Solution of a Linear Equation Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$1x + (-\frac{1}{5})y + (-10) = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = 1$,$b = -\frac{1}{5}$ અને $c = -10$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = 3y$ છે.
તેને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,બંને બાજુથી $3y$ બાદ કરતા:
$x - 3y = 0$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(1)x + (-3)y + 0 = 0$
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a = 1$
$b = -3$
$c = 0$

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $x + 2y = 6$ માટે ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે એક ચલને કોઈ પણ કિંમત આપીને બીજા ચલની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
$1$. ધારો કે $x = 0$. તો $0 + 2y = 6$,જે $2y = 6$ આપે છે,તેથી $y = 3$. આમ,$(0, 3)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. ધારો કે $y = 0$. તો $x + 2(0) = 6$,જે $x = 6$ આપે છે. આમ,$(6, 0)$ એક ઉકેલ છે.
$3$. ધારો કે $x = 2$. તો $2 + 2y = 6$,જે $2y = 4$ આપે છે,તેથી $y = 2$. આમ,$(2, 2)$ એક ઉકેલ છે.
$4$. ધારો કે $y = 1$. તો $x + 2(1) = 6$,જે $x + 2 = 6$ આપે છે,તેથી $x = 4$. આમ,$(4, 1)$ એક ઉકેલ છે.
તેથી,સમીકરણના ચાર અલગ-અલગ ઉકેલો $(0, 3)$,$(6, 0)$,$(2, 2)$ અને $(4, 1)$ છે.

(N/A) $(i)$ $4x + 3y = 12$ માટે,જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $3y = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $y = 4$. તેથી,$(0, 4)$ એક ઉકેલ છે. જો આપણે $y = 0$ લઈએ,તો $4x = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 3$. તેથી,$(3, 0)$ બીજો ઉકેલ છે.
$(ii)$ $2x + 5y = 0$ માટે,જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $5y = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $y = 0$. તેથી,$(0, 0)$ એક ઉકેલ છે. જો આપણે $x = 1$ લઈએ,તો $2(1) + 5y = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $5y = -2$,તેથી $y = -\frac{2}{5}$. આમ,$(1, -\frac{2}{5})$ બીજો ઉકેલ છે.
$(iii)$ $3y + 4 = 0$ માટે,આપણે તેને $0x + 3y = -4$ તરીકે લખી શકીએ. $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$ ની કિંમત $-\frac{4}{3}$ રહેશે. જો આપણે $x = 0$ લઈએ,તો $y = -\frac{4}{3}$. જો આપણે $x = 1$ લઈએ,તો $y = -\frac{4}{3}$. આમ,બે ઉકેલો $(0, -\frac{4}{3})$ અને $(1, -\frac{4}{3})$ છે.

