Solution of a Linear Equation Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax + by + c = 0$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$1x + (-\frac{1}{5})y + (-10) = 0$.
इसकी तुलना व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 1$,$b = -\frac{1}{5}$ और $c = -10$.

(A) दिया गया समीकरण $x = 3y$ है।
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,दोनों पक्षों से $3y$ घटाने पर:
$x - 3y = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1)x + (-3)y + 0 = 0$
इसकी तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1$
$b = -3$
$c = 0$

(N/A) रैखिक समीकरण $x + 2y = 6$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम एक चर को कोई भी मान देकर दूसरे चर का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. मान लीजिए $x = 0$ है। तब $0 + 2y = 6$,जिससे $2y = 6$ प्राप्त होता है,अतः $y = 3$ है। इस प्रकार,$(0, 3)$ एक हल है।
$2$. मान लीजिए $y = 0$ है। तब $x + 2(0) = 6$,जिससे $x = 6$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$(6, 0)$ एक हल है।
$3$. मान लीजिए $x = 2$ है। तब $2 + 2y = 6$,जिससे $2y = 4$ प्राप्त होता है,अतः $y = 2$ है। इस प्रकार,$(2, 2)$ एक हल है।
$4$. मान लीजिए $y = 1$ है। तब $x + 2(1) = 6$,जिससे $x + 2 = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = 4$ है। इस प्रकार,$(4, 1)$ एक हल है।
अतः,समीकरण के चार अलग-अलग हल $(0, 3)$,$(6, 0)$,$(2, 2)$ और $(4, 1)$ हैं।

(N/A) $(i)$ $4x + 3y = 12$ के लिए,यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $3y = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 4$। अतः,$(0, 4)$ एक हल है। यदि हम $y = 0$ लेते हैं,तो $4x = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$। अतः,$(3, 0)$ दूसरा हल है।
$(ii)$ $2x + 5y = 0$ के लिए,यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $5y = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$। अतः,$(0, 0)$ एक हल है। यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $2(1) + 5y = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $5y = -2$,इसलिए $y = -\frac{2}{5}$। अतः,$(1, -\frac{2}{5})$ दूसरा हल है।
$(iii)$ $3y + 4 = 0$ के लिए,हम इसे $0x + 3y = -4$ के रूप में लिख सकते हैं। $x$ के किसी भी मान के लिए,$y$ का मान $-\frac{4}{3}$ ही रहेगा। यदि हम $x = 0$ लेते हैं,तो $y = -\frac{4}{3}$। यदि हम $x = 1$ लेते हैं,तो $y = -\frac{4}{3}$। अतः,दो हल $(0, -\frac{4}{3})$ और $(1, -\frac{4}{3})$ हैं।

(C) समीकरण $y = 3x + 5$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by + c = 0$ के रूप वाले दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए,$(x, y)$ के अपरिमित रूप से अनेक युग्म होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इसका कारण यह है कि $x$ के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए,हम $y = 3x + 5$ संबंध का उपयोग करके $y$ का एक संगत अद्वितीय मान ज्ञात कर सकते हैं।
चूंकि $x$ के लिए अपरिमित रूप से अनेक वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए $y$ के लिए भी अपरिमित रूप से अनेक संगत मान प्राप्त होते हैं।
अतः,सही विकल्प $(iii)$ है।

(N/A) समीकरण $2x + y = 7$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $y = 7 - 2x$।
$x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y$ के संगत मान प्राप्त होते हैं:
$1$. जब $x = 0$ हो,तब $y = 7 - 2(0) = 7$। अतः,हल $(0, 7)$ है।
$2$. जब $x = 1$ हो,तब $y = 7 - 2(1) = 5$। अतः,हल $(1, 5)$ है।
$3$. जब $x = 2$ हो,तब $y = 7 - 2(2) = 3$। अतः,हल $(2, 3)$ है।
$4$. जब $x = 3$ हो,तब $y = 7 - 2(3) = 1$। अतः,हल $(3, 1)$ है।

