Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Hindi

(N/A) एक सेल में दो इलेक्ट्रोड,धनात्मक $(P)$ और ऋणात्मक $(N)$,आंशिक रूप से इलेक्ट्रोलाइट में डूबे होते हैं। रासायनिक अभिक्रियाओं के कारण धनात्मक और ऋणात्मक आयन उत्पन्न होते हैं,जो इलेक्ट्रोड और इलेक्ट्रोलाइट के बीच विभवांतर पैदा करते हैं।
धनात्मक इलेक्ट्रोड और इलेक्ट्रोलाइट के बीच विभवांतर $V_{+} (V_{+} > 0)$ है,और इलेक्ट्रोलाइट तथा ऋणात्मक इलेक्ट्रोड के बीच विभवांतर $V_{-} (V_{-} < 0)$ है।
जब परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,तो दो टर्मिनलों $P$ और $N$ के बीच विभवांतर $\varepsilon = V_{+} - (-V_{-}) = V_{+} + V_{-}$ होता है। इसे सेल का विद्युत वाहक बल (emf) कहा जाता है।
emf की परिभाषा: जब एक इकाई धनात्मक आवेश गैर-विद्युतीय बलों के कारण सेल के ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर गति करता है,तो आवेश द्वारा प्राप्त ऊर्जा को सेल का emf कहा जाता है।
जब एक प्रतिरोध $R$ को सेल से जोड़ा जाता है,तो परिपथ में धारा $I$ प्रवाहित होती है। प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = IR$ होता है।
सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के कारण,इसमें $Ir$ के बराबर विभव का पतन होता है। अतः,कुल emf $\varepsilon$ बाह्य प्रतिरोध पर विभवांतर और आंतरिक प्रतिरोध पर विभव पतन का योग है:
$\varepsilon = V + Ir$
$V = IR$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\varepsilon = IR + Ir = I(R + r)$।
अतः,संबंध $V = \varepsilon - Ir$ है।

(B) 'विद्युत वाहक बल' $(EMF)$ शब्द एक गलत नाम है क्योंकि यह यांत्रिक अर्थ में कोई बल नहीं है。
$EMF$ एक गैर-इलेक्ट्रोस्टैटिक स्रोत (जैसे बैटरी में रासायनिक प्रतिक्रिया) द्वारा एक इकाई धनात्मक आवेश को स्रोत के अंदर निम्न विभव टर्मिनल से उच्च विभव टर्मिनल तक ले जाने के लिए किए गए कार्य को दर्शाता है。
गणितीय रूप से, $EMF$ $(\varepsilon)$ को प्रति इकाई आवेश $(q)$ किए गए कार्य $(W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\varepsilon = \frac{W}{q}$.
इसलिए, यह स्रोत द्वारा प्रति इकाई आवेश प्रदान की गई ऊर्जा को दर्शाता है。

(B) ओपन सर्किट में,सेल से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,अर्थात $I = 0$।
सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$,सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
समीकरण में $I = 0$ रखने पर,हमें $V = E - (0)r = E$ प्राप्त होता है।
अतः,ओपन सर्किट में,टर्मिनल वोल्टेज सेल के $EMF$ के बराबर होता है।

(N/A) सेल का टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ वह विभवांतर है जो उसके टर्मिनलों के बीच तब होता है जब वह किसी बाहरी परिपथ को धारा $(I)$ प्रदान कर रहा होता है।
मान लीजिए $E$ सेल का इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स (emf) है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है।
जब सेल डिस्चार्ज हो रहा होता है,तो आंतरिक प्रतिरोध के कारण विभव पतन (potential drop) $Ir$ होता है।
टर्मिनल वोल्टेज,emf में से आंतरिक प्रतिरोध पर हुए विभव पतन को घटाने पर प्राप्त होता है।
अतः,संबंध है: $V = E - Ir$.

(A) जब परिपथ बंद होता है,तो सेल के इलेक्ट्रोलाइट और इलेक्ट्रोड द्वारा धारा के प्रवाह में जो विरोध उत्पन्न होता है,उसे सेल का आंतरिक प्रतिरोध कहा जाता है।
इसे प्रतीक $r$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बाह्य प्रतिरोध के विपरीत,जो प्रतिरोधकों या बल्ब जैसे घटकों के कारण होता है,आंतरिक प्रतिरोध सेल की रासायनिक संरचना और उसकी भौतिक स्थिति का एक अंतर्निहित गुण है।

(N/A) सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ को तब नगण्य माना जा सकता है जब परिपथ में जुड़ा बाहरी प्रतिरोध $R$,आंतरिक प्रतिरोध की तुलना में बहुत बड़ा हो $(R \gg r)$।
व्याख्या:
सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$ सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है,$I$ धारा है,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि $I = E / (R + r)$,हम लिख सकते हैं $V = E - [E / (R + r)] \cdot r = E \cdot [R / (R + r)]$।
यदि $R \gg r$ है,तो $(R + r) \approx R$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $V \approx E \cdot (R / R) = E$ प्राप्त होता है।
इस स्थिति में,आंतरिक प्रतिरोध के कारण होने वाला विभव पतन (potential drop) नगण्य होता है,और टर्मिनल वोल्टेज सेल के $EMF$ के लगभग बराबर होता है।