(C) સમીકરણ $y = 3x + 5$ એ બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by + c = 0$ સ્વરૂપના બે ચલ ધરાવતા કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ માટે,$(x, y)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આનું કારણ એ છે કે $x$ ને આપવામાં આવતી દરેક વાસ્તવિક કિંમત માટે,આપણે $y = 3x + 5$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની અનુરૂપ અનન્ય કિંમત મેળવી શકીએ છીએ.
$x$ માટે અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$y$ માટે પણ અસંખ્ય અનુરૂપ કિંમતો મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(iii)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $2x + y = 7$ માટે ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ: $y = 7 - 2x$.
$x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકતા,આપણને $y$ ની અનુરૂપ કિંમતો મળે છે:
$1$. જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(0) = 7$. આમ,ઉકેલ $(0, 7)$ છે.
$2$. જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(1) = 5$. આમ,ઉકેલ $(1, 5)$ છે.
$3$. જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(2) = 3$. આમ,ઉકેલ $(2, 3)$ છે.
$4$. જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $y = 7 - 2(3) = 1$. આમ,ઉકેલ $(3, 1)$ છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $\pi x + y = 9$ માટે ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીને $y$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
$1$. જ્યારે $x = 0$ હોય:
$\pi(0) + y = 9 \Rightarrow 0 + y = 9 \Rightarrow y = 9$.
તેથી,ઉકેલ $(0, 9)$ છે.
$2$. જ્યારે $x = 1$ હોય:
$\pi(1) + y = 9 \Rightarrow \pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - \pi$.
તેથી,ઉકેલ $(1, 9 - \pi)$ છે.
$3$. જ્યારે $x = 2$ હોય:
$\pi(2) + y = 9 \Rightarrow 2\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - 2\pi$.
તેથી,ઉકેલ $(2, 9 - 2\pi)$ છે.
$4$. જ્યારે $x = -1$ હોય:
$\pi(-1) + y = 9 \Rightarrow -\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 + \pi$.
તેથી,ઉકેલ $(-1, 9 + \pi)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $x = 4y$ માટે ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીને $x$ ની અનુરૂપ કિંમતો શોધી શકીએ છીએ.
$1$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = 4(0) = 0$. તેથી,ઉકેલ $(0, 0)$ છે.
$2$. જો $y = 1$ હોય,તો $x = 4(1) = 4$. તેથી,ઉકેલ $(4, 1)$ છે.
$3$. જો $y = -1$ હોય,તો $x = 4(-1) = -4$. તેથી,ઉકેલ $(-4, -1)$ છે.
$4$. જો $y = 2$ હોય,તો $x = 4(2) = 8$. તેથી,ઉકેલ $(8, 2)$ છે.

(B) આપેલ બિંદુ $(0, 2)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = 2$.
સમીકરણ $x - 2y = 4$ માં $x = 0$ અને $y = 2$ મૂકતા:
ડા.બા. ($L$.$H$.$S$.) $= x - 2y = 0 - 2(2) = 0 - 4 = -4$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં ડા.બા. $= -4$ અને જ.બા. $= 4$ હોવાથી,ડા.બા. $\neq$ જ.બા. થાય છે.
તેથી,$(0, 2)$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(B) યામ $(2, 0)$ નો અર્થ છે કે $x=2$ અને $y=0$.
સમીકરણ $x - 2y = 4$ માં $x=2$ અને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે છે:
ડા.બા. $= 2 - 2(0) = 2 - 0 = 2$.
અહીં જ.બા. $= 4$ છે,તેથી ડા.બા. $\neq$ જ.બા.
આમ,$(2, 0)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - 2y = 4$.
બિંદુ $(4, 0)$ માટે,આપણી પાસે $x = 4$ અને $y = 0$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 4 - 2(0) = 4 - 0 = 4$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં $L$.$H$.$S$. $=$ $R$.$H$.$S$. હોવાથી,બિંદુ $(4, 0)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x - 2y = 4$.
બિંદુ $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{2}$ અને $y = 4\sqrt{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = \sqrt{2} - 2(4\sqrt{2})$
$= \sqrt{2} - 8\sqrt{2}$
$= (1 - 8)\sqrt{2} = -7\sqrt{2}$.
અહીં જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે,અને $-7\sqrt{2} \neq 4$,તેથી $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$.
આથી,બિંદુ $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $x - 2y = 4$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માટે,આપણી પાસે $x = 1$ અને $y = 1$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણની ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) માં મૂકતા:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
સમીકરણની જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) $4$ છે.
અહીં $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$. $(-1 \neq 4)$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ સમીકરણ $x - 2y = 4$ નો ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = k$ છે.
અહીં $x = 2$ અને $y = 1$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2(2) + 3(1) = k$
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$4 + 3 = k$
તેથી:
$k = 7$
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમત $7$ છે.