(N/A) रैखिक समीकरण $\pi x + y = 9$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $x$ के विभिन्न मान रखकर $y$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. जब $x = 0$ हो:
$\pi(0) + y = 9 \Rightarrow 0 + y = 9 \Rightarrow y = 9$.
अतः,हल $(0, 9)$ है।
$2$. जब $x = 1$ हो:
$\pi(1) + y = 9 \Rightarrow \pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - \pi$.
अतः,हल $(1, 9 - \pi)$ है।
$3$. जब $x = 2$ हो:
$\pi(2) + y = 9 \Rightarrow 2\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - 2\pi$.
अतः,हल $(2, 9 - 2\pi)$ है।
$4$. जब $x = -1$ हो:
$\pi(-1) + y = 9 \Rightarrow -\pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 + \pi$.
अतः,हल $(-1, 9 + \pi)$ है।

(N/A) समीकरण $x = 4y$ के लिए हल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के विभिन्न मान रखकर $x$ के संगत मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. यदि $y = 0$ है,तो $x = 4(0) = 0$। अतः,हल $(0, 0)$ है।
$2$. यदि $y = 1$ है,तो $x = 4(1) = 4$। अतः,हल $(4, 1)$ है।
$3$. यदि $y = -1$ है,तो $x = 4(-1) = -4$। अतः,हल $(-4, -1)$ है।
$4$. यदि $y = 2$ है,तो $x = 4(2) = 8$। अतः,हल $(8, 2)$ है।

(B) दिया गया बिंदु $(0, 2)$ है,जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 2$ है।
समीकरण $x - 2y = 4$ में $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= x - 2y = 0 - 2(2) = 0 - 4 = -4$ है।
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि बायाँ पक्ष $= -4$ और दायाँ पक्ष $= 4$ है,इसलिए बायाँ पक्ष $\neq$ दायाँ पक्ष है।
अतः,$(0, 2)$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(B) निर्देशांक $(2, 0)$ का अर्थ है कि $x=2$ और $y=0$ है।
समीकरण $x - 2y = 4$ में $x=2$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= 2 - 2(0) = 2 - 0 = 2$.
चूंकि दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $= 4$ है,इसलिए बायां पक्ष $\neq$ दायां पक्ष।
अतः,$(2, 0)$ दिए गए समीकरण का हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x - 2y = 4$ है।
बिंदु $(4, 0)$ के लिए,हमारे पास $x = 4$ और $y = 0$ है।
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में प्रतिस्थापित करने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 4 - 2(0) = 4 - 0 = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि $L$.$H$.$S$. $=$ $R$.$H$.$S$. है,इसलिए बिंदु $(4, 0)$ दिए गए समीकरण का एक हल है।

(D) दिया गया समीकरण: $x - 2y = 4$.
बिंदु $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ है,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{2}$ और $y = 4\sqrt{2}$.
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में प्रतिस्थापित करने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = \sqrt{2} - 2(4\sqrt{2})$
$= \sqrt{2} - 8\sqrt{2}$
$= (1 - 8)\sqrt{2} = -7\sqrt{2}$.
चूँकि दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है,और $-7\sqrt{2} \neq 4$,इसलिए $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$.
अतः,बिंदु $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $x - 2y = 4$ है।
बिंदु $(1, 1)$ के लिए,हमारे पास $x = 1$ और $y = 1$ है।
इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) में रखने पर:
$L$.$H$.$S$. $= x - 2y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
समीकरण का दायाँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) $4$ है।
चूँकि $L$.$H$.$S$. $\neq$ $R$.$H$.$S$. $(-1 \neq 4)$,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण $2x + 3y = k$ है।
चूंकि $x = 2$ और $y = 1$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) + 3(1) = k$
मानों की गणना करने पर:
$4 + 3 = k$
अतः:
$k = 7$
इस प्रकार,$k$ का अभीष्ट मान $7$ है।