(A) $E$ विद्युत वाहक बल और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल को $R$ बाहरी प्रतिरोध से जोड़ने पर प्राप्त धारा $I$ का सूत्र है: $I = \frac{E}{R + r}$।
धारा $I$ को अधिकतम करने के लिए,हर $(R + r)$ का मान न्यूनतम होना चाहिए।
चूंकि आंतरिक प्रतिरोध $r$ सेल का एक स्थिर गुण है,इसलिए धारा तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध $R$ यथासंभव छोटा हो।
आदर्श रूप से,जब बाहरी प्रतिरोध $R = 0$ (शॉर्ट सर्किट स्थिति) होता है,तो धारा अधिकतम हो जाती है,जिसे $I_{max} = \frac{E}{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) दिए गए एक सेल से आवश्यक वोल्टेज या धारा प्राप्त नहीं की जा सकती है। इस स्थिति में एक से अधिक सेलों को विभिन्न संयोजनों में जोड़कर वांछित वोल्टेज या धारा प्राप्त की जा सकती है। इसे सेलों का संयोजन कहा जाता है।
सेलों को जोड़ने की तीन विधियाँ हैं:
$(1)$ श्रेणी क्रम संयोजन: परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ बढ़ाने के लिए उपयोग किया जाता है।
$(2)$ समांतर क्रम संयोजन: कुल धारा क्षमता बढ़ाने और परिपथ का आंतरिक प्रतिरोध कम करने के लिए उपयोग किया जाता है।
$(3)$ मिश्रित संयोजन: वोल्टेज और धारा की आवश्यकताओं के बीच इष्टतम संतुलन प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

(N/A) जब एक सेल का एक सिरा दूसरे सेल के विपरीत सिरे से जुड़ा होता है और शेष दो सिरे मुक्त रखे जाते हैं,तो ऐसे संयोजन को सेलों का श्रेणी संयोजन कहा जाता है।
चित्र में,$\varepsilon_1$ $emf$ और $r_1$ आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी $A$ और $B$ के बीच जुड़ी है और $\varepsilon_2$ $emf$ और $r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी $B$ और $C$ के बीच जुड़ी है।
मान लीजिए $A$ और $C$ के बीच तुल्य $emf$ $\varepsilon_{eq}$ है और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ है।
मान लीजिए बिंदु $A, B$ और $C$ पर विभव क्रमशः $V(A), V(B)$ और $V(C)$ हैं।
पहले सेल के सिरों के बीच विभवांतर $(p.d.)$ $V_{AB} = V(A) - V(B) = \varepsilon_1 - I r_1$ ... $(1)$
दूसरे सेल के सिरों के बीच विभवांतर $V_{BC} = V(B) - V(C) = \varepsilon_2 - I r_2$ ... $(2)$
$A$ और $C$ के बीच कुल विभवांतर:
$V_{AC} = V_{AB} + V_{BC} = (V(A) - V(B)) + (V(B) - V(C))$
$V_{AC} = (\varepsilon_1 - I r_1) + (\varepsilon_2 - I r_2) = (\varepsilon_1 + \varepsilon_2) - I(r_1 + r_2)$ ... $(3)$
तुल्य संयोजन के लिए,विभवांतर:
$V_{AC} = \varepsilon_{eq} - I r_{eq}$ ... $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ की तुलना करने पर:
$\varepsilon_{eq} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$
$r_{eq} = r_1 + r_2$
यदि सेलों को श्रेणी क्रम में विपरीत स्थिति में जोड़ा जाता है (अर्थात धनात्मक सिरा धनात्मक सिरे से),तो तुल्य $emf$ $\varepsilon_{eq} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ हो जाता है (जहाँ $\varepsilon_1 > \varepsilon_2$)।

(N/A) यदि दिए गए सेलों के धनात्मक टर्मिनलों को एक बिंदु पर और ऋणात्मक टर्मिनलों को दूसरे बिंदु पर जोड़ा जाता है,तो ऐसे संयोजन को सेलों का समांतर संयोजन कहा जाता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,$\varepsilon_{1}$ और $\varepsilon_{2}$ emf वाले और क्रमशः $r_{1}$ और $r_{2}$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेलों को $B_{1}$ और $B_{2}$ के बीच समांतर क्रम में जोड़ा गया है।
$\varepsilon_{1}$ emf वाले सेल में धारा $I_{1}$ है और $\varepsilon_{2}$ emf वाले सेल में धारा $I_{2}$ है।
$B_{1}$ जंक्शन पर कुल धारा $I = I_{1} + I_{2}$ है।
मान लीजिए कि $B_{1}$ और $B_{2}$ पर विभव क्रमशः $V(B_{1})$ और $V(B_{2})$ हैं। प्रत्येक सेल के बीच विभवांतर $V = V(B_{1}) - V(B_{2})$ इस प्रकार है:
$V = \varepsilon_{1} - I_{1}r_{1} \implies I_{1} = \frac{\varepsilon_{1} - V}{r_{1}}$
$V = \varepsilon_{2} - I_{2}r_{2} \implies I_{2} = \frac{\varepsilon_{2} - V}{r_{2}}$
इन मानों को कुल धारा के समीकरण में रखने पर:
$I = \frac{\varepsilon_{1} - V}{r_{1}} + \frac{\varepsilon_{2} - V}{r_{2}} = \left( \frac{\varepsilon_{1}}{r_{1}} + \frac{\varepsilon_{2}}{r_{2}} \right) - V \left( \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} \right)$
$V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V \left( \frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1}r_{2}} \right) = \left( \frac{\varepsilon_{1}r_{2} + \varepsilon_{2}r_{1}}{r_{1}r_{2}} \right) - I$
$V = \left( \frac{\varepsilon_{1}r_{2} + \varepsilon_{2}r_{1}}{r_{1} + r_{2}} \right) - I \left( \frac{r_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \right)$
इसे समतुल्य परिपथ के समीकरण $V = \varepsilon_{eq} - Ir_{eq}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\varepsilon_{eq} = \frac{\varepsilon_{1}r_{2} + \varepsilon_{2}r_{1}}{r_{1} + r_{2}}$ और $r_{eq} = \frac{r_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2}}$.