(D) બિંદુ $(1, 2)$ એ સુરેખ સમીકરણ $ax + by = c$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ. યામ $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા,આપણને $a(1) + b(2) = c$ અથવા $a + 2b = c$ મળે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો આપણે $a = 1$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $c = 1 + 2(1) = 3$ થાય. આમ,એક સમીકરણ $x + y = 3$ છે.
તે જ રીતે,જો આપણે $a = -1$ અને $b = 1$ લઈએ,તો $c = -1 + 2(1) = 1$ થાય. આમ,બીજું સમીકરણ $-x + y = 1$ છે.
કારણ કે $a + 2b = c$ સંબંધનું સમાધાન કરતી $(a, b, c)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ શક્ય છે,તેથી બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓના સમીકરણો હોઈ શકે છે.

(A-(II), B-(III), C-(IV)) આકૃતિ $(i)$ માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-1, -2)$,$(0, 0)$,$(1, 2)$ છે. નિરીક્ષણ દ્વારા,$y = 2x$ એ આ આલેખને અનુરૂપ સમીકરણ છે. તમે જોઈ શકો છો કે દરેક કિસ્સામાં $y$-યામ એ $x$-યામ કરતા બમણો છે.
$(b)$ આકૃતિ (ii) માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 4)$,$(1, 6)$ છે. તમે જાણો છો કે આલેખ (રેખા) પરના બિંદુઓના યામ $y = 2x + 4$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$y = 2x + 4$ એ આકૃતિ (ii) માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ સમીકરણ છે.
$(c)$ આકૃતિ (iii) માં,રેખા પરના બિંદુઓ $(-1, -6)$,$(0, -4)$,$(1, -2)$,$(2, 0)$ છે. નિરીક્ષણ દ્વારા,તમે જોઈ શકો છો કે $y = 2x - 4$ એ આપેલા આલેખ (રેખા) ને અનુરૂપ સમીકરણ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $x - y = 2$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $y = x - 2$
આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા ત્રણ ઉકેલો શોધીએ છીએ:
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0 - 2 = -2$
જો $x = 1$ હોય,તો $y = 1 - 2 = -1$
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 2 - 2 = 0$
આપણને નીચે મુજબનું મૂલ્યોનું કોષ્ટક મળે છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-2$	$-1$	$0$

આ બિંદુઓ $(0, -2)$,$(1, -1)$ અને $(2, 0)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવો. આ બિંદુઓને જોડવાથી,આપણને એક સીધી રેખા $PQ$ મળે છે. આ રેખા $PQ$ એ સુરેખ સમીકરણ $x - y = 2$ નો આલેખ દર્શાવે છે.

(A) બિંદુ $(2, 14)$ નો અર્થ છે કે $x = 2$ અને $y = 14$.
આ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો શોધવા માટે,આપણે $ax + by = c$ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $a(2) + b(14) = c$ થાય.
$(i)$ જો આપણે $a=1, b=1$ લઈએ,તો $1(2) + 1(14) = 16$ મળે. તેથી,$x + y = 16$ એ એક સમીકરણ છે.
$(ii)$ જો આપણે $a=7, b=-1$ લઈએ,તો $7(2) - 1(14) = 14 - 14 = 0$ મળે. તેથી,$7x - y = 0$ એ બીજું સમીકરણ છે.
આવી અસંખ્ય રેખાઓ હોઈ શકે છે કારણ કે સમતલમાં એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3y = ax + 7$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ આ રેખાના આલેખ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 4$ મુકતા:
$3(4) = a(3) + 7$
$12 = 3a + 7$
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$12 - 7 = 3a$
$5 = 3a$
$3$ વડે ભાગતા:
$a = 5/3$
આમ,$a$ ની જરૂરી કિંમત $5/3$ છે.