(D) बिंदु $(1, 2)$ को रैखिक समीकरण $ax + by = c$ को संतुष्ट करना चाहिए। निर्देशांक $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(1) + b(2) = c$ या $a + 2b = c$ प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए,यदि हम $a = 1$ और $b = 1$ लेते हैं,तो $c = 1 + 2(1) = 3$ होता है। अतः,एक समीकरण $x + y = 3$ है।
इसी प्रकार,यदि हम $a = -1$ और $b = 1$ लेते हैं,तो $c = -1 + 2(1) = 1$ होता है। अतः,दूसरा समीकरण $-x + y = 1$ है।
चूंकि $(a, b, c)$ के ऐसे अनंत युग्म हैं जो संबंध $a + 2b = c$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरने वाले ऐसे अनंत रैखिक समीकरण हो सकते हैं।

(A-(II), B-(III), C-(IV)) चित्र $(i)$ में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, -2)$,$(0, 0)$,$(1, 2)$ हैं। निरीक्षण करने पर,$y = 2x$ इस ग्राफ के संगत समीकरण है। आप देख सकते हैं कि प्रत्येक स्थिति में $y$-निर्देशांक $x$-निर्देशांक का दोगुना है।
$(b)$ चित्र (ii) में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-2, 0)$,$(0, 4)$,$(1, 6)$ हैं। आप जानते हैं कि ग्राफ (रेखा) के बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण $y = 2x + 4$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,$y = 2x + 4$ चित्र (ii) में दिए गए ग्राफ के संगत समीकरण है।
$(c)$ चित्र (iii) में,रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, -6)$,$(0, -4)$,$(1, -2)$,$(2, 0)$ हैं। निरीक्षण करने पर,आप देख सकते हैं कि $y = 2x - 4$ दिए गए ग्राफ (रेखा) के संगत समीकरण है।

(N/A) दिया गया समीकरण: $x - y = 2$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y = x - 2$
आलेख खींचने के लिए,हम समीकरण के लिए कम से कम तीन हल ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$ है,तो $y = 0 - 2 = -2$
यदि $x = 1$ है,तो $y = 1 - 2 = -1$
यदि $x = 2$ है,तो $y = 2 - 2 = 0$
हमें मानों की निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-2$	$-1$	$0$

इन बिंदुओं $(0, -2)$,$(1, -1)$ और $(2, 0)$ को कार्तीय तल पर आलेखित कीजिए। इन बिंदुओं को मिलाने पर,हमें एक सीधी रेखा $PQ$ प्राप्त होती है। यह रेखा $PQ$ रैखिक समीकरण $x - y = 2$ का आलेख निरूपित करती है।

(A) बिंदु $(2, 14)$ का अर्थ है $x = 2$ और $y = 14$ है।
इस बिंदु से होकर जाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम $ax + by = c$ रूप का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $a(2) + b(14) = c$ हो।
$(i)$ यदि हम $a=1, b=1$ लेते हैं,तो $1(2) + 1(14) = 16$ प्राप्त होता है। अतः,$x + y = 16$ एक ऐसा समीकरण है।
$(ii)$ यदि हम $a=7, b=-1$ लेते हैं,तो $7(2) - 1(14) = 14 - 14 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$7x - y = 0$ दूसरा समीकरण है।
ऐसी अनंत रेखाएँ हो सकती हैं क्योंकि एक समतल में एक बिंदु से होकर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $3y = ax + 7$ है।
चूंकि बिंदु $(3, 4)$ इस रेखा के आलेख पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4) = a(3) + 7$
$12 = 3a + 7$
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$12 - 7 = 3a$
$5 = 3a$
$3$ से भाग देने पर:
$a = 5/3$
अतः,$a$ का अभीष्ट मान $5/3$ है।

