Mix Examples - Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) $(i)$ असत्य,क्योंकि $ax + by + c = 0$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण तभी होता है जब $a$ और $b$ दोनों शून्य न हों (अर्थात $a^2 + b^2 \neq 0$)।
$(ii)$ असत्य,क्योंकि दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
$(iii)$ असत्य,बिंदु $(2, 0)$ और $(-3, 0)$ $x$-अक्ष पर स्थित हैं क्योंकि उनके $y$-निर्देशांक $0$ हैं। बिंदु $(4, 2)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,और बिंदु $(0, 5)$ $y$-अक्ष पर स्थित है।

(A) $(i)$ सत्य। $y$-अक्ष के समांतर और $y$-अक्ष से बाईं ओर $a$ इकाई की दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण $x = -a$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि दूरी $4$ इकाई है,इसलिए समीकरण $x = -4$ है।
$(ii)$ असत्य। किसी आलेख के मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरने के लिए,निर्देशांकों को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। $y = mx + c$ में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर $0 = m(0) + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$। चूँकि $y = mx + c$ रूप की सभी रेखाओं के लिए $c$ का मान अनिवार्य रूप से $0$ नहीं होता है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(A) दिया गया समीकरण $x + y = 0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = -x$ के ग्राफ पर स्थित किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम होने चाहिए (अर्थात,उनके चिह्न विपरीत होने चाहिए और निरपेक्ष मान समान होने चाहिए)।
ग्राफ को देखने पर,हम दो बिंदुओं की पहचान कर सकते हैं: $(-1, 1)$ और $(-3, 3)$।
बिंदु $(-1, 1)$ के लिए,$x = -1$ और $y = 1$ है। इन मानों को समीकरण $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $-1 + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
बिंदु $(-3, 3)$ के लिए,$x = -3$ और $y = 3$ है। इन मानों को समीकरण $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $-3 + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
चूंकि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं और दो बिंदु एक अद्वितीय रेखा निर्धारित करते हैं,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) $y = x$ के आलेख पर किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक समान होंगे। यह रेखा $(0,0), (1,1)$ और $(-1,-1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
इसी प्रकार,$y = -x$ के आलेख पर किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक विपरीत चिह्नों वाले होंगे। यह रेखा $(1,-1)$ और $(-1,1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
साथ ही,बिंदु $(0,0)$ समीकरण $y = -x$ को संतुष्ट करता है।
एक ही कार्तीय तल पर रैखिक समीकरणों $y = x$ और $y = -x$ के आलेख नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए हैं।
हम देखते हैं कि इन दोनों समीकरणों के आलेख मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरते हैं।

(N/A) एक रैखिक समीकरण जिसके हल उन बिंदुओं द्वारा निरूपित होते हैं जिनके निर्देशांकों का योग $10$ इकाई है,वह $x+y=10$ है।
जब $x=0$ है,तो $y=10$ और जब $x=10$ है,तो $y=0$ प्राप्त होता है।
अब,इन दो बिंदुओं $(0, 10)$ और $(10, 0)$ को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाकर एक सीधी रेखा प्राप्त कीजिए।
$x+y=10$ का आलेख चित्र में दर्शाए अनुसार एक सीधी रेखा है।

(N/A) $(i)$ संख्या रेखा पर समीकरण $2x + 1 = x - 3$ के हलों की संख्या $1$ है।
समीकरण को हल करने पर: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow 2x - x = -3 - 1 \Rightarrow x = -4$.
अतः,संख्या रेखा पर $x = -4$ एकमात्र अद्वितीय हल है।
$(ii)$ कार्तीय तल पर समीकरण $2x + 1 = x - 3$ के हलों की संख्या अनंत है।
कार्तीय तल में,समीकरण $2x + 1 = x - 3$ को $x + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $y$-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है। इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु $( -4, y )$ जहाँ $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है,समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इसके अनंत हल हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = 12$ है। इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए,हमें आलेख पर स्थित कम से कम दो बिंदुओं की आवश्यकता है।
समीकरण से,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{12 - 2x}{3}$।
यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{12 - 0}{3} = 4$। अतः,$(0, 4)$ आलेख पर स्थित है।
यदि $y = 0$ है,तो $2x = 12$,इसलिए $x = 6$। अतः,$(6, 0)$ आलेख पर स्थित है।
अब,बिंदुओं $A(0, 4)$ और $B(6, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाकर रेखा $AB$ प्राप्त कीजिए।
रेखा $AB$ अभीष्ट आलेख है। यह आलेख (रेखा $AB$) $x$-अक्ष को $(6, 0)$ बिंदु पर और $y$-अक्ष को $(0, 4)$ बिंदु पर काटता है।