(N/A) मान लीजिए $n$ समान सेल,प्रत्येक का emf $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,श्रेणीक्रम में जुड़कर एक पंक्ति बनाते हैं। ऐसी $m$ पंक्तियाँ समांतर क्रम में जुड़ी हैं और यह संयोजन एक बाह्य प्रतिरोध $R$ से जुड़ा है।
$1$. एक पंक्ति का कुल emf: $\varepsilon_{eq} = n\varepsilon$.
$2$. एक पंक्ति का कुल आंतरिक प्रतिरोध: $r_{eq} = nr$.
$3$. चूंकि ऐसी $m$ पंक्तियाँ समांतर में हैं,इसलिए संयोजन का कुल समतुल्य emf $\varepsilon_{total} = n\varepsilon$ होगा।
$4$. $m$ समांतर पंक्तियों का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{total}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{r_{total}} = \frac{1}{nr} + \frac{1}{nr} + \dots (m \text{ बार}) = \frac{m}{nr}$. अतः,$r_{total} = \frac{nr}{m}$.
$5$. परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{nr}{m} = \frac{mR + nr}{m}$ होगा।
$6$. बाह्य प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{\varepsilon_{total}}{R_{total}} = \frac{n\varepsilon}{\frac{mR + nr}{m}} = \frac{mn\varepsilon}{mR + nr}$ प्राप्त होती है।

(N/A) विभिन्न वोल्टेज या धारा आवश्यकताओं को प्राप्त करने के लिए सेलों को मुख्य रूप से तीन तरीकों से जोड़ा जा सकता है:
$1$. श्रेणी संयोजन: सेल एक-दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े होते हैं। एक सेल का धनात्मक टर्मिनल अगले सेल के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा होता है। कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ व्यक्तिगत $EMF$ का योग होता है $(E_{eq} = E_1 + E_2 + ... + E_n)$,और कुल आंतरिक प्रतिरोध व्यक्तिगत आंतरिक प्रतिरोधों का योग होता है $(r_{eq} = r_1 + r_2 + ... + r_n)$। इसका उपयोग कुल वोल्टेज बढ़ाने के लिए किया जाता है।
$2$. समांतर संयोजन: सभी धनात्मक टर्मिनल एक साथ और सभी ऋणात्मक टर्मिनल एक साथ जुड़े होते हैं। समतुल्य $EMF$ $E_{eq} = \frac{\sum (E_i / r_i)}{\sum (1 / r_i)}$ द्वारा दिया जाता है,और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $\frac{1}{r_{eq}} = \sum \frac{1}{r_i}$ होता है। इसका उपयोग धारा क्षमता बढ़ाने और आंतरिक प्रतिरोध को कम करने के लिए किया जाता है।
$3$. मिश्रित संयोजन: एक ऐसा संयोजन जिसमें श्रेणीक्रम में जुड़े सेलों की पंक्तियों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है। इसका उपयोग बाहरी परिपथ में अधिकतम शक्ति आउटपुट प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

(N/A) $1$. सेलों का श्रेणी क्रम संयोजन: जब सेलों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो एक सेल का धनात्मक टर्मिनल अगले सेल के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा होता है। इस व्यवस्था में,कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ व्यक्तिगत सेलों के $EMF$ का योग होता है $(E_{eq} = E_1 + E_2 + ... + E_n)$,और कुल आंतरिक प्रतिरोध व्यक्तिगत आंतरिक प्रतिरोधों का योग होता है $(r_{eq} = r_1 + r_2 + ... + r_n)$। इस विन्यास का उपयोग कुल वोल्टेज आउटपुट बढ़ाने के लिए किया जाता है।
$2$. सेलों का समांतर क्रम संयोजन: जब सेलों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो सभी धनात्मक टर्मिनल एक साथ और सभी ऋणात्मक टर्मिनल एक साथ जुड़े होते हैं। इस व्यवस्था में,समतुल्य $EMF$ एक सेल के $EMF$ के बराबर रहता है (यदि सभी सेल समान हैं,तो $E_{eq} = E$),जबकि कुल आंतरिक प्रतिरोध कम हो जाता है $(1/r_{eq} = 1/r_1 + 1/r_2 + ... + 1/r_n)$। इस विन्यास का उपयोग धारा क्षमता बढ़ाने और कुल आंतरिक प्रतिरोध को कम करने के लिए किया जाता है।

(N/A) समांतर क्रम में जुड़े $n$ सेलों के लिए,जहाँ प्रत्येक सेल का विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon_i$ और आंतरिक प्रतिरोध $r_i$ है,तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\varepsilon_{eq} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon_i}{r_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{r_i}}$
यदि सभी सेल समान emf $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ के हैं,तो तुल्य emf सरल होकर निम्न हो जाता है:
$\varepsilon_{eq} = \varepsilon$

