Mix Examples - Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) $(i)$ ખોટું,કારણ કે $ax + by + c = 0$ એ બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ ત્યારે જ કહેવાય જો $a$ અને $b$ બંને શૂન્ય ન હોય (એટલે કે $a^2 + b^2 \neq 0$).
$(ii)$ ખોટું,કારણ કે બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણને અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
$(iii)$ ખોટું,બિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(-3, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલા છે કારણ કે તેમના $y$-યામ $0$ છે. બિંદુ $(4, 2)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને બિંદુ $(0, 5)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) $(i)$ સાચું. $y$-અક્ષથી ડાબી બાજુ $a$ એકમ અંતરે આવેલી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = -a$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં અંતર $4$ એકમ હોવાથી,સમીકરણ $x = -4$ થાય છે.
$(ii)$ ખોટું. આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય તે માટે,યામોએ સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. $y = mx + c$ માં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા $0 = m(0) + c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$. $y = mx + c$ સ્વરૂપની તમામ રેખાઓ માટે $c$ હંમેશા $0$ હોતું નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x + y = 0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$y = -x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ એકબીજાની વિરોધી સંખ્યાઓ હોવા જોઈએ (એટલે કે,તેમની નિશાનીઓ વિરુદ્ધ હોય અને નિરપેક્ષ મૂલ્ય સમાન હોય).
આલેખ જોતા,આપણે બે બિંદુઓ ઓળખી શકીએ છીએ: $(-1, 1)$ અને $(-3, 3)$.
બિંદુ $(-1, 1)$ માટે,$x = -1$ અને $y = 1$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણ $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $-1 + 1 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.
બિંદુ $(-3, 3)$ માટે,$x = -3$ અને $y = 3$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણ $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $-3 + 3 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,બંને બિંદુઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે અને બે બિંદુઓ એક અનન્ય રેખા નક્કી કરે છે,તેથી આપેલ વિધાન ખરું છે.

(N/A) $y = x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ સમાન હશે. આ રેખા $(0,0), (1,1)$ અને $(-1,-1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
તે જ રીતે,$y = -x$ ના આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુના $x$ અને $y$ યામ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હશે. આ રેખા $(1,-1)$ અને $(-1,1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વધુમાં,બિંદુ $(0,0)$ એ સમીકરણ $y = -x$ નું સમાધાન કરે છે.
એક જ કાર્તેઝિયન સમતલ પર સુરેખ સમીકરણો $y = x$ અને $y = -x$ ના આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે આ બંને સમીકરણોના આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(N/A) એક સુરેખ સમીકરણ જેના ઉકેલો એવા બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમના યામોનો સરવાળો $10$ એકમ હોય,તે $x+y=10$ છે.
જ્યારે $x=0$ હોય,ત્યારે $y=10$ અને જ્યારે $x=10$ હોય,ત્યારે $y=0$ મળે છે.
હવે,આ બે બિંદુઓ $(0, 10)$ અને $(10, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને એક સીધી રેખા મેળવો.
$x+y=10$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સીધી રેખા છે.

