Solution of a Linear Equation Questions in Gujarati

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $y$-યામ (ordinate) $0$ હોય છે.
સમીકરણ $x + 2y = 8$ માં $y = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + 2(0) = 8 \Rightarrow x = 8$.
આમ,$x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(8, 0)$ છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $y$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (abscissa) $0$ હોય છે.
સમીકરણ $x + 2y = 8$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
આમ,$y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(0, 4)$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ: $2x + cy = 8$.
આપણે $c$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $x = y$ થાય.
આપેલ સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$2x + c(x) = 8$
$x(2 + c) = 8$
$x = \frac{8}{2 + c}$
જો આપણે $x = y = 2$ લઈએ જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$2(2) + c(2) = 8$
$4 + 2c = 8$
$2c = 4$
$c = 2$
આમ,$c = 2$ માટે,સમીકરણ $2x + 2y = 8$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 4$ થાય છે,જેમાં $x = y = 2$ એ ઉકેલ શક્ય છે.

(A) $y$ એ $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$\Rightarrow y \propto x$
$\therefore y = kx$
જ્યારે $x = 4$ હોય ત્યારે $y = 12$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$12 = k \times 4 \Rightarrow k = 12 \div 4 = 3$
આમ,જરૂરી સુરેખ સમીકરણ $y = 3x$ છે.
જ્યારે $x = 5$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત $y = 3 \times 5 = 15$ થાય છે.

(N/A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સુરેખ સમીકરણ $y = 9x - 7$ ના આલેખ પર આવેલું છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે બિંદુના યામને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસવું પડશે કે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન છે કે નહીં.
બિંદુ $A(1, 2)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 9(1) - 7$
$2 = 9 - 7$
$2 = 2$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $A$ આલેખ પર આવેલું છે.
બિંદુ $B(-1, -16)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = -1$ અને $y = -16$ મૂકતા:
$-16 = 9(-1) - 7$
$-16 = -9 - 7$
$-16 = -16$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $B$ આલેખ પર આવેલું છે.
બિંદુ $C(0, -7)$ માટે:
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = -7$ મૂકતા:
$-7 = 9(0) - 7$
$-7 = 0 - 7$
$-7 = -7$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,બિંદુ $C$ આલેખ પર આવેલું છે.
આમ,ત્રણેય બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એ સમીકરણ $y = 9x - 7$ નું સમાધાન કરે છે અને તેથી તે તેના આલેખ પર આવેલા છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $3x + 4y = 6$ નો આલેખ દોરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણનું સમાધાન કરતા કેટલાક બિંદુઓ શોધીશું.
$1$. $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધવા માટે,$y = 0$ લો:
$3x + 4(0) = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. તેથી,બિંદુ $(2, 0)$ છે.
$2$. $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધવા માટે,$x = 0$ લો:
$3(0) + 4y = 6 \implies 4y = 6 \implies y = 1.5$. તેથી,બિંદુ $(0, 1.5)$ છે.
$3$. અન્ય એક બિંદુ શોધવા માટે,$x = -2$ લો:
$3(-2) + 4y = 6 \implies -6 + 4y = 6 \implies 4y = 12 \implies y = 3$. તેથી,બિંદુ $(-2, 3)$ છે.
કોષ્ટક:

$x$	$2$	$0$	$-2$
$y$	$0$	$1.5$	$3$

આ બિંદુઓ $(2, 0)$,$(0, 1.5)$ અને $(-2, 3)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને એક સીધી રેખા મેળવો.
આમ,આલેખ $x$-અક્ષને $(2, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, 1.5)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) સુરેખ સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે કયું સમીકરણ આપેલા તમામ બિંદુઓ $(-2, 2), (0, 0)$ અને $(2, -2)$ દ્વારા સંતોષાય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,$x + y = 0$:
$1$. $(-2, 2)$ માટે: $-2 + 2 = 0$. (સંતોષાય છે)
$2$. $(0, 0)$ માટે: $0 + 0 = 0$. (સંતોષાય છે)
$3$. $(2, -2)$ માટે: $2 + (-2) = 0$. (સંતોષાય છે)
આમ,તમામ બિંદુઓ $x + y = 0$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી આ સાચું સુરેખ સમીકરણ છે.