(N/A) जब $n$ सेल,जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $E_i$ और आंतरिक प्रतिरोध $r_i$ है,श्रेणी क्रम में जोड़े जाते हैं,तो कुल विद्युत वाहक बल $E_{eq}$ सेलों के व्यक्तिगत विद्युत वाहक बलों का बीजगणितीय योग होता है।
समतुल्य emf के लिए समीकरण इस प्रकार है:
$E_{eq} = E_1 + E_2 + E_3 + ... + E_n = \sum_{i=1}^{n} E_i$
यदि सभी सेल समान हैं,प्रत्येक का emf $E$ है,तो समतुल्य emf:
$E_{eq} = nE$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दो सेलों के विद्युत वाहक बल $E_1$ और $E_2$ हैं और आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ और $r_2$ हैं।
श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य emf $E_s = E_1 + E_2$ होता है।
समांतर संयोजन के लिए,तुल्य emf $E_p = \frac{E_1r_2 + E_2r_1}{r_1 + r_2}$ होता है।
यदि हम मान लें कि दोनों सेल समान हैं,अर्थात $E_1 = E_2 = E$ और $r_1 = r_2 = r$:
श्रेणी क्रम में,$E_s = E + E = 2E$।
समांतर क्रम में,$E_p = \frac{Er + Er}{r + r} = \frac{2Er}{2r} = E$।
श्रेणी और समांतर संयोजन के तुल्य emf का अनुपात $\frac{E_s}{E_p} = \frac{2E}{E} = 2:1$ होगा।

(N/A) श्रेणीक्रम में जुड़े सेलों का तुल्य आंतरिक प्रतिरोध:
$r = r_1 + r_2 = 2 + 8 = 10 \ \Omega$
चूंकि $E_1 > E_2$,परिपथ का तुल्य $emf$:
$E = E_1 - E_2 = 6 - 4 = 2 \ V$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I$:
$I = \frac{E}{r} = \frac{2}{10} = 0.2 \ A$
धारा उच्च विभव वाले सेल $(E_1)$ से निम्न विभव वाले सेल $(E_2)$ की ओर बहती है।
बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
$V_A - E_2 - I r_2 = V_B$
$V_A - V_B = E_2 + I r_2$
$V_A - V_B = 4 + (0.2 \times 8)$
$V_A - V_B = 4 + 1.6 = 5.6 \ V$

(C) सेल श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं। परिपथ का कुल $emf$ $E_{eq} = E_{1} - E_{2} = 6 V - 4 V = 2 V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = r_{1} + r_{2} = 2 \Omega + 8 \Omega = 10 \Omega$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2 V}{10 \Omega} = 0.2 A$ है।
बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम सेल $E_{2}$ के माध्यम से $X$ से $Y$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हैं:
$V_{X} - E_{2} - I \cdot r_{2} = V_{Y}$
$V_{X} - V_{Y} = E_{2} + I \cdot r_{2}$
$V_{X} - V_{Y} = 4 V + (0.2 A \times 8 \Omega) = 4 V + 1.6 V = 5.6 V$.
अतः,बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच विभवांतर $5.6 V$ है।

(A) माना $n = 5$ सेलों की संख्या है,$E = 5\, V$ प्रत्येक सेल का $emf$ है,और $r = 1\, \Omega$ प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
श्रेणी संयोजन के लिए,कुल $emf$ $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है। धारा $i_1$ इस प्रकार है:
$i_1 = \frac{nE}{R + nr} = \frac{5 \times 5}{R + 5 \times 1} = \frac{25}{R + 5}$
समानांतर संयोजन के लिए,कुल $emf$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/n$ है। धारा $i_2$ इस प्रकार है:
$i_2 = \frac{E}{R + r/n} = \frac{5}{R + 1/5} = \frac{5 \times 5}{5R + 1} = \frac{25}{5R + 1}$
दिया गया है कि $i_1 = i_2$,इसलिए:
$\frac{25}{R + 5} = \frac{25}{5R + 1}$
$R + 5 = 5R + 1$
$4 = 4R$
$R = 1\, \Omega$

(B) लोड प्रतिरोध $R$ पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ को सूत्र $V = \frac{E \cdot R}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $emf$ है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
पहले मामले के लिए: $1.25 = \frac{E \cdot 5}{5 + r} \implies 1.25(5 + r) = 5E \implies 6.25 + 1.25r = 5E \implies 1.25 + 0.25r = E \dots (i)$
दूसरे मामले के लिए: $1 = \frac{E \cdot 2}{2 + r} \implies 2 + r = 2E \implies 1 + 0.5r = E \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$1.25 + 0.25r = 1 + 0.5r$
$0.25 = 0.25r \implies r = 1\, \Omega$
समीकरण $(ii)$ में $r = 1$ रखने पर:
$E = 1 + 0.5(1) = 1.5\, V$
दिया गया है कि $E = \frac{x}{10}\, V$,इसलिए:
$1.5 = \frac{x}{10} \implies x = 15$.