(N/A) $(i)$ સંખ્યા રેખા પર $2x + 1 = x - 3$ સમીકરણના ઉકેલની સંખ્યા $1$ છે.
સમીકરણ ઉકેલતા: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow 2x - x = -3 - 1 \Rightarrow x = -4$.
આમ,સંખ્યા રેખા પર $x = -4$ એ એકમાત્ર અનન્ય ઉકેલ છે.
$(ii)$ કાર્તેઝિયન સમતલ પર $2x + 1 = x - 3$ સમીકરણના ઉકેલની સંખ્યા અનંત છે.
કાર્તેઝિયન સમતલમાં,સમીકરણ $2x + 1 = x - 3$ ને $x + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે. આ રેખા પરના દરેક બિંદુ $( -4, y )$ જ્યાં $y$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી તેના અનંત ઉકેલો મળે છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = 12$ છે. આ સમીકરણનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે આલેખ પર આવેલા ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓની જરૂર છે.
સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $y = \frac{12 - 2x}{3}$.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = \frac{12 - 0}{3} = 4$. તેથી,$(0, 4)$ બિંદુ આલેખ પર આવેલું છે.
જો $y = 0$ હોય,તો $2x = 12$,તેથી $x = 6$. તેથી,$(6, 0)$ બિંદુ આલેખ પર આવેલું છે.
હવે,બિંદુઓ $A(0, 4)$ અને $B(6, 0)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને રેખા $AB$ મેળવો.
રેખા $AB$ એ માંગેલ આલેખ છે. આલેખ (રેખા $AB$) એ $x$-અક્ષને $(6, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, 4)$ બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) કોષ્ટક પરથી,આપણને બે બિંદુઓ $A(1, 1)$ અને $B(2, 3)$ મળે છે જે સુરેખ સમીકરણના આલેખ પર આવેલા છે. સ્વાભાવિક રીતે,આલેખ એક સીધી રેખા હશે. તેથી,આપણે પહેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ અને તેમને જોડીએ છીએ.
$(1, 1)$ અને $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે:
ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1$.
$(i)$ તે $x$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$0 = 2x - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
આમ,તે $x$-અક્ષને $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ બિંદુએ છેદે છે.
$(ii)$ તે $y$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$y = 2(0) - 1 \implies y = -1$.
આમ,તે $y$-અક્ષને $(0, -1)$ બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) ધારો કે કુલ અંતર $x \text{ km}$ છે અને કુલ ભાડું $Rs. y$ છે.
પ્રથમ $1 \text{ km}$ માટે ભાડું $Rs. 10$ છે.
બાકીના અંતર $(x - 1) \text{ km}$ માટે ભાડું $Rs. 4(x - 1)$ છે.
તેથી,કુલ ભાડું $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = 10 + 4(x - 1)$
$y = 10 + 4x - 4$
$y = 4x + 6$
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણ $4x - y + 6 = 0$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે રેખા પરના બે બિંદુઓ શોધીએ:
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 4(0) + 6 = 6$. બિંદુ: $(0, 6)$.
જો $x = -1$ હોય,તો $y = 4(-1) + 6 = 2$. બિંદુ: $(-1, 2)$.
આ બિંદુઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવીને તેમને જોડવાથી જરૂરી સુરેખ આલેખ મળે છે.

(N/A) કરવામાં આવેલ કાર્ય $= (\text{અચળ બળ}) \times (\text{અંતર})$
$= 3 \times (\text{અંતર})$
એટલે કે, $y = 3x$, જ્યાં $y$ (એકમ) એ કરવામાં આવેલ કાર્ય છે અને $x$ (એકમ) એ કાપેલ અંતર છે。
કારણ કે $x = 2$ એકમ (આપેલ છે), તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $= 3 \times 2 = 6$ એકમ。
સુરેખ સમીકરણ $y = 3x$ નો આલેખ દોરવા માટે, આપણને સમીકરણના ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલોની જરૂર છે。
આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 0, y = 0$ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે, અને $x = 1, y = 3$ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે。
હવે આપણે બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(1, 3)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીએ છીએ અને તેમને જોડીને એક રેખા બનાવીએ છીએ। સમીકરણનો આલેખ એક સીધી રેખા છે। [આપણે આખી રેખા દર્શાવી નથી કારણ કે કાર્ય ઋણ હોઈ શકે નહીં]।
આલેખ પરથી ચકાસવા માટે, $x$-અક્ષ પર બિંદુ $(2, 0)$ આગળ એક લંબ દોરો જે આલેખને બિંદુ $C$ પર મળે છે। સ્પષ્ટપણે, $C$ ના યામ $(2, 6)$ છે। આનો અર્થ એ છે કે કરવામાં આવેલ કાર્ય $6$ એકમ છે。

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $ax + by = c$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા બે બિંદુઓ $(6, -2)$ અને $(-6, 6)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(6, -2)$ માટે: $6a - 2b = c$
$(-6, 6)$ માટે: $-6a + 6b = c$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4b = 2c \implies c = 2b$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $c = 2b$ મૂકતા: $6a - 2b = 2b \implies 6a = 4b \implies a = \frac{2}{3}b$.
ધારો કે $b = 3$,તો $a = 2$ અને $c = 6$. તેથી સમીકરણ $2x + 3y = 6$ છે.
આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $(6, -2)$ અને $(-6, 6)$ દર્શાવો અને તેમને સીધી રેખા વડે જોડો.
$(i)$ $x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $2x + 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. આલેખ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
$(ii)$ $y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા: $2(0) + 3y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. આલેખ $y$-અક્ષને $(0, 2)$ બિંદુએ છેદે છે.