(B, C) આકૃતિ $(i)$ માટે,રેખા $(-1, 1)$,$(0, 0)$ અને $(1, -1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(b)$ $x+y=0$ માટે,$(-1, 1)$ મૂકતા $-1+1=0$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,આકૃતિ $(i)$ માટેનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
આકૃતિ $(ii)$ માટે,રેખા $(-1, 3)$,$(0, 2)$ અને $(2, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(c)$ $y=-x+2$ માટે,$(-1, 3)$ મૂકતા $3=-(-1)+2 \Rightarrow 3=1+2 \Rightarrow 3=3$ મળે છે,જે સાચું છે.
$(0, 2)$ મૂકતા $2=-(0)+2 \Rightarrow 2=2$ મળે છે,જે સાચું છે.
આમ,આકૃતિ $(ii)$ માટેનું સમીકરણ $y=-x+2$ છે.

(N/A) આપણે $2x + 1 = x - 3$ ને ઉકેલીએ તો,
$2x - x = -3 - 1$
એટલે કે,$x = -4$
$(i)$ સંખ્યા રેખા પર ઉકેલનું નિરૂપણ આકૃતિ $(i)$ માં દર્શાવેલ છે,જ્યાં $x = -4$ ને એક ચલવાળા સમીકરણ તરીકે લેવામાં આવે છે.
$(ii)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $x = -4$ ને
$x + 0y = -4$
તરીકે લખી શકાય છે,જે $x$ અને $y$ ચલોમાં એક સુરેખ સમીકરણ છે. આ એક રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. હવે $y$ ની તમામ કિંમતો શક્ય છે કારણ કે $0y$ હંમેશા $0$ થાય છે. જોકે,$x$ એ સમીકરણ $x = -4$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ. તેથી,આપેલ સમીકરણના બે ઉકેલો $(-4, 0)$ અને $(-4, 2)$ છે.
નોંધો કે આલેખ $AB$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા છે અને તેની ડાબી બાજુએ $4$ એકમ અંતરે છે (જુઓ આકૃતિ $(ii)$).

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x - y = x - 1$ છે.
ચલને એક બાજુ લાવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $3x - x - y = -1$.
આનું સાદું રૂપ $2x - y = -1$ અથવા $y = 2x + 1$ થાય છે.
આ બે ચલ ($x$ અને $y$) વાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by + c = 0$ સ્વરૂપના બે ચલ વાળા સુરેખ સમીકરણને હંમેશા અનંત ઉકેલો હોય છે,કારણ કે $x$ ની દરેક કિંમત માટે,$y$ ની એક અનુરૂપ કિંમત મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આ સમીકરણને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x - 5y = 7$ એ બે ચલ ($x$ અને $y$) વાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
$ax + by = c$ સ્વરૂપના બે ચલ વાળા કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ માટે,$(x, y)$ ની અસંખ્ય જોડીઓ હોય છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લેતા,આપણને $y$ ની અનુરૂપ કિંમત મળે છે,અને તેનાથી ઉલટું પણ શક્ય છે.
તેથી,આ સમીકરણને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 7$ એ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક રેખા દર્શાવે છે,જેના વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
જો કે,જો આપણે $x$ અને $y$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$) સુધી મર્યાદિત કરીએ,તો આપણે ઉકેલ ચકાસી શકીએ છીએ:
જો $x = 1$ હોય,તો $2(1) + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.
જો $x = 2$ હોય,તો $2(2) + 5y = 7 \implies 5y = 3 \implies y = 3/5$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
જો $x \ge 2$ હોય,તો $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા મળશે નહીં.
આમ,$(1, 1)$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં એકમાત્ર ઉકેલ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 7$ માટે,આપણે એવા ઉકેલો શોધીએ છીએ જ્યાં $x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$).
જો $x = 1$ લઈએ,તો $2(1) + 5y = 7$,જે $5y = 5$ આપે છે,તેથી $y = 1$.
જો $x = 2$ લઈએ,તો $2(2) + 5y = 7$,જે $4 + 5y = 7$ આપે છે,તેથી $5y = 3$,અથવા $y = 3/5$,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
જો $x \ge 2$ હોય,તો $5y$ ની કિંમત $7 - 2x \le 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા ન હોઈ શકે.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન કરતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની એકમાત્ર જોડી $(1, 1)$ છે,જે તેને અનન્ય ઉકેલ બનાવે છે.