(C) दो $20 \,\Omega$ प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R$ का मान $\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है,जिसका अर्थ है $R = 10 \,\Omega$।
$E = 1.5 \,V$ emf और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले दो समान सेल समानांतर में जुड़े हैं। समतुल्य emf $E_{eq} = E = 1.5 \,V$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r}{2}$ है।
बाहरी प्रतिरोध के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ का मान $V = E_{eq} - I r_{eq}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ कुल धारा है।
दिया गया है $V = 1.2 \,V$,इसलिए $1.2 = 1.5 - I \left(\frac{r}{2}\right)$,जिसका अर्थ है $I \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$।
साथ ही,कुल धारा $I$ का मान $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{1.5}{10 + \frac{r}{2}}$ है।
$I$ का मान $I \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$ समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{1.5}{10 + \frac{r}{2}}\right) \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3$
$1.5 \left(\frac{r}{2}\right) = 0.3 \left(10 + \frac{r}{2}\right)$
$0.75r = 3 + 0.15r$
$0.6r = 3$
$r = \frac{3}{0.6} = 5 \,\Omega$।

(A) परिपथ का कुल emf $2E$ है और कुल प्रतिरोध $R + r_{1} + r_{2}$ है।
परिपथ में धारा $I$ का मान है:
$I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \quad \dots (i)$
दूसरे सेल (emf $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r_{2}$ के साथ) के सिरों पर विभवांतर $V = E - Ir_{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दूसरे सेल के सिरों पर विभवांतर शून्य है:
$E - Ir_{2} = 0 \Rightarrow I = \frac{E}{r_{2}} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से $I$ के मानों की तुलना करने पर:
$\frac{E}{r_{2}} = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$
$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{2}$
$R = 2r_{2} - r_{2} - r_{1}$
$R = r_{2} - r_{1}$

(A) माना प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = 2 \,\Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है। धारा $I_1$ इस प्रकार है:
$I_1 = \frac{2E}{2r + R} = \frac{2E}{2r + 2} = \frac{E}{r + 1}$
समांतर क्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/2$ है। धारा $I_2$ इस प्रकार है:
$I_2 = \frac{E}{r/2 + R} = \frac{E}{r/2 + 2} = \frac{2E}{r + 4}$
यह दिया गया है कि $I_1 = I_2$,इसलिए:
$\frac{E}{r + 1} = \frac{2E}{r + 4}$
दोनों पक्षों से $E$ को हटाने पर:
$\frac{1}{r + 1} = \frac{2}{r + 4}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$r + 4 = 2(r + 1)$
$r + 4 = 2r + 2$
$r = 2 \,\Omega$.

(A) श्रेणी संयोजन का कुल emf $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r_{1} + r_{2}$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{r_{1} + r_{2} + R}$ द्वारा दी जाती है।
$r_{1}$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के सिरों पर विभवांतर $V = E - I r_{1}$ है।
दिया गया है कि $V = 0$,इसलिए $E - I r_{1} = 0$,जिसका अर्थ है $E = I r_{1}$।
$I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{r_{1} + r_{2} + R} \right) r_{1}$
$1 = \frac{2 r_{1}}{r_{1} + r_{2} + R}$
$r_{1} + r_{2} + R = 2 r_{1}$
$R = 2 r_{1} - r_{1} - r_{2}$
$R = r_{1} - r_{2}$

(D) मान लीजिए कि सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r_i$ है।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t = \left(\frac{E}{R+r_i}\right)^2 R t$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों स्थितियों में समान समय $t$ के लिए उत्पन्न ऊष्मा समान है।
इसलिए,$\frac{E^2 R}{(R+r_i)^2} t = \frac{E^2 r}{(r+r_i)^2} t$.
दोनों पक्षों से $E^2 t$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{R}{(R+r_i)^2} = \frac{r}{(r+r_i)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{R}}{R+r_i} = \frac{\sqrt{r}}{r+r_i}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $\sqrt{R}(r+r_i) = \sqrt{r}(R+r_i)$.
$\sqrt{R}r + \sqrt{R}r_i = \sqrt{r}R + \sqrt{r}r_i$.
$r_i$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $r_i(\sqrt{R} - \sqrt{r}) = R\sqrt{r} - r\sqrt{R}$.
$r_i(\sqrt{R} - \sqrt{r}) = \sqrt{Rr}(\sqrt{R} - \sqrt{r})$.
अतः,$r_i = \sqrt{Rr}$.

(A) श्रेणी संयोजन का कुल emf $1000E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $1000r$ है।
चूंकि कोई बाहरी प्रतिरोध नहीं है,इसलिए परिपथ में धारा $i = \frac{\text{कुल emf}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{1000E}{1000r} = \frac{E}{r}$ है।
एक सेल के सिरों पर विभवांतर $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है।
$i$ का मान रखने पर,$V = E - (\frac{E}{r})r = E - E = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक व्यक्तिगत सेल पर विभवांतर $0$ है,इसलिए इस श्रेणी विन्यास में जुड़े किसी भी संख्या के सेलों (जिसमें $399$ सेल शामिल हैं) पर कुल विभवांतर $399 \times 0 = 0$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दो बैटरियों के $e.m.f.$ मान $E_1$ और $E_2$ हैं,और परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_1 + r_2$ है।
जब बैटरियों को समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $e.m.f.$ $E_1 + E_2$ होता है। धारा $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R_{total}} = 3.0 \,A$ द्वारा दी जाती है।
जब एक बैटरी की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल $e.m.f.$ $E_1 - E_2$ हो जाता है (यह मानते हुए कि $E_1 > E_2$)। धारा $I_2 = \frac{E_1 - E_2}{R_{total}} = 1.0 \,A$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{3}{1} = 3$.
वज्र-गुणन करने पर: $E_1 + E_2 = 3(E_1 - E_2) \implies E_1 + E_2 = 3E_1 - 3E_2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4E_2 = 2E_1 \implies \frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{2} = 2$.