(A) યામ સમતલને $(x, y)$ યામોની નિશાનીઓના આધારે ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણ $(I)$ માં એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ હોય છે જ્યાં $x > 0$ અને $y > 0$ બંને હોય છે.
કારણ કે ધન ઉકેલનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ બંને ધન છે,તેથી આવા બિંદુઓ હંમેશા પ્રથમ ચરણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સમીકરણ $ax + by + c = 0$ ના ધન ઉકેલો હંમેશા $1^{st}$ ચરણમાં આવેલા હોય છે.

આપેલ સમીકરણ: $2x + 5y = 20$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા: $5y = 20 - 2x$,તેથી $y = \frac{20 - 2x}{5}$.
$1$. જો $x = 0$ લઈએ,તો $y = \frac{20 - 2(0)}{5} = \frac{20}{5} = 4$. તેથી,$(0, 4)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. જો $x = 5$ લઈએ,તો $y = \frac{20 - 2(5)}{5} = \frac{10}{5} = 2$. તેથી,$(5, 2)$ એક ઉકેલ છે.
$3$. જો $x = -5$ લઈએ,તો $y = \frac{20 - 2(-5)}{5} = \frac{30}{5} = 6$. તેથી,$(-5, 6)$ એક ઉકેલ છે.
$4$. જો $x = 10$ લઈએ,તો $y = \frac{20 - 2(10)}{5} = \frac{0}{5} = 0$. તેથી,$(10, 0)$ એક ઉકેલ છે.
આમ,આપેલ સમીકરણના ચાર ઉકેલો $(0, 4), (5, 2), (-5, 6)$ અને $(10, 0)$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $4x - 3y = 24$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$3y = 4x - 24$
$y = \frac{4x - 24}{3}$
ચાર ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની અલગ અલગ કિંમતો મૂકીશું:
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $y = \frac{4(0) - 24}{3} = \frac{-24}{3} = -8$. તેથી,$(0, -8)$ એ એક ઉકેલ છે.
$2$. જો $x = 3$ હોય,તો $y = \frac{4(3) - 24}{3} = \frac{12 - 24}{3} = \frac{-12}{3} = -4$. તેથી,$(3, -4)$ એ એક ઉકેલ છે.
$3$. જો $x = 6$ હોય,તો $y = \frac{4(6) - 24}{3} = \frac{24 - 24}{3} = \frac{0}{3} = 0$. તેથી,$(6, 0)$ એ એક ઉકેલ છે.
$4$. જો $x = 9$ હોય,તો $y = \frac{4(9) - 24}{3} = \frac{36 - 24}{3} = \frac{12}{3} = 4$. તેથી,$(9, 4)$ એ એક ઉકેલ છે.
આમ,આપેલ સમીકરણના ચાર ઉકેલો $(0, -8), (3, -4), (6, 0)$ અને $(9, 4)$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $3x + 5y = 0$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા:
$5y = -3x$
$y = \frac{-3x}{5}$
ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીશું:
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $y = \frac{-3(0)}{5} = 0$. તેથી,$(0, 0)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. જો $x = 5$ હોય,તો $y = \frac{-3(5)}{5} = -3$. તેથી,$(5, -3)$ એક ઉકેલ છે.
$3$. જો $x = -5$ હોય,તો $y = \frac{-3(-5)}{5} = 3$. તેથી,$(-5, 3)$ એક ઉકેલ છે.
$4$. જો $x = 10$ હોય,તો $y = \frac{-3(10)}{5} = -6$. તેથી,$(10, -6)$ એક ઉકેલ છે.
આમ,આપેલ સમીકરણના ચાર ઉકેલ $(0, 0), (5, -3), (-5, 3)$ અને $(10, -6)$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x - 12 = 0$
પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ ઉકેલો.
$2x = 12$
$x = 6$
પગલું $2$: સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$1x + 0y - 6 = 0$
પગલું $3$: અહીં $y$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,$y$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $x$ ની કિંમત હંમેશા $6$ રહેશે. આપણે $y$ ની કોઈપણ ચાર કિંમતો લઈને અનુરૂપ ઉકેલ $(x, y)$ મેળવી શકીએ છીએ.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = 6$. ઉકેલ: $(6, 0)$
જો $y = 1$ હોય,તો $x = 6$. ઉકેલ: $(6, 1)$
જો $y = 2$ હોય,તો $x = 6$. ઉકેલ: $(6, 2)$
જો $y = 3$ હોય,તો $x = 6$. ઉકેલ: $(6, 3)$
આમ,ચાર ઉકેલો $(6, 0), (6, 1), (6, 2)$ અને $(6, 3)$ છે.