(C) $k$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ ઉકેલ $(x, y) = (2, 0)$ ને સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = k$ માં મૂકીશું.
સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$2(2) + 3(0) = k$
$4 + 0 = k$
$k = 4$
તેથી,$k$ ની કિંમત $4$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 0y + 9 = 0$ છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $2x = -9$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = -9/2$ મળે છે.
અહીં $y$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,$y$ ની કિંમત કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $m$ હોઈ શકે છે.
તેથી,સમીકરણનો કોઈપણ ઉકેલ $(-9/2, m)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 6$ નો આલેખ $y$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x$-યામ $0$ હોય છે.
સમીકરણ $2x + 3y = 6$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2(0) + 3y = 6$
$0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 6 / 3 = 2$
તેથી,જે બિંદુએ આલેખ $y$-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુ $(0, 2)$ છે.

(B) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
આપેલ સમીકરણ $x = 7$ ને $x - 7 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સમીકરણને બે ચલ $x$ અને $y$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ચલનો સહગુણક $0$ લઈએ છીએ.
આમ,સમીકરણ $1 \cdot x + 0 \cdot y = 7$ બને છે.

(D) $y=x$ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,તેનો $x$-યામ અને $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
જો આપણે $x$-યામને $a$ લઈએ,તો $y$-યામ પણ $a$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y=x$ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y=6$ માં $x$ ચલનો સમાવેશ થતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$ ની કિંમત હંમેશા $6$ રહે છે.
તેથી,$y=6$ નો આલેખ એક આડી રેખા છે જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
કારણ કે $y$-યામ હંમેશા $6$ રહે છે,તેથી આ રેખા $y$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $6$ એકમ જેટલા અંતરે આવેલી છે.

(C) $(x=5, y=2)$ ઉકેલ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,કિંમતોને દરેક સમીકરણમાં મૂકો:
વિકલ્પ $A$ માટે: $x + 2y = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9 \neq 7$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $5x + 2y = 5(5) + 2(2) = 25 + 4 = 29 \neq 7$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x + y = 5 + 2 = 7$. આ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $5x + y = 5(5) + 2 = 25 + 2 = 27 \neq 7$.
તેથી,સાચું સમીકરણ $x + y = 7$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 6$ નો આલેખ એક રેખા છે જે $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
સમીકરણ $2x + 3y = 6$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3(0) = 6$
$2x = 6$
$x = 6 / 2 = 3$
તેથી,રેખા $x$-અક્ષને $(3, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $y = x$ છે.
આ સમીકરણના આલેખ પર કોઈ બિંદુ $(x, y)$ હોય,તો તેનો $x$-યામ અને $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $(1, 1)$ જ્યાં $x = 1$ અને $y = 1$. અહીં $1 = 1$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ સમીકરણ $y = x$ નું સમાધાન કરે છે.
$B$: $(0, 3/2)$ જ્યાં $x = 0$ અને $y = 1.5$. અહીં $0 \neq 1.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
$C$: $(3/2, -3/2)$ જ્યાં $x = 1.5$ અને $y = -1.5$. અહીં $1.5 \neq -1.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
$D$: $(-1/2, 1/2)$ જ્યાં $x = -0.5$ અને $y = 0.5$. અહીં $-0.5 \neq 0.5$ હોવાથી,તે રેખા પર નથી.
તેથી,આલેખ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) જો આપણે સુરેખ સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્યતર સંખ્યા વડે ગુણીએ અથવા ભાગીએ,તો સમાનતા જળવાઈ રહે છે. કારણ કે ચલ વચ્ચેનો સંબંધ સંતુલિત રહે છે,તેથી સુરેખ સમીકરણનો ઉકેલ સમાન રહે છે.

