતી ઉર્જા $E_{step} = mgh = 600 \, N \times 0.25 \, m = 150 \, J$.
જોગિંગમાં વપરાતી કુલ ઉર્જા $E_{total} = n \times E_{step} = 6000 \times 150 \, J = 9 \times 10^5 \, J$.
આપેલ છે કે શરીર ખોરાકમાંથી મળતી ઉર્જાના $10 \, \%$ નું કાર્યમાં રૂપાંતર કરે છે,ધારો કે $E_{food}$ એ કુલ લીધેલી ઉર્જા છે.
$0.10 \times E_{food} = 9 \times 10^5 \, J$.
$E_{food} = \frac{9 \times 10^5}{0.10} = 9 \times 10^6 \, J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{total}} = \Delta K$
$W_F + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$
અહીં,અચળ બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_F = Fx$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2} k x^2$ છે.
શરૂઆતની ગતિઊર્જા $K_i = 0$ (કારણ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે) અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$Fx - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 - 0$
$Fx - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2Fx - k x^2 = m v^2$
$v^2 = \frac{2Fx - k x^2}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2Fx - k x^2}{m}}$

(A) આપેલ છે કે બંને વ્યક્તિઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન છે: $W_A = W_B$.
કાર્યનું સૂત્ર $W = Fd \cos \theta$ છે.
વ્યક્તિ $A$ માટે: $W_A = F_A d \cos 45^{\circ}$.
વ્યક્તિ $B$ માટે: $W_B = F_B d \cos 60^{\circ}$.
બંનેને સરખાવતા: $F_A d \cos 45^{\circ} = F_B d \cos 60^{\circ}$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$F_A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = F_B \times \frac{1}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{F_A}{F_B}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આને $\frac{1}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સૂટકેસ અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = 0$ છે.
તેથી,તમામ બળો દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય $W_{\text{Porter}} + W_{\text{gravity}} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $W_{\text{Porter}} = -W_{\text{gravity}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mgh$ છે,જ્યાં $h$ એ સ્થાનાંતર છે.
અહીં,$m = 80\, \text{kg}$,$g = 9.8\, \text{m/s}^2$,અને $h = 80\, \text{cm} = 0.8\, \text{m}$.
કુલી સૂટકેસને નીચે ઉતારી રહ્યો હોવાથી,કુલી દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ ઉપરની તરફ છે જ્યારે સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે.
$W_{\text{Porter}} = -mgh = -(80) \times (9.8) \times (0.8) = -627.2\, \text{J}$.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
જ્યારે બળ $\vec{F}$ એ કણના વેગ $\vec{V}$ ને લંબ હોય છે,ત્યારે ગતિની દિશામાં બળનો ઘટક શૂન્ય થાય છે $(F \cos 90^{\circ} = 0)$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઝડપમાં થતો ફેરફાર બળના સ્પર્શક ઘટક પર આધાર રાખે છે. આ ઘટક શૂન્ય હોવાથી,કણની ઝડપ અચળ રહે છે.
જોકે,બળ વેગ સદિશની દિશામાં ફેરફાર કરે છે,તેથી વેગ સમાન રહેતો નથી. પરિણામે,વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ હોવાથી,વેગની દિશા બદલાવાને કારણે વેગમાન પણ બદલાય છે.

(D) બળ $\vec{F}$ એ અચળ બળ છે જે $\vec{F} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \;N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ ઉગમબિંદુ $(0,0) \;m$ થી $(4,0) \;m$ સુધી અને ત્યારબાદ $(4,3) \;m$ સુધી ગતિ કરે છે. કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $(0,0)$ થી અંતિમ સ્થાન $(4,3)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{d} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) \;m$ છે.
બળ અચળ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i} + 3 \hat{j})$
$W = (3 \times 4) + (4 \times 3)$
$W = 12 + 12 = 24 \;J$.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $24 \;J$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન,કણનું સ્થાનાંતર ઉપરની દિશામાં હોય છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_g = mg)$ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F_g \cdot H \cdot \cos(180^{\circ})$ છે.
$W = -mg \times \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
$W = -\frac{m u^2 \sin^2 \theta}{2}$.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = T - mg = ma$ છે.
અહીં પ્રવેગ $a = \frac{g}{3}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$T - mg = m(\frac{g}{3})$
$T = mg + \frac{mg}{3} = \frac{4}{3} mg$
તણાવબળ $T$ એ સ્થાનાંતર $h$ ની દિશામાં જ હોવાથી,તણાવબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \cdot h$ થશે.
$W = (\frac{4}{3} mg) \cdot h = \frac{4}{3} mgh$.