(N/A) $C = \frac{5F - 160}{9}$
$(i)$ $F = 86^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $C = \frac{5(86) - 160}{9} = \frac{430 - 160}{9} = \frac{270}{9} = 30^{\circ}$.
આમ,સેલ્સિયસમાં તાપમાન $30^{\circ} C$ છે.
$(ii)$ $C = 35^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $35 = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 315 = 5F - 160$.
$\Rightarrow 5F = 315 + 160 = 475$.
$\therefore F = \frac{475}{5} = 95^{\circ}$.
આમ,ફેરનહીટમાં તાપમાન $95^{\circ} F$ છે.
$(iii)$ $C = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $0 = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 0 = 5F - 160$.
$\Rightarrow 5F = 160 \Rightarrow F = \frac{160}{5} = 32^{\circ}$.
હવે,$F = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $C = \frac{5(0) - 160}{9} = -\frac{160}{9} \approx -17.78^{\circ} C$.
જો તાપમાન $0^{\circ} C$ હોય,તો ફેરનહીટમાં તાપમાન $32^{\circ} F$ છે,અને જો તાપમાન $0^{\circ} F$ હોય,તો સેલ્સિયસમાં તાપમાન $-\frac{160}{9}^{\circ} C$ છે.
$(iv)$ આપેલ સંબંધમાં $C = F$ મૂકતા,આપણને મળે $F = \frac{5F - 160}{9} \Rightarrow 9F = 5F - 160$.
$\Rightarrow 4F = -160 \Rightarrow F = -40^{\circ}$.
આમ,બંને માપક્રમમાં સમાન હોય તેવા તાપમાનનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય $-40$ છે.

(N/A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $y = \frac{9}{5}(x - 273) + 32$ છે.
$(i)$ જ્યારે પ્રવાહીનું તાપમાન $x = 313^{\circ} K$ હોય:
$y = \frac{9}{5}(313 - 273) + 32$
$y = \frac{9}{5}(40) + 32$
$y = 9 \times 8 + 32 = 72 + 32 = 104^{\circ} F$.
$(ii)$ જ્યારે પ્રવાહીનું તાપમાન $y = 158^{\circ} F$ હોય:
$158 = \frac{9}{5}(x - 273) + 32$
$158 - 32 = \frac{9}{5}(x - 273)$
$126 = \frac{9}{5}(x - 273)$
$x - 273 = 126 \times \frac{5}{9}$
$x - 273 = 14 \times 5 = 70$
$x = 273 + 70 = 343^{\circ} K$.

(N/A) ધારો કે $y$ એ બળ છે અને $x$ એ પ્રવેગ છે. બળ એ પ્રવેગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,આપણી પાસે $y \propto x$ છે,જેનો અર્થ છે $y = mx$,જ્યાં $m$ એ અચળ દળ છે.
આપેલ છે કે $m = 6 \,kg$,તેથી સુરેખ સમીકરણ $y = 6x$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણનું પાલન કરતા કેટલાક બિંદુઓ શોધીએ:

$x$ (પ્રવેગ)	$0$	$1$	$2$
$y$ (બળ)	$0$	$6$	$12$

આલેખ પર બિંદુઓ $(0,0)$,$(1,6)$ અને $(2,12)$ ને અંકિત કરીને તેમને જોડતા એક સીધી રેખા મળે છે.
આલેખ પરથી:
$(i)$ જ્યારે પ્રવેગ $x = 5 \,m/s^2$ હોય,ત્યારે અનુરૂપ બળ $y = 30 \,N$ છે.
$(ii)$ જ્યારે પ્રવેગ $x = 6 \,m/s^2$ હોય,ત્યારે અનુરૂપ બળ $y = 36 \,N$ છે.

(D) સાચું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે આલેખ પર દર્શાવેલ બિંદુઓ $(0,6)$,$(2,3)$ અને $(4,0)$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$1$. $x+y=4$ માટે: $(4,0)$ મૂકતા $4+0=4$ (સાચું),પરંતુ $(0,6)$ મૂકતા $0+6=6 \neq 4$ (ખોટું).
$2$. $x+y=5$ માટે: $(2,3)$ મૂકતા $2+3=5$ (સાચું),પરંતુ $(4,0)$ મૂકતા $4+0=4 \neq 5$ (ખોટું).
$3$. $x+y=6$ માટે: $(0,6)$ મૂકતા $0+6=6$ (સાચું),પરંતુ $(4,0)$ મૂકતા $4+0=4 \neq 6$ (ખોટું).
$4$. $3x+2y=12$ માટે:
- $(4,0)$ માટે: $3(4)+2(0) = 12+0 = 12$ (સાચું).
- $(2,3)$ માટે: $3(2)+2(3) = 6+6 = 12$ (સાચું).
- $(0,6)$ માટે: $3(0)+2(6) = 0+12 = 12$ (સાચું).
આમ,ત્રણેય બિંદુઓ $3x+2y=12$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી આ સાચું સમીકરણ છે.