(N/A) સમીકરણ $2x - 5y = 10$ માટે ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની અલગ અલગ કિંમતો મૂકીને $y$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ અથવા તેનાથી ઉલટું કરી શકીએ છીએ.
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $2(0) - 5y = 10 \implies -5y = 10 \implies y = -2$. તેથી,$(0, -2)$ એક ઉકેલ છે.
$2$. જો $y = 0$ હોય,તો $2x - 5(0) = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. તેથી,$(5, 0)$ એક ઉકેલ છે.
$3$. જો $x = -5$ હોય,તો $2(-5) - 5y = 10 \implies -10 - 5y = 10 \implies -5y = 20 \implies y = -4$. તેથી,$(-5, -4)$ એક ઉકેલ છે.
$4$. જો $y = 2$ હોય,તો $2x - 5(2) = 10 \implies 2x - 10 = 10 \implies 2x = 20 \implies x = 10$. તેથી,$(10, 2)$ એક ઉકેલ છે.
આમ,ચાર ઉકેલો $(0, -2), (5, 0), (-5, -4), (10, 2)$ છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $2x + 3y = 7$ માટે ઉકેલ શોધવા,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$3y = 7 - 2x$
$y = \frac{7 - 2x}{3}$
હવે,$y$ ની અનુરૂપ કિંમતો શોધવા માટે $x$ ની વિવિધ કિંમતો મૂકીએ:
$1$. જો $x = -1$ હોય,તો $y = \frac{7 - 2(-1)}{3} = \frac{7 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$. ઉકેલ: $(-1, 3)$.
$2$. જો $x = 2$ હોય,તો $y = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$. ઉકેલ: $(2, 1)$.
$3$. જો $x = 5$ હોય,તો $y = \frac{7 - 2(5)}{3} = \frac{7 - 10}{3} = \frac{-3}{3} = -1$. ઉકેલ: $(5, -1)$.
$4$. જો $x = 8$ હોય,તો $y = \frac{7 - 2(8)}{3} = \frac{7 - 16}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. ઉકેલ: $(8, -3)$.
આમ,ચાર ઉકેલ $(-1, 3), (2, 1), (5, -1), (8, -3)$ છે.

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $5x + 3y = 16$ માટે ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે $x$ ની મનસ્વી કિંમતો લઈ શકીએ છીએ અને $y = \frac{16 - 5x}{3}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
$1$. જો $x = 2$ હોય,તો $y = \frac{16 - 5(2)}{3} = \frac{16 - 10}{3} = \frac{6}{3} = 2$. ઉકેલ: $(2, 2)$.
$2$. જો $x = 5$ હોય,તો $y = \frac{16 - 5(5)}{3} = \frac{16 - 25}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. ઉકેલ: $(5, -3)$.
$3$. જો $x = -1$ હોય,તો $y = \frac{16 - 5(-1)}{3} = \frac{16 + 5}{3} = \frac{21}{3} = 7$. ઉકેલ: $(-1, 7)$.
$4$. જો $x = -4$ હોય,તો $y = \frac{16 - 5(-4)}{3} = \frac{16 + 20}{3} = \frac{36}{3} = 12$. ઉકેલ: $(-4, 12)$.