(C) બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈ માણસ તેના માથા પર ભાર વહન કરે છે,ત્યારે તેણે ગુરુત્વાકર્ષણનો સામનો કરવા માટે ભારના વજન $(F = mg)$ જેટલું ઉપરની તરફ બળ લગાડવું પડે છે.
જો તે ભારને સમક્ષિતિજ દિશામાં ખસેડે,તો સ્થાનાંતર એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (જે ભારને પકડી રાખવા માટે તે લગાડે છે) ને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ થાય. $\cos(90^\circ) = 0$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલ કાર્ય $0$ થાય છે.
જો તે ભારને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ઉઠાવે,તો સ્થાનાંતર એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બળની દિશામાં જ હોય છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ થાય. $\cos(0^\circ) = 1$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot s = mgs$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે તે ભારને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ઉઠાવે છે ત્યારે સૌથી વધુ કાર્ય થાય છે.

(C) અચળ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \theta$.
અહીં બળ $F$ અચળ અને સમક્ષિતિજ હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = F \times (\text{સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર})$ થશે.
વર્તુળાકાર ચાપની ભૂમિતિ પરથી,બ્લોક જ્યારે $A$ થી $B$ પર જાય છે ત્યારે તેનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $d = R \sin 60^{\circ}$ થાય છે.
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $d = R \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ મળે છે.
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = F \times \left(R \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} F R$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
બ્લોકને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ખેંચવામાં આવતો હોવાથી,તેના પર લાગતા બળો તણાવ બળ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
તેથી,$T - mg = ma$.
અહીં પ્રવેગ $a = \frac{g}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$T - mg = m\left(\frac{g}{4}\right)$
$T = mg + \frac{mg}{4} = \frac{5}{4}mg$.
તણાવ બળ $T$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \cdot h \cdot \cos(0^\circ)$ છે,કારણ કે સ્થાનાંતર તણાવ બળની દિશામાં જ છે.
$W = \left(\frac{5}{4}mg\right) \cdot h = \frac{5}{4}mgh$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ છે.
અચળ બળ $F$ દ્વારા $d$ અંતર સુધી થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d$ છે.
તેથી,$K_f = F \cdot d$.
અહીં $F$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K_f$ એ પદાર્થના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$ ના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
બળ $\vec{F} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k} \text{ N}$
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_i = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_f = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5-2) \hat{i} + (-2-3) \hat{j} + (1 - (-4)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$
કરેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k})$
$W = (5 \times 3) + (2 \times -5) + (7 \times 5)$
$W = 15 - 10 + 35 = 40 \text{ J}$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $W = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,દળ $m = 50 \ kg$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = 20 \ m$ સમાન છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ શિરોલંબ સ્થાનો પર આધાર રાખે છે,તે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,કિસ્સા-$1$ માં કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_1 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ છે.
કિસ્સા-$2$ માં કરવામાં આવેલું કાર્ય પણ $W_2 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ છે.
કરવામાં આવેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $W_1 : W_2 = 1000g : 1000g = 1: 1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) કાર્ય $(W)$ એ બળ $(\vec{F})$ અને સ્થાનાંતર $(\vec{S})$ નો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
આપેલ છે કે $\vec{F} = 2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{S} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી, $W = (2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(1) + (b)(-2) + (1)(-1) = 0$.
$2 - 2b - 1 = 0$.
$1 - 2b = 0$.
$2b = 1$.
તેથી, $b = \frac{1}{2}$.

(A) લટકતા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{\ell} \times \frac{2 \ell}{5} = \frac{2m}{5}$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{1}{2} \times \frac{2 \ell}{5} = \frac{\ell}{5}$ અંતરે નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = m'gh = \left( \frac{2m}{5} \right) g \left( \frac{\ell}{5} \right) = \frac{2mg \ell}{25}$.

(B) બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{s}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
આપેલ છે,$\vec{F} = -5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{s} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$14 = (-5 \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + a \hat{k})$
$14 = (-5)(3) + (-7)(-2) + (3)(a)$
$14 = -15 + 14 + 3a$
$14 = -1 + 3a$
$15 = 3a$
$a = 5$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K.E.$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
$W = K.E._{final} - 0 = K.E._{final}$
અચળ બળ $F$ દ્વારા $d$ અંતર કાપવા માટે થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$K.E. = F \cdot d$.
અહીં બળ $F$ અને અંતર $d$ અચળ હોવાથી,પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા પદાર્થના દળ $M$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r}_P = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \ m$ અને $\vec{r}_Q = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \ m$ આપેલ છે.
તેથી,$\vec{d} = (2-3) \hat{i} + (3-4) \hat{j} + (4-5) \hat{k} = (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) \ m$.
અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ દ્વારા મળે છે.
$W = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} - 1 \hat{j} - 1 \hat{k})$.
$W = (3 \times -1) + (4 \times -1) + (5 \times -1) = -3 - 4 - 5 = -12 \ J$.