(B, C) चित्र $(i)$ के लिए,रेखा $(-1, 1)$,$(0, 0)$ और $(1, -1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(b)$ $x+y=0$ के लिए,$(-1, 1)$ रखने पर $-1+1=0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,चित्र $(i)$ के लिए समीकरण $x+y=0$ है।
चित्र $(ii)$ के लिए,रेखा $(-1, 3)$,$(0, 2)$ और $(2, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(c)$ $y=-x+2$ के लिए,$(-1, 3)$ रखने पर $3=-(-1)+2 \Rightarrow 3=1+2 \Rightarrow 3=3$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
$(0, 2)$ रखने पर $2=-(0)+2 \Rightarrow 2=2$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,चित्र $(ii)$ के लिए समीकरण $y=-x+2$ है।

(N/A) हम $2x + 1 = x - 3$ को हल करते हैं,तो प्राप्त होता है
$2x - x = -3 - 1$
अर्थात,$x = -4$
$(i)$ संख्या रेखा पर हल का निरूपण चित्र $(i)$ में दिखाया गया है,जहाँ $x = -4$ को एक चर वाले समीकरण के रूप में माना गया है।
$(ii)$ हम जानते हैं कि $x = -4$ को
$x + 0y = -4$
के रूप में लिखा जा सकता है,जो $x$ और $y$ चरों में एक रैखिक समीकरण है। इसे एक रेखा द्वारा निरूपित किया जाता है। अब $y$ के सभी मान स्वीकार्य हैं क्योंकि $0y$ हमेशा $0$ होता है। हालाँकि,$x$ को समीकरण $x = -4$ को संतुष्ट करना चाहिए। अतः,दिए गए समीकरण के दो हल $(-4, 0)$ और $(-4, 2)$ हैं।
ध्यान दें कि ग्राफ $AB$,$y$-अक्ष के समानांतर एक रेखा है और इससे $4$ इकाई बाईं ओर स्थित है (चित्र $(ii)$ देखें)।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $3x - y = x - 1$ है।
चरों को एक तरफ लाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3x - x - y = -1$।
यह सरल होकर $2x - y = -1$ या $y = 2x + 1$ हो जाता है।
यह दो चरों ($x$ और $y$) वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by + c = 0$ के रूप वाले दो चरों के रैखिक समीकरण के हमेशा अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं क्योंकि $x$ के प्रत्येक मान के लिए,$y$ का एक संगत मान मौजूद होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए,इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण $2x - 5y = 7$ दो चरों ($x$ और $y$) वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by = c$ के रूप वाले दो चरों के किसी भी रैखिक समीकरण के लिए,$(x, y)$ के अपरिमित रूप से अनेक युग्म होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
$x$ का कोई भी वास्तविक मान रखने पर,हमें $y$ का एक संगत मान प्राप्त होता है,और इसके विपरीत भी संभव है।
इसलिए,इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(A) रैखिक समीकरण $2x + 5y = 7$ कार्तीय तल में एक रेखा को दर्शाता है,जिसके वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में अनंत हल होते हैं।
हालाँकि,यदि हम $x$ और $y$ को प्राकृत संख्याओं (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$) तक सीमित करते हैं,तो हम हलों की जाँच कर सकते हैं:
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $2(2) + 5y = 7 \implies 5y = 3 \implies y = 3/5$ (जो एक प्राकृत संख्या नहीं है)।
यदि $x \ge 2$ है,तो $y$ एक प्राकृत संख्या नहीं होगी।
अतः,$(1, 1)$ प्राकृत संख्याओं में एकमात्र हल है।

(B) रैखिक समीकरण $2x + 5y = 7$ के लिए,हम ऐसे हल ढूँढते हैं जहाँ $x$ और $y$ प्राकृत संख्याएँ हों (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$)।
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 5y = 7$,जिससे $5y = 5$ प्राप्त होता है,अतः $y = 1$।
यदि $x = 2$ है,तो $2(2) + 5y = 7$,जिससे $4 + 5y = 7$ प्राप्त होता है,अतः $5y = 3$,या $y = 3/5$,जो एक प्राकृत संख्या नहीं है।
यदि $x \ge 2$ है,तो $5y$ का मान $7 - 2x \le 3$ होगा,जिसका अर्थ है कि $y$ एक प्राकृत संख्या नहीं हो सकती।
अतः,प्राकृत संख्याओं का एकमात्र युग्म जो समीकरण को संतुष्ट करता है वह $(1, 1)$ है,जो इसे एक अद्वितीय हल बनाता है।