સમીકરણ $3x + y = 11$ માટે ઉકેલ શોધવા,આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ:
$y = 11 - 3x$
હવે,$y$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો શોધવા માટે આપણે $x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો મૂકીએ:
$1$. જો $x = 0$ હોય,તો $y = 11 - 3(0) = 11$. તેથી,ઉકેલ $(0, 11)$ છે.
$2$. જો $x = 1$ હોય,તો $y = 11 - 3(1) = 8$. તેથી,ઉકેલ $(1, 8)$ છે.
$3$. જો $x = 2$ હોય,તો $y = 11 - 3(2) = 5$. તેથી,ઉકેલ $(2, 5)$ છે.
$4$. જો $x = -1$ હોય,તો $y = 11 - 3(-1) = 11 + 3 = 14$. તેથી,ઉકેલ $(-1, 14)$ છે.
આમ,ચાર ઉકેલો $(0, 11), (1, 8), (2, 5), (-1, 14)$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $4y - 11 = 0$ છે,જેને $0x + 4y = 11$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બે ચલ $x$ અને $y$ વાળું સુરેખ સમીકરણ છે.
અહીં $x$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,$x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $y$ ની કિંમત હંમેશા $\frac{11}{4}$ રહેશે.
આપણે $x$ ની કોઈપણ ચાર મનસ્વી કિંમતો પસંદ કરીને અનુરૂપ ઉકેલો મેળવી શકીએ છીએ.
ધારો કે $x = 0$,તો $y = \frac{11}{4}$. ઉકેલ: $(0, 2.75)$.
ધારો કે $x = 1$,તો $y = \frac{11}{4}$. ઉકેલ: $(1, 2.75)$.
ધારો કે $x = 2$,તો $y = \frac{11}{4}$. ઉકેલ: $(2, 2.75)$.
ધારો કે $x = 3$,તો $y = \frac{11}{4}$. ઉકેલ: $(3, 2.75)$.
આમ,ચાર ઉકેલો $(0, 2.75), (1, 2.75), (2, 2.75), (3, 2.75)$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $3x - 24 = 0$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $3x = 24$ મળે, તેથી $x = 8$ થાય.
આ સમીકરણ $x = 8$ સ્વરૂપમાં હોવાથી, તેને બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણ તરીકે $1x + 0y = 8$ લખી શકાય.
અહીં $y$ ની કોઈપણ કિંમત માટે, $x$ ની કિંમત હંમેશા $8$ જ રહેશે.
તેથી, ચાર શક્ય ઉકેલો $(8, 0), (8, 1), (8, 2) \text{ અને } (8, 3)$ છે.

(N/A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સમીકરણ $3x - 2y = 12$ નો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે ડાબી બાજુ $(LHS)$ એ જમણી બાજુ ($RHS$ = $12$) જેટલી છે કે નહીં.
$(1) (0, -6): 3(0) - 2(-6) = 0 + 12 = 12$. અહીં $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$(0, -6)$ એ ઉકેલ છે.
$(2) (2, 3): 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0 \neq 12$. આ ઉકેલ નથી.
$(3) (2, -3): 3(2) - 2(-3) = 6 + 6 = 12$. અહીં $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$(2, -3)$ એ ઉકેલ છે.
$(4) (-4, 0): 3(-4) - 2(0) = -12 - 0 = -12 \neq 12$. આ ઉકેલ નથી.
$(5) (-2, -9): 3(-2) - 2(-9) = -6 + 18 = 12$. અહીં $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$(-2, -9)$ એ ઉકેલ છે.
$(6) (6, 4): 3(6) - 2(4) = 18 - 8 = 10 \neq 12$. આ ઉકેલ નથી.
આમ,$(1), (3)$ અને $(5)$ એ ઉકેલ છે,જ્યારે $(2), (4)$ અને $(6)$ એ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 5y = k$ છે.
કારણ કે $(3,5)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી આપણે $x = 3$ અને $y = 5$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું.
$2(3) + 5(5) = k$
$6 + 25 = k$
$k = 31$
આમ,$k$ ની કિંમત $31$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(2, -3)$ એ સમીકરણ $3x + ky = 18$ નો ઉકેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે આપણે સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = -3$ મૂકીએ,ત્યારે તે સમાનતાનું પાલન કરવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $3(2) + k(-3) = 18$.
$6 - 3k = 18$.
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા: $-3k = 18 - 6$.
$-3k = 12$.
$-3$ વડે ભાગતા: $k = 12 / -3$.
તેથી,$k = -4$.