(C) $x = 1$ અને $y = 2$ ની કિંમતો દ્વારા સંતોષાય તેવા અસંખ્ય સુરેખ સમીકરણો હોઈ શકે છે.
બે ચલવાળું સુરેખ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે. આપણી પાસે એક ચોક્કસ બિંદુ $(1, 2)$ હોવાથી,આપણે $a, b,$ અને $c$ સહગુણકો બદલીને આ બિંદુમાંથી પસાર થતી અસંખ્ય રેખાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
ઉદાહરણ તરીકે:
$1$. $x + y = 3$ (કારણ કે $1 + 2 = 3$)
$2$. $y = 2x$ (કારણ કે $2 = 2(1)$)
$3$. $y - x = 1$ (કારણ કે $2 - 1 = 1$)
$4$. $2y - x = 3$ (કારણ કે $2(2) - 1 = 3$)
આપણે $a, b,$ અને $c$ ના અસંખ્ય સંયોજનો પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $a(1) + b(2) + c = 0$ થાય,તેથી આવા અસંખ્ય સુરેખ સમીકરણો શક્ય છે.

(A) $(a, -a)$ સ્વરૂપના બિંદુમાં $x$-યામ $a$ છે અને $y$-યામ $-a$ છે.
આ બિંદુ કઈ રેખા પર આવેલું છે તે શોધવા માટે,આપણે યામો વચ્ચેનો સંબંધ જોઈ શકીએ છીએ:
$x = a$
$y = -a$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$x + y = a + (-a)$
$x + y = 0$
તેથી,$(a, -a)$ બિંદુ હંમેશા $x + y = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
કોષ્ટકમાં આપેલા બિંદુઓ $(x, y)$ સમીકરણ $2x + 2 = y$ નું સમાધાન કરે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીશું:
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $2(0) + 2 = 2$ (જે $y = 2$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 1$ હોય,ત્યારે $2(1) + 2 = 4$ (જે $y = 4$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $2(2) + 2 = 6$ (જે $y = 6$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $2(3) + 2 = 8$ (જે $y = 8$ સાથે મેળ ખાય છે).
જ્યારે $x = 4$ હોય,ત્યારે $2(4) + 2 = 10$ (જે $y = 10$ સાથે મેળ ખાય છે).
આમ,કોષ્ટકના તમામ બિંદુઓ સમીકરણ $2x + 2 = y$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી વિધાન સાચું છે.

(TRUE) બિંદુ $(0, 3)$ એ સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ ના આલેખ પર આવેલું છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 3$ મૂકીશું.
કિંમતો મૂકતા:
$3(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12$.
અહીં ડાબી બાજુની કિંમત જમણી બાજુની કિંમત જેટલી થાય છે $(12 = 12)$,તેથી બિંદુ $(0, 3)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(FALSE) સુરેખ સમીકરણ $x + 2y = 7$ નો આલેખ બિંદુ $(0, 7)$ માંથી પસાર થાય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 7$ મૂકીએ.
કિંમતો મૂકતા:
$0 + 2(7) = 7$
$0 + 14 = 7$
$14 = 7$
અહીં $14 \neq 7$ હોવાથી,બિંદુ $(0, 7)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ $x = a$ નો આલેખ $y$-અક્ષને સમાંતર અને તેનાથી $|a|$ એકમના અંતરે આવેલી રેખા છે.
જો $a > 0$ હોય,તો રેખા $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ આવેલી હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ $3$ એકમના અંતરે છે.
તેથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(B) બિંદુઓ ઉકેલ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતોને સમીકરણ $x-y+2=0$ માં મૂકીશું.
$(0, 2)$ માટે: $0 - 2 + 2 = 0$. (સાચું)
$(1, 3)$ માટે: $1 - 3 + 2 = 0$. (સાચું)
$(2, 4)$ માટે: $2 - 4 + 2 = 0$. (સાચું)
$(3, -5)$ માટે: $3 - (-5) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \neq 0$. (ખોટું)
$(4, 6)$ માટે: $4 - 6 + 2 = 0$. (સાચું)
બિંદુ $(3, -5)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનો આલેખ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ નો સમૂહ છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સુરેખ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી રેખા પરનું દરેક બિંદુ તે સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ નો આલેખ $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $3x + 4(0) = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x = 12$ થાય છે,તેથી $x = 4$.
આમ,$x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(4, 0)$ છે.
સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 12$ નો આલેખ $y$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x = 0$ હોય.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $3(0) + 4y = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4y = 12$ થાય છે,તેથી $y = 3$.
આમ,$y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(0, 3)$ છે.