(B) माना $P$ समांतर पंक्तियों की संख्या है और $S$ प्रत्येक पंक्ति में सेलों की संख्या है। व्यवस्था का कुल विद्युत वाहक बल $E_{eq} = S \cdot E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{S \cdot r}{P}$ है।
धारा $I = \frac{S \cdot E}{S \cdot r + P \cdot R} \cdot P$ द्वारा दी जाती है। दिए गए मान रखने पर: $24 = \frac{S \cdot 6}{\frac{S \cdot 0.5}{P} + 0.75} \implies 24 = \frac{6SP}{0.5S + 0.75P} \implies 4(0.5S + 0.75P) = SP \implies 2S + 3P = SP$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $SP - 2S - 3P = 0$, या $(S-3)(P-2) = 6$ प्राप्त होता है। कुल सेलों की संख्या $N = S \cdot P$ को न्यूनतम करने के लिए, $6$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं:
$1$) यदि $S-3=1, P-2=6 \implies S=4, P=8, N=32$।
$2$) यदि $S-3=2, P-2=3 \implies S=5, P=5, N=25$।
$3$) यदि $S-3=3, P-2=2 \implies S=6, P=4, N=24$।
$4$) यदि $S-3=6, P-2=1 \implies S=9, P=3, N=27$।
न्यूनतम सेलों की संख्या $24$ है, जो $P=4$ पंक्तियों और $S=6$ सेलों प्रति पंक्ति के साथ प्राप्त होती है।

(A) समानांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए,तुल्य emf $E_{\text{eq}}$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E_{\text{eq}} = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}}$
चूंकि तीनों सेल समान हैं,जहाँ $E = 10 \ V$ और $r = 3 \ \Omega$ है,इसलिए:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{10}{3} + \frac{10}{3} + \frac{10}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}$
$E_{\text{eq}} = \frac{10}{1} = 10 \ V$
वैकल्पिक रूप से,समानांतर क्रम में जुड़े समान सेलों के लिए,तुल्य emf एक सेल के emf के बराबर होता है। अतः,कुल emf $10 \ V$ है।

(B) सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$,समीकरण $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
प्रथम स्थिति के लिए: $0.9 = E - 0.3r$ --- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए: $1.0 = E - 0.25r$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(1.0 - 0.9) = (E - 0.25r) - (E - 0.3r)$
$0.1 = -0.25r + 0.3r$
$0.1 = 0.05r$
$r = \frac{0.1}{0.05} = 2 \, \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।

(C) जब सेल श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल आंतरिक प्रतिरोध व्यक्तिगत आंतरिक प्रतिरोधों का योग होता है,चाहे उनकी ध्रुवीयता कुछ भी हो।
चूँकि यहाँ $5$ सेल हैं,जिनमें से प्रत्येक का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,इसलिए कुल समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = r + r + r + r + r = 5r$.
अतः,समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $5r$ है।

(B) दिया गया है: सेलों की कुल संख्या $(n) = 10$ है।
प्रत्येक सेल का विभव $= E$; प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $= r$ है।
श्रेणी परिपथ का कुल $EMF$ $= 10E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 10r$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में बहने वाली धारा $(I) = \frac{\text{कुल EMF}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{10E}{10r} = \frac{E}{r}$ है।
तीन सेलों के सिरों पर जुड़ा एक आदर्श वोल्टमीटर उन तीन सेलों के बीच विभवांतर को मापता है।
$3$ सेलों के बीच विभवांतर $(V) = I \times (3r)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I$ का मान रखने पर,$V = \left(\frac{E}{r}\right) \times 3r = 3E$ प्राप्त होता है।
अतः,वोल्टमीटर $3E$ का पाठ्यांक दर्शाएगा।

(B) बाहरी प्रतिरोध $R$ से बहने वाली धारा ज्ञात करने के लिए,हम पहले समानांतर में जुड़े दो सेलों का तुल्य emf $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ ज्ञात करते हैं।
समानांतर में जुड़े सेलों के लिए तुल्य emf का सूत्र है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ $E_1 = 12 \, V$,$r_1 = 3 \, \Omega$ और $E_2 = 6 \, V$,$r_2 = 6 \, \Omega$ दिया गया है। ध्यान दें कि सेल इस तरह जुड़े हैं कि उनकी ध्रुवता एक-दूसरे के विपरीत है,इसलिए:
$E_{eq} = \frac{\frac{12}{3} - \frac{6}{6}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{4 - 1}{\frac{2+1}{6}} = \frac{3}{\frac{3}{6}} = \frac{3}{0.5} = 6 \, V$
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies r_{eq} = 2 \, \Omega$
अब,परिपथ एक $6 \, V$ और $2 \, \Omega$ के सेल और $4 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध $R$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
धारा $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R} = \frac{6}{2 + 4} = \frac{6}{6} = 1 \, A$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का $EMF$ $\varepsilon$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $2\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है। $R = 5\,\Omega$ के बाहरी प्रतिरोध में धारा $i$ है:
$i = \frac{2\varepsilon}{R + 2r} = \frac{2\varepsilon}{5 + 2r} \dots (1)$
समानांतर संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है। $R = 5\,\Omega$ के बाहरी प्रतिरोध में धारा $i$ है:
$i = \frac{\varepsilon}{R + \frac{r}{2}} = \frac{\varepsilon}{5 + \frac{r}{2}} \dots (2)$
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा समान है,$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2\varepsilon}{5 + 2r} = \frac{\varepsilon}{5 + \frac{r}{2}}$
दोनों पक्षों को $\varepsilon$ से विभाजित करने और तिरछा गुणा करने पर:
$2(5 + \frac{r}{2}) = 5 + 2r$
$10 + r = 5 + 2r$
$r = 5\,\Omega$
अतः,प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $5\,\Omega$ है।