(B) આપેલ સમીકરણ $kx + 4y = 33$ છે.
કારણ કે $(5, 2)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી આપણે $x = 5$ અને $y = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું.
$k(5) + 4(2) = 33$
$5k + 8 = 33$
$5k = 33 - 8$
$5k = 25$
$k = \frac{25}{5}$
$k = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 5y = 17$ છે.
કારણ કે $(k, 3)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી આપણે $x = k$ અને $y = 3$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું.
$2(k) + 5(3) = 17$
$2k + 15 = 17$
$2k = 17 - 15$
$2k = 2$
$k = 1$.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $7x - 3y = a$ માં $(x, y) = (2, 3)$ મૂકતા.
$7(2) - 3(3) = a$
$14 - 9 = a$
$a = 5$.
પગલું $2$: બિંદુ $(a, a+1)$ માં $a = 5$ મૂકતા આપણને $(5, 6)$ મળે છે.
પગલું $3$: સમીકરણ $2x + y = b$ માં $(x, y) = (5, 6)$ મૂકતા.
$2(5) + 6 = b$
$10 + 6 = b$
$b = 16$.
આમ,$a = 5$ અને $b = 16$ મળે છે.

$(x_1, y_1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે. એક બિંદુ $(2, 3)$ માંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થતી હોવાથી,આપણે સહગુણકો $a$ અને $b$ માટે અલગ અલગ કિંમતો પસંદ કરીને સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ.
$1$. $a=1, b=1$ માટે: $(x - 2) + (y - 3) = 0 \implies x + y = 5$.
$2$. $a=3, b=-2$ માટે: $3(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \implies 3x - 6 - 2y + 6 = 0 \implies 3x - 2y = 0$.
$3$. $a=5, b=-3$ માટે: $5(x - 2) - 3(y - 3) = 0 \implies 5x - 10 - 3y + 9 = 0 \implies 5x - 3y = 1$.
$4$. $a=2, b=3$ માટે: $2(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \implies 2x - 4 + 3y - 9 = 0 \implies 2x + 3y = 13$.

(C) સુરેખ સમીકરણના આલેખ પરનું દરેક બિંદુ તે સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,યામ $(x, y) = (3, 5)$ એ સમીકરણ $ax + y = 20$ નું સમાધાન કરે છે.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 5$ મૂકતા:
$a(3) + 5 = 20$
$3a + 5 = 20$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$3a = 20 - 5$
$3a = 15$
$3$ વડે ભાગતા:
$a = \frac{15}{3}$
$a = 5$
આમ,$a$ ની કિંમત $5$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x - 3y = 0$
$\therefore 3y = 2x$
$\therefore y = \frac{2}{3}x$
આલેખ દોરવા માટે,આપણે સમીકરણ માટે ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલો શોધીએ છીએ:
$1$. $x = 0$ માટે,આપણને $y = \frac{2}{3}(0) = 0$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $x = 3$ માટે,આપણને $y = \frac{2}{3}(3) = 2$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(3, 2)$ છે.
$3$. $x = -3$ માટે,આપણને $y = \frac{2}{3}(-3) = -2$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(-3, -2)$ છે.
આપણે આ ઉકેલોને નીચે મુજબ કોષ્ટક સ્વરૂપે દર્શાવી શકીએ છીએ:

$x$	$0$	$3$	$-3$
$y$	$0$	$2$	$-2$

આ બિંદુઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર અંકિત કરો અને તેમને જોડીને $2x - 3y = 0$ સમીકરણ દર્શાવતી સીધી રેખા મેળવો.

(N/A) $4x - 3y = 12$
$\therefore 4x - 12 = 3y$
$\therefore y = \frac{4x - 12}{3}$
$x = 0$ માટે,આપણને મળે છે:
$y = \frac{4(0) - 12}{3} = \frac{-12}{3} = -4$; એટલે કે,$y = -4$
$x = 3$ માટે,આપણને મળે છે:
$y = \frac{4(3) - 12}{3} = \frac{0}{3} = 0$; એટલે કે,$y = 0$
$x = 6$ માટે,આપણને મળે છે:
$y = \frac{4(6) - 12}{3} = \frac{12}{3} = 4$; એટલે કે,$y = 4$
આ ઉકેલોને નીચે મુજબ કોષ્ટક સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય:

$x$	$0$	$3$	$6$
$y$	$-4$	$0$	$4$

આ બિંદુઓ $(0, -4)$,$(3, 0)$,અને $(6, 4)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવો અને તેમને જોડીને રેખા $4x - 3y = 12$ નો આલેખ મેળવો.