(N/A) तालिका से,हमें दो बिंदु $A(1, 1)$ और $B(2, 3)$ प्राप्त होते हैं जो रैखिक समीकरण के ग्राफ पर स्थित हैं। स्पष्ट रूप से,ग्राफ एक सीधी रेखा होगी। इसलिए,हम पहले बिंदुओं $A$ और $B$ को ग्राफ पर अंकित करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
$(1, 1)$ और $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए:
ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1$.
$(i)$ यह ज्ञात करने के लिए कि यह $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,$y = 0$ रखें:
$0 = 2x - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
अतः,यह $x$-अक्ष को $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ बिंदु पर काटता है।
$(ii)$ यह ज्ञात करने के लिए कि यह $y$-अक्ष को कहाँ काटता है,$x = 0$ रखें:
$y = 2(0) - 1 \implies y = -1$.
अतः,यह $y$-अक्ष को $(0, -1)$ बिंदु पर काटता है।

(N/A) माना कुल तय की गई दूरी $x \text{ km}$ है और कुल किराया $Rs. y$ है।
पहले $1 \text{ km}$ के लिए किराया $Rs. 10$ है।
शेष दूरी $(x - 1) \text{ km}$ के लिए किराया $Rs. 4(x - 1)$ है।
अतः,कुल किराया $y$ इस प्रकार है:
$y = 10 + 4(x - 1)$
$y = 10 + 4x - 4$
$y = 4x + 6$
इस प्रकार,अभीष्ट रैखिक समीकरण $4x - y + 6 = 0$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम रेखा पर दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$ है,तो $y = 4(0) + 6 = 6$। बिंदु: $(0, 6)$।
यदि $x = -1$ है,तो $y = 4(-1) + 6 = 2$। बिंदु: $(-1, 2)$।
इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर आलेखित करके उन्हें मिलाने पर अभीष्ट सरल रेखा आलेख प्राप्त होता है।

(N/A) किया गया कार्य $= (\text{अचर बल}) \times (\text{दूरी})$
$= 3 \times (\text{दूरी})$
अर्थात, $y = 3x$, जहाँ $y$ (इकाई) किया गया कार्य है और $x$ (इकाई) तय की गई दूरी है।
चूँकि $x = 2$ इकाई (दिया गया है), इसलिए, किया गया कार्य $= 3 \times 2 = 6$ इकाई।
रैखिक समीकरण $y = 3x$ का आलेख खींचने के लिए, हमें समीकरण के कम से कम दो हलों की आवश्यकता है।
हम देखते हैं कि $x = 0, y = 0$ दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है, और $x = 1, y = 3$ भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब हम बिंदुओं $A(0, 0)$ और $B(1, 3)$ को आलेखित करते हैं और उन्हें मिलाकर एक रेखा बनाते हैं। समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है। [हमने पूरी रेखा नहीं दिखाई है क्योंकि किया गया कार्य ऋणात्मक नहीं हो सकता]।
आलेख से जाँच करने के लिए, $x$-अक्ष पर बिंदु $(2, 0)$ पर एक लंब खींचिए जो आलेख को बिंदु $C$ पर मिलता है। स्पष्ट रूप से, $C$ के निर्देशांक $(2, 6)$ हैं। इसका अर्थ है कि किया गया कार्य $6$ इकाई है।

(N/A) रैखिक समीकरण $ax + by = c$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए दो बिंदुओं $(6, -2)$ और $(-6, 6)$ का उपयोग करते हैं।
$(6, -2)$ के लिए: $6a - 2b = c$
$(-6, 6)$ के लिए: $-6a + 6b = c$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4b = 2c \implies c = 2b$।
पहले समीकरण में $c = 2b$ रखने पर: $6a - 2b = 2b \implies 6a = 4b \implies a = \frac{2}{3}b$।
मान लीजिए $b = 3$,तो $a = 2$ और $c = 6$। अतः समीकरण $2x + 3y = 6$ है।
ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(6, -2)$ और $(-6, 6)$ को अंकित करें और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ें।
$(i)$ $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $2x + 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$। ग्राफ $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर काटता है।
$(ii)$ $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $2(0) + 3y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2$। ग्राफ $y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर काटता है।