(A) दिया गया है:
$emf (E) = 4\,V$
आंतरिक प्रतिरोध $(r) = 0.5\,\Omega$
बाहरी प्रतिरोध $(R) = 7.5\,\Omega$
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित धारा $(I)$ की गणना करें:
$I = \frac{E}{R + r} = \frac{4}{7.5 + 0.5} = \frac{4}{8} = 0.5\,A$
टर्मिनल विभवांतर $(V)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = E - Ir$
$V = 4 - (0.5 \times 0.5)$
$V = 4 - 0.25$
$V = 3.75\,V$
वैकल्पिक रूप से,$V = IR = 0.5 \times 7.5 = 3.75\,V$.

(A) श्रेणीक्रम में जुड़े दो सेलों का कुल emf $E_{eq} = 1.5\,V + 1.5\,V = 3.0\,V$ है।
मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। श्रेणीक्रम परिपथ में कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{int} = r + r = 2r$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_{int} = 10 + 2r$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{10 + 2r}$ द्वारा दी जाती है।
$10\,\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V = 1.5\,V$ दिया गया है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V = I \times R$,हमें प्राप्त होता है $1.5 = \left( \frac{3}{10 + 2r} \right) \times 10$.
$1.5(10 + 2r) = 30$.
$15 + 3r = 30$.
$3r = 15$.
$r = 5\,\Omega$.

(B) परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल (emf) $E_{eq} = E_1 - E_2 = 8 \ V - 2 \ V = 6 \ V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = r_1 + r_2 = 2 \ \Omega + 4 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{6 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
चूंकि सेल $E_2$ चार्ज हो रहा है (धारा इसके धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है),इसका टर्मिनल विभवांतर $V = E_2 + Ir_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $V = 2 \ V + (1 \ A \times 4 \ \Omega) = 2 \ V + 4 \ V = 6 \ V$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r = 2 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_1 = (\frac{2E}{R+2})^2 R$ है।
समांतर क्रम संयोजन के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/2 = 0.5 \Omega$ है। $R$ में व्ययित शक्ति $J_2 = (\frac{E}{R+0.5})^2 R$ है।
दिया गया है कि $J_1 = 2.25 J_2$,इसलिए $(\frac{2E}{R+2})^2 R = 2.25 (\frac{E}{R+0.5})^2 R$.
दोनों पक्षों को $E^2 R$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4}{(R+2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R+0.5)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{2}{R+2} = \frac{1.5}{R+0.5}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(R+0.5) = 1.5(R+2)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2R + 1 = 1.5R + 3$ मिलता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$0.5R = 2$ प्राप्त होता है,अतः $R = 4 \Omega$।

(B) परिपथ में दो बैटरियां एक लूप में जुड़ी हुई हैं। समांतर संयोजन के लिए तुल्य emf $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ $E_1 = 6 \text{ V}$, $r_1 = 1 \text{ }\Omega$, $E_2 = 3 \text{ V}$, $r_2 = 2 \text{ }\Omega$ दिया गया है (ध्रुवता पर ध्यान दें, $3 \text{ V}$ की बैटरी $6 \text{ V}$ की बैटरी के विपरीत दिशा में जुड़ी है)।
$E_{eq} = \frac{\frac{6}{1} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{6 - 1.5}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3 \text{ V}$.
वैकल्पिक रूप से, किरचॉफ के लूप नियम का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{6 - 3}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \text{ A}$.
$AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = E_1 - I r_1 = 6 - (1 \times 1) = 5 \text{ V}$ होगा।
दूसरी शाखा के लिए जाँच करने पर: $V_{AB} = E_2 + I r_2 = 3 + (1 \times 2) = 5 \text{ V}$।
अतः, $AB$ के सिरों पर वोल्टेज $5 \text{ V}$ है।

(D) समांतर क्रम में जुड़ी $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ emf और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाली दो बैटरियों के लिए,समतुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ का सूत्र $\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$ है।
$\varepsilon_{eq}$ का यह मान हमेशा $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ के बीच होता है। अतः,कथन-$I$ असत्य है क्योंकि यह आवश्यक नहीं है कि यह दोनों से छोटा हो।
समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ के लिए $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$ होता है,जिसका अर्थ है $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$।
चूंकि $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ है,यह स्पष्ट है कि $r_{eq} < r_1$ और $r_{eq} < r_2$। अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(C) स्थिति $1$: श्रेणीक्रम संयोजन।
तुल्य emf,$\varepsilon_{eq} = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 1 \ V + 2 \ V = 3 \ V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध,$r_{eq} = r_1 + r_2 = 2 \ \Omega + 1 \ \Omega = 3 \ \Omega$.
कुल प्रतिरोध,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$.
धारा $I_1 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{9 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$.
स्थिति $2$: समानांतर संयोजन।
तुल्य emf,$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3} \ V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध,$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \ \Omega$.
कुल प्रतिरोध,$R_{total} = R + r_{eq} = 6 \ \Omega + \frac{2}{3} \ \Omega = \frac{20}{3} \ \Omega$.
धारा $I_2 = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} = \frac{5/3}{20/3} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \ A$.
अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{4}{3}$.
दिया गया है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{x}{3}$,इसलिए $x = 4$.