બિંદુ $(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી બે ચલવાળી સુરેખ સમીકરણને $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ બિંદુ $(3, 5)$ માટે,આપણે $a$ અને $b$ ની અલગ અલગ કિંમતો પસંદ કરીને વિવિધ રેખાઓ શોધી શકીએ છીએ:
$1$. $a=1, b=1$ માટે: $(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies x + y = 8$.
$2$. $a=-1, b=1$ માટે: $-(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies -x + 3 + y - 5 = 0 \implies y - x = 2$.
$3$. $a=1, b=2$ માટે: $(x - 3) + 2(y - 5) = 0 \implies x - 3 + 2y - 10 = 0 \implies x + 2y = 13$.
$4$. $a=2, b=1$ માટે: $2(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies 2x - 6 + y - 5 = 0 \implies 2x + y = 11$.

બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
બિંદુ $(-2, 4)$ માટે,સમીકરણ $(y - 4) = m(x + 2)$ થશે.
ઢાળ $m$ ની અલગ-અલગ કિંમતો પસંદ કરીને,આપણે અસંખ્ય રેખાઓ મેળવી શકીએ છીએ:
$1$. જો $m = -1$ હોય,તો $(y - 4) = -1(x + 2) \implies y - 4 = -x - 2 \implies x + y = 2$.
$2$. જો $m = 1$ હોય,તો $(y - 4) = 1(x + 2) \implies y - 4 = x + 2 \implies x - y = -6$.
$3$. જો $m = -2$ હોય,તો $(y - 4) = -2(x + 2) \implies y - 4 = -2x - 4 \implies 2x + y = 0$.
$4$. જો $m = -0.5$ હોય,તો $(y - 4) = -0.5(x + 2) \implies y - 4 = -0.5x - 1 \implies 0.5x + y = 3 \implies x + 2y = 6$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં આ મુજબ છે: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,જ્યાં $a$ અને $b$ અનુક્રમે $x$-અંતઃખંડ અને $y$-અંતઃખંડ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(0,4)$ છે.
અહીં,$x$-અંતઃખંડ $a = 3$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = 4$ છે.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$
સાદુરૂપ આપવા માટે,આખા સમીકરણને $3$ અને $4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણતા:
$12 \times (\frac{x}{3}) + 12 \times (\frac{y}{4}) = 12 \times 1$
$4x + 3y = 12$
આમ,સાચું સમીકરણ $4x + 3y = 12$ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-2, 0)$ અને $(0, 3)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{3}{2}$.
રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $c$ એ $y$-અંતઃખંડ છે.
રેખા $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = 3$ છે.
આમ,સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x + 3$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2y = 3x + 6$ મળે,જેને ફરીથી ગોઠવતા $3x - 2y = -6$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $(2, 3)$ એ સમીકરણ $3x + ay = 18$ ના આલેખ પર આવેલું છે.
આનો અર્થ એ છે કે યામ $x = 2$ અને $y = 3$ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3(2) + a(3) = 18$
$6 + 3a = 18$
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા:
$3a = 18 - 6$
$3a = 12$
$3$ વડે ભાગતા:
$a = 4$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax + 3y = 7$ છે.
બિંદુ $(-2, 5)$ આલેખ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -2$ અને $y = 5$ મૂકતા:
$a(-2) + 3(5) = 7$
$-2a + 15 = 7$
$-2a = 7 - 15$
$-2a = -8$
$a = \frac{-8}{-2}$
$a = 4$

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $(a, a-2)$ એ સમીકરણ $3x + 5y = 30$ ના આલેખ પર આવેલું છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુના યામ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = a - 2$ મૂકતા:
$3(a) + 5(a - 2) = 30$
$3a + 5a - 10 = 30$
$8a - 10 = 30$
$8a = 30 + 10$
$8a = 40$
$a = 40 / 8$
$a = 5$