(N/A) $C = \frac{5F - 160}{9}$
$(i)$ $F = 86^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C = \frac{5(86) - 160}{9} = \frac{430 - 160}{9} = \frac{270}{9} = 30^{\circ}$.
अतः,सेल्सियस में तापमान $30^{\circ} C$ है।
$(ii)$ $C = 35^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $35 = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 315 = 5F - 160$.
$\Rightarrow 5F = 315 + 160 = 475$.
$\therefore F = \frac{475}{5} = 95^{\circ}$.
अतः,फारेनहाइट में तापमान $95^{\circ} F$ है।
$(iii)$ $C = 0^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 0 = 5F - 160$.
$\Rightarrow 5F = 160 \Rightarrow F = \frac{160}{5} = 32^{\circ}$.
अब,$F = 0^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C = \frac{5(0) - 160}{9} = -\frac{160}{9} \approx -17.78^{\circ} C$.
यदि तापमान $0^{\circ} C$ है,तो फारेनहाइट में तापमान $32^{\circ} F$ है,और यदि तापमान $0^{\circ} F$ है,तो सेल्सियस में तापमान $-\frac{160}{9}^{\circ} C$ है।
$(iv)$ दिए गए संबंध में $C = F$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 9F = 5F - 160$.
$\Rightarrow 4F = -160 \Rightarrow F = -40^{\circ}$.
अतः,उस तापमान का संख्यात्मक मान जो दोनों पैमानों पर समान है,$-40$ है।

(N/A) दिया गया रैखिक समीकरण $y = \frac{9}{5}(x - 273) + 32$ है।
$(i)$ जब तरल का तापमान $x = 313^{\circ} K$ हो:
$y = \frac{9}{5}(313 - 273) + 32$
$y = \frac{9}{5}(40) + 32$
$y = 9 \times 8 + 32 = 72 + 32 = 104^{\circ} F$.
$(ii)$ जब तरल का तापमान $y = 158^{\circ} F$ हो:
$158 = \frac{9}{5}(x - 273) + 32$
$158 - 32 = \frac{9}{5}(x - 273)$
$126 = \frac{9}{5}(x - 273)$
$x - 273 = 126 \times \frac{5}{9}$
$x - 273 = 14 \times 5 = 70$
$x = 273 + 70 = 343^{\circ} K$.

(N/A) माना $y$ बल है और $x$ त्वरण है। चूंकि बल त्वरण के सीधे आनुपातिक है,इसलिए हमारे पास $y \propto x$ है,जिसका अर्थ है $y = mx$,जहाँ $m$ स्थिर द्रव्यमान है।
दिया गया है $m = 6 \,kg$,इसलिए रैखिक समीकरण $y = 6x$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम समीकरण को संतुष्ट करने वाले कुछ बिंदु ज्ञात करते हैं:

$x$ (त्वरण)	$0$	$1$	$2$
$y$ (बल)	$0$	$6$	$12$

आलेख पर बिंदुओं $(0,0)$,$(1,6)$ और $(2,12)$ को अंकित करके उन्हें जोड़ने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
आलेख से:
$(i)$ जब त्वरण $x = 5 \,m/s^2$ है,तो संबंधित बल $y = 30 \,N$ है।
$(ii)$ जब त्वरण $x = 6 \,m/s^2$ है,तो संबंधित बल $y = 36 \,N$ है।

(D) सही समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम जाँचते हैं कि ग्राफ पर दर्शाए गए बिंदु $(0,6)$,$(2,3)$ और $(4,0)$ किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
$1$. $x+y=4$ के लिए: $(4,0)$ रखने पर $4+0=4$ (सत्य),लेकिन $(0,6)$ रखने पर $0+6=6 \neq 4$ (असत्य)।
$2$. $x+y=5$ के लिए: $(2,3)$ रखने पर $2+3=5$ (सत्य),लेकिन $(4,0)$ रखने पर $4+0=4 \neq 5$ (असत्य)।
$3$. $x+y=6$ के लिए: $(0,6)$ रखने पर $0+6=6$ (सत्य),लेकिन $(4,0)$ रखने पर $4+0=4 \neq 6$ (असत्य)।
$4$. $3x+2y=12$ के लिए:
- $(4,0)$ के लिए: $3(4)+2(0) = 12+0 = 12$ (सत्य)।
- $(2,3)$ के लिए: $3(2)+2(3) = 6+6 = 12$ (सत्य)।
- $(0,6)$ के लिए: $3(0)+2(6) = 0+12 = 12$ (सत्य)।
चूँकि तीनों बिंदु समीकरण $3x+2y=12$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह सही समीकरण है।