(B) इस परिपथ में दो समान सेल हैं, जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E = 3 \text{ V}$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 3 \Omega$ है, जो समांतर क्रम में जुड़े हैं। ये एक बाह्य प्रतिरोध $R = 6 \Omega$ से जुड़े हैं।
समांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए, तुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{3/3 + 3/3}{1/3 + 1/3} = \frac{1 + 1}{2/3} = \frac{2}{2/3} = 3 \text{ V}$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies r_{eq} = 1.5 \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_{eq} = 6 + 1.5 = 7.5 \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा:
$I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{7.5} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} \text{ A}$.

(B) बैटरी के समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य e.m.f. का सूत्र $\varepsilon_{eq} = r_{eq} \left( \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} \right)$ है।
सबसे पहले,हम समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ की गणना करते हैं:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{3}{2} \Omega^{-1}$.
इसलिए,$r_{eq} = \frac{2}{3} \Omega$.
अब,समतुल्य e.m.f. के सूत्र में मान रखने पर:
$\varepsilon_{eq} = \frac{2}{3} \left( \frac{12}{2} + \frac{6}{1} \right) = \frac{2}{3} (6 + 6) = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ V}$.
वोल्टमीटर समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर को मापता है,जो परिपथ के समतुल्य e.m.f. के बराबर होता है।
अतः,वोल्टमीटर का पाठ्यांक $8 \text{ V}$ है।

(A) श्रेणी संयोजन का कुल $EMF$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_1 + r_2 + R$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$ द्वारा दी जाती है।
सेल $E_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - Ir_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - Ir_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_1$।
$I$ का मान रखने पर,हमें $E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$r_1 + r_2 + R = 2r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$।

(D) जब $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ emf तथा $r_1$ और $r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेल समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\varepsilon_{eq} = \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 + r_2}$
दिए गए मान:
$\varepsilon_1 = 2 \ V, r_1 = 0.1 \ \Omega$
$\varepsilon_2 = 4 \ V, r_2 = 0.2 \ \Omega$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\varepsilon_{eq} = \frac{(2 \times 0.2) + (4 \times 0.1)}{0.1 + 0.2}$
$\varepsilon_{eq} = \frac{0.4 + 0.4}{0.3}$
$\varepsilon_{eq} = \frac{0.8}{0.3} \approx 2.67 \ V$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बैटरी की कुल संख्या $n = 4$ है। प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $\varepsilon = 1.5 \ V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.1 \ \Omega$ है।
जब बैटरी को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,यदि एक बैटरी उल्टे तरीके से जुड़ी होती है,तो उसका $EMF$ अन्य के विपरीत कार्य करता है।
परिणामी $EMF$ $\varepsilon' = (\varepsilon + \varepsilon + \varepsilon) - \varepsilon = 2\varepsilon$.
$\varepsilon' = 2 \times 1.5 \ V = 3 \ V$.
चूंकि आंतरिक प्रतिरोध हमेशा श्रेणी क्रम में होते हैं,चाहे $EMF$ की ध्रुवीयता कुछ भी हो,इसलिए परिणामी आंतरिक प्रतिरोध $r'$ सभी व्यक्तिगत आंतरिक प्रतिरोधों का योग है।
$r' = r + r + r + r = 4r$.
$r' = 4 \times 0.1 \ \Omega = 0.4 \ \Omega$.
अतः,परिणामी $EMF$ $3 \ V$ है और परिणामी आंतरिक प्रतिरोध $0.4 \ \Omega$ है।

(D) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए:
कुल विद्युत वाहक बल $2\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा:
$I_1 = \frac{2\varepsilon}{R + 2r} = \frac{2\varepsilon}{2 + 2r}$
समांतर क्रम संयोजन के लिए:
कुल विद्युत वाहक बल $\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा:
$I_2 = \frac{\varepsilon}{R + \frac{r}{2}} = \frac{\varepsilon}{2 + \frac{r}{2}} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
चूंकि दोनों संयोजनों में धारा समान है,$I_1 = I_2$:
$\frac{2\varepsilon}{2 + 2r} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
$4 + r = 2 + 2r$
$r = 2 \ \Omega$
अतः,प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(D) दिया गया है: विद्युत वाहक बल $\varepsilon = 4 \text{ V}$, आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.1 \ \Omega$, और बाहरी प्रतिरोध $R = 3.9 \ \Omega$ है।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{4}{3.9 + 0.1} = \frac{4}{4} = 1 \text{ A}$.
सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$, बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है:
$V = I \times R$
$V = 1 \text{ A} \times 3.9 \ \Omega = 3.9 \text{ V}$.
वैकल्पिक रूप से, $V = \varepsilon - Ir$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$V = 4 - (1 \times 0.1) = 4 - 0.1 = 3.9 \text{ V}$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।