(A) આપણે સમીકરણ $2y + 1 = y + 4$ ને ઉકેલીએ:
$\therefore 2y - y = 4 - 1$
$\therefore y = 3$
$(1)$ સંખ્યા રેખા પર નિરૂપણ:
કારણ કે $y = 3$ એ એક ચલવાળું સમીકરણ છે,તે સંખ્યા રેખા પર $3$ ના સ્થાન પર એક અનન્ય બિંદુ દર્શાવે છે.
$(2)$ કાર્તેઝિયન સમતલ પર નિરૂપણ:
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = 3$ ને બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણ તરીકે લખી શકાય છે: $0x + 1y = 3$।
$x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$ ની કિંમત $3$ જ રહે છે. તેથી,આપણે $(0, 3)$,$(1, 3)$ અને $(3, 3)$ જેવા બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ બિંદુઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવીને તેમને જોડતા,આપણને $x$-અક્ષને સમાંતર અને $y = 3$ માંથી પસાર થતી એક રેખા મળે છે.

(A) યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે:
- $x$-અક્ષ માટે,$y = 0$ લો અને $x$ માટે ઉકેલો.
- $y$-અક્ષ માટે,$x = 0$ લો અને $y$ માટે ઉકેલો.

સમીકરણ	$x$-અક્ષ પર છેદબિંદુ $(y=0)$	$y$-અક્ષ પર છેદબિંદુ $(x=0)$
$1. 3x + 5y = 15$	$(5, 0)$	$(0, 3)$
$2. 5x - 2y = 10$	$(2, 0)$	$(0, -5)$
$3. 4x + 3y = -12$	$(-3, 0)$	$(0, -4)$
$4. 3x - 7y = 21$	$(7, 0)$	$(0, -3)$
$5. x - y = 0$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
$6. 2x - 3y = 0$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
$7. x - y = -5$	$(-5, 0)$	$(0, 5)$
$8. 5x - 3y = 15$	$(3, 0)$	$(0, -5)$

(N/A) પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ ઉકેલો.
$3x - 1 = x + 7$
$3x - x = 7 + 1$
$2x = 8$
$x = 4$
પગલું $2$: સંખ્યા રેખા પર નિરૂપણ.
સંખ્યા રેખા પર,$4$ બિંદુને ઘાટા ટપકા વડે દર્શાવો.
પગલું $3$: કાર્તેઝિયન સમતલ પર નિરૂપણ.
કાર્તેઝિયન સમતલમાં,સમીકરણ $x = 4$ એ $x$-અક્ષ પર $4$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે.

(Y = -3) પગલું $1$: $y$ માટે સમીકરણ ઉકેલો.
$5y + 10 = 3y + 4$
$5y - 3y = 4 - 10$
$2y = -6$
$y = -3$
પગલું $2$: સંખ્યા રેખા પર નિરૂપણ.
આડી સંખ્યા રેખા પર,$-3$ બિંદુને અંકિત કરો.
પગલું $3$: કાર્તેઝિયન સમતલ પર નિરૂપણ.
સમીકરણ $y = -3$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા દર્શાવે છે,જે $(0, -3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

ધારો કે બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,યામોનો સરવાળો $10$ છે,તેથી સુરેખ સમીકરણ $x + y = 10$ થશે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલો શોધીએ:
જો $x = 0$ હોય,તો $0 + y = 10 \implies y = 10$. તેથી,બિંદુ $(0, 10)$ છે.
જો $x = 10$ હોય,તો $10 + y = 10 \implies y = 0$. તેથી,બિંદુ $(10, 0)$ છે.
જો $x = 5$ હોય,તો $5 + y = 10 \implies y = 5$. તેથી,બિંદુ $(5, 5)$ છે.
આ બિંદુઓ $(0, 10)$,$(10, 0)$ અને $(5, 5)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવો અને તેમને સીધી રેખા વડે જોડીને $x + y = 10$ સમીકરણનો આલેખ મેળવો.

(B) સમીકરણ $x+y=11$ છે.
ચરણો નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતઃખંડો ચકાસીએ:
જો $x=0$ હોય,તો $y=11$ મળે. બિંદુ $(0, 11)$ છે,જે $y$-અક્ષ પર પ્રથમ અને બીજા ચરણની વચ્ચે આવેલું છે.
જો $y=0$ હોય,તો $x=11$ મળે. બિંદુ $(11, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર પ્રથમ અને ચોથા ચરણની વચ્ચે આવેલું છે.
આમ,રેખા $(0, 11)$ અને $(11, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે પ્રથમ ચરણ (જ્યાં $x>0, y>0$),બીજા ચરણ (જ્યાં $x < 0, y>0$) અને ચોથા ચરણ (જ્યાં $x>0, y < 0$) માંથી પસાર થાય છે.
આથી,રેખા બીજા,પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાંથી પસાર થાય છે.