(C) સાચું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે આલેખ પર દર્શાવેલ બિંદુઓ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. રેખા પરના બિંદુઓ $(0, 2)$,$(2, 1)$ અને $(4, 0)$ છે.
વિકલ્પ $(C)$,$x + 2y = 4$ માં બિંદુઓ ચકાસતા:
$(0, 2)$ માટે: $0 + 2(2) = 4$,એટલે કે $4 = 4$ (સાચું).
$(2, 1)$ માટે: $2 + 2(1) = 4$,એટલે કે $4 = 4$ (સાચું).
$(4, 0)$ માટે: $4 + 2(0) = 4$,એટલે કે $4 = 4$ (સાચું).
આમ,બધા બિંદુઓ $x + 2y = 4$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી આ સાચું સમીકરણ છે.

(D) સાચું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે,આપણે આલેખમાં દર્શાવેલ રેખા પર આવેલા બિંદુઓને ચકાસીએ છીએ.
રેખા પર અંકિત બિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 4)$ અને $(-2, -4)$ છે.
હવે,આપણે આ બિંદુઓને આપેલા સમીકરણોમાં ચકાસીએ:
વિકલ્પ $D$ માટે,$y = 2x$:
$1$. $(0, 0)$ માટે: $0 = 2(0) \implies 0 = 0$ (સાચું)
$2$. $(2, 4)$ માટે: $4 = 2(2) \implies 4 = 4$ (સાચું)
$3$. $(-2, -4)$ માટે: $-4 = 2(-2) \implies -4 = -4$ (સાચું)
આમ,બધા બિંદુઓ સમીકરણ $y = 2x$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી આ સાચું સમીકરણ છે.

(N/A) ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x$ છે અને કુલ ખર્ચ $y$ છે.
બસનું નિશ્ચિત ભાડું ₹ $200$ છે.
વિદ્યાર્થી દીઠ નાસ્તાનો ખર્ચ ₹ $30$ છે.
તેથી,કુલ ખર્ચ $y$ ને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય: $y = 30x + 200$.
$40$ વિદ્યાર્થીઓ માટે કુલ ખર્ચ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 40$ મૂકો:
$y = 30(40) + 200$
$y = 1200 + 200$
$y = 1400$.
આમ,$40$ વિદ્યાર્થીઓ માટેનો કુલ ખર્ચ ₹ $1400$ થાય.

(N/A) $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ $x$-અક્ષથી તેનું અંતર છે.
રેખા $x$-અક્ષની નીચે $3$ એકમ અંતરે હોવાથી,$y$ નું મૂલ્ય ઋણ થશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -3$ છે.
આલેખ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, -3)$ માંથી પસાર થતી એક આડી સીધી રેખા છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ,જે સામાન્ય રીતે $ax + by + c = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b,$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a, b \neq 0$ છે,તેને અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
એક ચલ માટે કોઈપણ કિંમત મૂકવાથી,બીજા ચલ માટે અનુરૂપ કિંમત મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,તેને અનન્ય ઉકેલ હોતો નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x = 4y$ છે,જેને $y = \frac{3}{4}x$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $y = mx$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $m = \frac{3}{4}$ છે.
$y = mx$ (જ્યાં $c = 0$) સ્વરૂપનું કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
સમીકરણ $3x = 4y$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $3(0) = 4y$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $4y = 0$,તેથી $y = 0$.
બિંદુ $(0, 0)$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,આ વિધાન ખરું છે.