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર અને ઉગમબિંદુથી $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ $x=2$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આપેલ સુરેખ સમીકરણ $x+y=5$ માં $x=2$ મૂકીએ.
$2+y=5$
$y=5-2$
$y=3$
તેથી,છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$-યામ એ તેના $y$-યામ (કોટિ) કરતા $\frac{5}{2}$ ગણો છે,તેથી $x = \frac{5}{2}y$.
સમીકરણ $2x + 5y = 20$ માં $x = \frac{5}{2}y$ મૂકતા:
$2(\frac{5}{2}y) + 5y = 20$
$5y + 5y = 20$
$10y = 20$
$y = 2$
હવે,$x = \frac{5}{2}y$ નો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ શોધો:
$x = \frac{5}{2}(2) = 5$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(5, 2)$ છે.

(N/A) $x$-અક્ષને સમાંતર કોઈપણ સીધી રેખાનું સમીકરણ $y=k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ $x$-અક્ષથી રેખાનું અંતર છે.
અહીં,રેખા $x$-અક્ષથી $4$ એકમ ઉપર છે,તેથી $k=4$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=4$ છે.
આ સમીકરણનો આલેખ દોરવા માટે,કાર્તેઝિયન સમતલ પર બિંદુઓ $(1,4)$,$(2,4)$ અને $(3,4)$ ને અંકિત કરો અને તેમને સીધી રેખા વડે જોડો. આ રેખા એવા તમામ બિંદુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જ્યાં $y$-યામ $4$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુનો ભુજ $x$ છે અને કોટિ $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોટિ એ ભુજ કરતાં $1 \frac{1}{2}$ ગણો છે,તેથી $y = 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x$.
આપેલ સુરેખ સમીકરણ $2x + 5y = 19$ માં $y = \frac{3}{2} x$ મૂકતા:
$2x + 5(\frac{3}{2} x) = 19$
$2x + \frac{15}{2} x = 19$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 15x = 38$
$19x = 38$
$x = 2$
હવે,$y = \frac{3}{2} x$ નો ઉપયોગ કરીને કોટિ $y$ શોધો:
$y = \frac{3}{2} (2) = 3$
આમ,બિંદુ $(2, 3)$ છે.

(N/A) $x$-અક્ષને સમાંતર અને તેની નીચે $a$ એકમ અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ $y = -a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અંતર $x$-અક્ષની નીચે $3$ એકમ છે,તેથી $a = 3$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -3$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તે દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં $y$-યામ $-3$ હોય,જેમ કે $(0, -3)$,$(1, -3)$,$(-1, -3)$ વગેરે.
સમીકરણ $y = -3$ નો આલેખ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, -3)$ માંથી પસાર થતી એક આડી રેખા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(A) બિંદુ $(3,4)$ એ $3y = ax + 7$ ના આલેખ પર આવેલું છે.
આપેલ સમીકરણ $3y = ax + 7$ માં $x = 3$ અને $y = 4$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$3 \times 4 = a \times 3 + 7$
$12 = 3a + 7$
$3a = 12 - 7$
$3a = 5$
$a = \frac{5}{3}$