(A) हम समीकरण $2y + 1 = y + 4$ को हल करते हैं:
$\therefore 2y - y = 4 - 1$
$\therefore y = 3$
$(1)$ संख्या रेखा पर निरूपण:
चूंकि $y = 3$ एक चर वाला समीकरण है,यह संख्या रेखा पर $3$ की स्थिति पर एक अद्वितीय बिंदु को दर्शाता है।
$(2)$ कार्तीय तल पर निरूपण:
हम जानते हैं कि $y = 3$ को दो चरों वाले रैखिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: $0x + 1y = 3$।
$x$ के किसी भी मान के लिए,$y$ का मान $3$ ही रहता है। अतः,हम $(0, 3)$,$(1, 3)$ और $(3, 3)$ जैसे बिंदु चुन सकते हैं। इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर आलेखित करने और उन्हें जोड़ने पर,हमें $x$-अक्ष के समानांतर और $y = 3$ से होकर गुजरने वाली एक रेखा प्राप्त होती है।

(A) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
- $x$-अक्ष के लिए,$y = 0$ रखें और $x$ का मान ज्ञात करें।
- $y$-अक्ष के लिए,$x = 0$ रखें और $y$ का मान ज्ञात करें।

समीकरण	$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन $(y=0)$	$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन $(x=0)$
$1. 3x + 5y = 15$	$(5, 0)$	$(0, 3)$
$2. 5x - 2y = 10$	$(2, 0)$	$(0, -5)$
$3. 4x + 3y = -12$	$(-3, 0)$	$(0, -4)$
$4. 3x - 7y = 21$	$(7, 0)$	$(0, -3)$
$5. x - y = 0$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
$6. 2x - 3y = 0$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
$7. x - y = -5$	$(-5, 0)$	$(0, 5)$
$8. 5x - 3y = 15$	$(3, 0)$	$(0, -5)$

(N/A) चरण $1$: $x$ के लिए समीकरण को हल करें।
$3x - 1 = x + 7$
$3x - x = 7 + 1$
$2x = 8$
$x = 4$
चरण $2$: संख्या रेखा पर निरूपण।
संख्या रेखा पर,बिंदु $4$ को एक ठोस बिंदु के रूप में अंकित करें।
चरण $3$: कार्तीय तल पर निरूपण।
कार्तीय तल में,समीकरण $x = 4$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष पर $4$ से होकर गुजरती है और $y$-अक्ष के समानांतर होती है।

(Y = -3) चरण $1$: $y$ के लिए समीकरण को हल करें।
$5y + 10 = 3y + 4$
$5y - 3y = 4 - 10$
$2y = -6$
$y = -3$
चरण $2$: संख्या रेखा पर निरूपण।
एक क्षैतिज संख्या रेखा पर,$-3$ बिंदु को अंकित करें।
चरण $3$: कार्तीय तल पर निरूपण।
समीकरण $y = -3$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष के समानांतर है और बिंदु $(0, -3)$ से होकर गुजरती है।

मान लीजिए कि बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,निर्देशांकों का योग $10$ है,इसलिए रैखिक समीकरण $x + y = 10$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम समीकरण के लिए कम से कम दो हल ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$ है,तो $0 + y = 10 \implies y = 10$। अतः,बिंदु $(0, 10)$ है।
यदि $x = 10$ है,तो $10 + y = 10 \implies y = 0$। अतः,बिंदु $(10, 0)$ है।
यदि $x = 5$ है,तो $5 + y = 10 \implies y = 5$। अतः,बिंदु $(5, 5)$ है।
इन बिंदुओं $(0, 10)$,$(10, 0)$ और $(5, 5)$ को कार्तीय तल पर आलेखित करें और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़कर समीकरण $x + y = 10$ का आलेख प्राप्त करें।

(B) समीकरण $x+y=11$ है।
चतुर्थांशों को ज्ञात करने के लिए,हम अंतःखंडों की जाँच करते हैं:
यदि $x=0$ है,तो $y=11$ प्राप्त होता है। बिंदु $(0, 11)$ है,जो $y$-अक्ष पर प्रथम और दूसरे चतुर्थांश के बीच स्थित है।
यदि $y=0$ है,तो $x=11$ प्राप्त होता है। बिंदु $(11, 0)$ है,जो $x$-अक्ष पर प्रथम और चौथे चतुर्थांश के बीच स्थित है।
चूँकि रेखा $(0, 11)$ और $(11, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए यह प्रथम चतुर्थांश (जहाँ $x>0, y>0$),दूसरे चतुर्थांश (जहाँ $x < 0, y>0$) और चौथे चतुर्थांश (जहाँ $x>0, y < 0$) से होकर गुजरती है।
अतः,रेखा दूसरे,प्रथम और चौथे चतुर्थांश से होकर गुजरती है।