(B) આપેલ વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બિંદુ $(x, y) = (5, -2)$ ની કિંમત સમીકરણ $5x + 2y = k$ માં મૂકીશું.
$x = 5$ અને $y = -2$ મૂકતા:
$5(5) + 2(-2) = k$
$25 - 4 = k$
$21 = k$
અહીં $k$ ની કિંમત $21$ મળે છે,$0$ નહીં,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x = 15$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન સમતલમાં,સમીકરણ $x = a$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે,જે બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,$x = 5$ નો આલેખ $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે,$x$-અક્ષને સમાંતર નથી.
આમ,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
$y$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $5x - 3y = 30$ માં $x = 0$ મૂકીએ છીએ.
$x = 0$ મૂકતા: $5(0) - 3y = 30 \implies -3y = 30 \implies y = -10$.
આમ,આલેખ $y$-અક્ષને $(0, -10)$ બિંદુએ છેદે છે.
બીજી તરફ,જો આપણે $(6, 0)$ બિંદુને સમીકરણમાં $x = 6$ અને $y = 0$ મૂકીને ચકાસીએ: $5(6) - 3(0) = 30 - 0 = 30$. આ બિંદુ $x$-અક્ષ પર છે,$y$-અક્ષ પર નથી.

(A) સુરેખ સમીકરણ $3x + 5y = 30$ માટે ઉકેલ શોધવા,આપણે આપેલા વિકલ્પોને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ $(10, 0)$ માટે,$x = 10$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$3(10) + 5(0) = 30 + 0 = 30$.
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,$(10, 0)$ એ ઉકેલ છે.
વિકલ્પ $B$ $(0, 10)$ માટે,$x = 0$ અને $y = 10$ મૂકતા:
$3(0) + 5(10) = 0 + 50 = 50 \neq 30$.
વિકલ્પ $C$ $(3, 5)$ માટે,$x = 3$ અને $y = 5$ મૂકતા:
$3(3) + 5(5) = 9 + 25 = 34 \neq 30$.
વિકલ્પ $D$ $(0, 0)$ માટે,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$3(0) + 5(0) = 0 \neq 30$.
તેથી,સાચો ઉકેલ $(10, 0)$ છે.

(B) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સમીકરણ $2x + 7y = 28$ નો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે ડાબી બાજુનું મૂલ્ય જમણી બાજુ $(28)$ જેટલું થાય છે કે નહીં.
$(14, 0)$ માટે: $2(14) + 7(0) = 28 + 0 = 28$. (આ ઉકેલ છે).
$(2, 7)$ માટે: $2(2) + 7(7) = 4 + 49 = 53 \neq 28$. (આ ઉકેલ નથી).
$(0, 4)$ માટે: $2(0) + 7(4) = 0 + 28 = 28$. (આ ઉકેલ છે).
$(7, 2)$ માટે: $2(7) + 7(2) = 14 + 14 = 28$. (આ ઉકેલ છે).
તેથી,$(2, 7)$ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $x + 3y = k$ છે.
અહીં $(5, 2)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ હોવાથી,આપણે $x = 5$ અને $y = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીશું.
$5 + 3(2) = k$
$5 + 6 = k$
$k = 11$
આમ,$k$ ની કિંમત $11$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x - 2y = 12$
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ને કર્તા બનાવીશું:
બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરતા: $-2y = 12 - 3x$
બંને બાજુને $-1$ વડે ગુણતા: $2y = 3x - 12$
$2$ વડે ભાગતા: $y = \frac{3x - 12}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $ax + by = k$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા ત્યારે જ દર્શાવે છે જો અચળ પદ $k$ ની કિંમત $0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $3x + 7y = k$ માં ઉગમબિંદુના યામ $(x = 0, y = 0)$ મૂકતા:
$3(0) + 7(0) = k$
$0 + 0 = k$
$k = 0$
આમ,$k$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x + ay = 7$ છે.
આલેખ બિંદુ $(3, -1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આ બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = -1$ મૂકતા:
$3(3) + a(-1) = 7$
$9 - a = 7$
$-a = 7 - 9$
$-a = -2$
$a = 2$
તેથી,$a$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) $3x - 2y = 12$ સમીકરણનો આલેખ કયા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે શોધવા માટે,આપણે આપેલા યામોને સમીકરણમાં મૂકીને ચકાસીએ.
બિંદુ $(4, 0)$ માટે:
$3(4) - 2(0) = 12 - 0 = 12$. આ બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
બિંદુ $(0, -6)$ માટે:
$3(0) - 2(-6) = 0 + 12 = 12$. આ બિંદુ પણ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,આલેખ $(4, 0)$ અને $(0, -6)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.