(D) અચળ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = F \cdot S \cdot \cos(\theta)$, જ્યાં $S$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે।
આપેલ છે:
બળ $F = 30 \,kg-wt = 30 \times 9.8 \,N = 294 \,N$
સ્થાનાંતર $S = 20 \,m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 294 \times 20 \times \cos(60^{\circ})$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$, આપણને મળે છે:
$W = 294 \times 20 \times 0.5$
$W = 294 \times 10 = 2940 \,J$
તેથી, માળી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $2940 \,J$ છે।

(C) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ સમક્ષિતિજ સપાટીને લંબ રૂપે ઉપરની તરફ લાગે છે.
બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s$ એ સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે.
તેથી,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ અને સ્થાનાંતર $s$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે,તેથી લંબ પ્રતિક્રિયા દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = Ns \cos 90^\circ = 0$ થશે.

(C) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
સૌ પ્રથમ,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{d} = (6 - 3) \hat{\imath} + (-1 - 2) \hat{\jmath} + (4 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k} \text{ m}$.
હવે,થયેલા કાર્યની ગણતરી કરો:
$W = (5 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k})$.
$W = (5 \times 3) + (-2 \times -3) + (3 \times 5) = 15 + 6 + 15 = 36 \text{ J}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
આપેલ છે,બળ $\vec{F} = 2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
પદાર્થ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ સુધી જાય છે,તેથી સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r} - 0 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5 = 9 \text{ units}$.

(D) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{F} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \text{ N}$.
પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = (1 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m}$ છે.
અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = (2 \hat{i} + 0 \hat{j}) \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (2-1) \hat{i} + (0-2) \hat{j} = (1 \hat{i} - 2 \hat{j}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \cdot (1 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
$W = (3 \times 1) + (-2 \times -2) = 3 + 4 = 7 \text{ J}$.

(A) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \text{ N}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = (3 \hat{i} - 4 \hat{k}) \text{ m}$ છે.
અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (2 - 3) \hat{i} + (2 - 0) \hat{j} + (3 - (-4)) \hat{k} = (-1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ m}$ થાય.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (-1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k})$.
$W = (2 \times -1) + (3 \times 2) + (4 \times 7) = -2 + 6 + 28 = 32 \text{ J}$.

(C) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{d}$ દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
આપેલ છે:
$\vec{F} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) \text{ N}$
$\vec{d} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 1 \hat{k}) \text{ m}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$W = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 1 \hat{k})$
$W = (3 \times 2) + (2 \times 2) + (5 \times 1)$
$W = 6 + 4 + 5$
$W = 15 \text{ J}$
તેથી,થયેલું કાર્ય $15 \text{ J}$ છે.

(B) આપેલ બળ $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r_1} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
અંતિમ સ્થાન $\vec{r_2} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ m}$.
સ્થાનાંતર $\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (4-2) \hat{i} + (3-2) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
$W = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$W = (4 \times 2) + (2 \times 1) + (1 \times 1) = 8 + 2 + 1 = 11 \text{ J}$.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 2 \,kg$
ઢાળનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
કાપેલું અંતર,$d = 4 \,m$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$
બ્લોકને અચળ ઝડપે ખેંચવામાં આવતો હોવાથી,ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
તેથી,દોરડામાં રહેલું તણાવ $T$ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$T = mg \sin \theta$
$T = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$T = 20 \times 0.5 = 10 \,N$
તણાવ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W = T \times d \times \cos(0^{\circ})$
$W = 10 \,N \times 4 \,m \times 1$
$W = 40 \,J$

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $s = \frac{t^2}{4}$.
પદાર્થનો વેગ: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \ m/s$.
પદાર્થનો પ્રવેગ: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \ m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું બળ: $F = m \times a = 8 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 4 \ N$.
$t = 0 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $s(0) = 0 \ m$.
$t = 4 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $s(4) = \frac{4^2}{4} = 4 \ m$.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W = F \times \Delta s = 4 \ N \times (4 \ m - 0 \ m) = 16 \ J$.

(C) અચળ બળ દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = F s \cos \theta$
જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતરની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 0^{\circ} = F s$ (ધન).
જો $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 90^{\circ} = 0$ (શૂન્ય).
જો $\theta = 180^{\circ}$ હોય,તો $W = F s \cos 180^{\circ} = -F s$ (ઋણ).
તેથી,કાર્ય ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) અચળ બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = F \cdot s$.
આપેલ છે:
$F = (5 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ N}$
$s = (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (6 \hat{i} - 5 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$W = (5 \times 6) + (4 \times -5) + (0 \times 3)$
$W = 30 - 20 + 0$
$W = 10 \text{ J}$
આમ,બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $10 \text{ J}$ છે.