(C) $k$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए हल $(x, y) = (2, 0)$ को रैखिक समीकरण $2x + 3y = k$ में प्रतिस्थापित करेंगे।
समीकरण में $x = 2$ और $y = 0$ रखने पर:
$2(2) + 3(0) = k$
$4 + 0 = k$
$k = 4$
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण $2x + 0y + 9 = 0$ है।
इसे सरल करने पर $2x = -9$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $x = -9/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y$ का गुणांक $0$ है,इसलिए $y$ का मान कोई भी वास्तविक संख्या $m$ हो सकता है।
अतः,समीकरण का कोई भी हल $(-9/2, m)$ के रूप में होता है,जहाँ $m$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

(A) रैखिक समीकरण $2x + 3y = 6$ का आलेख $y$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $x$-निर्देशांक $0$ होता है।
समीकरण $2x + 3y = 6$ में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(0) + 3y = 6$
$0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 6 / 3 = 2$
अतः,वह बिंदु जहाँ आलेख $y$-अक्ष को काटता है,$(0, 2)$ है।

(B) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप में होता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
दिए गए समीकरण $x = 7$ को $x - 7 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे दो चरों $x$ और $y$ में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ चर का गुणांक $0$ लेते हैं।
अतः,समीकरण $1 \cdot x + 0 \cdot y = 7$ हो जाता है।

(D) रेखा $y=x$ पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,उसका $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक समान होना चाहिए।
यदि हम $x$-निर्देशांक को $a$ मानते हैं,तो $y$-निर्देशांक भी $a$ ही होगा।
अतः,रेखा $y=x$ पर स्थित कोई भी बिंदु $(a, a)$ के रूप का होता है।

(B) दिया गया समीकरण $y=6$ में $x$ चर शामिल नहीं है।
इसका अर्थ है कि $x$ के किसी भी मान के लिए,$y$ का मान हमेशा $6$ रहता है।
इसलिए,$y=6$ का आलेख एक क्षैतिज रेखा है जो $x$-अक्ष के समानांतर है।
चूंकि $y$-निर्देशांक हमेशा $6$ रहता है,इसलिए यह रेखा $y$-अक्ष पर मूल बिंदु से $6$ इकाई की दूरी पर स्थित है।

(C) यह जांचने के लिए कि $(x=5, y=2)$ एक हल है या नहीं,मानों को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
विकल्प $A$ के लिए: $x + 2y = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9 \neq 7$.
विकल्प $B$ के लिए: $5x + 2y = 5(5) + 2(2) = 25 + 4 = 29 \neq 7$.
विकल्प $C$ के लिए: $x + y = 5 + 2 = 7$. यह समीकरण से मेल खाता है।
विकल्प $D$ के लिए: $5x + y = 5(5) + 2 = 25 + 2 = 27 \neq 7$.
अतः,सही समीकरण $x + y = 7$ है।

(D) रैखिक समीकरण $2x + 3y = 6$ का आलेख एक रेखा है जो $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y = 0$ होता है।
समीकरण $2x + 3y = 6$ में $y = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3(0) = 6$
$2x = 6$
$x = 6 / 2 = 3$
अतः,रेखा $x$-अक्ष को $(3, 0)$ बिंदु पर काटती है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $y = x$ है।
इस समीकरण के आलेख पर किसी बिंदु $(x, y)$ के स्थित होने के लिए,$x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक का समान होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $(1, 1)$ जहाँ $x = 1$ और $y = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है।
$B$: $(0, 3/2)$ जहाँ $x = 0$ और $y = 1.5$ है। चूँकि $0 \neq 1.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
$C$: $(3/2, -3/2)$ जहाँ $x = 1.5$ और $y = -1.5$ है। चूँकि $1.5 \neq -1.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
$D$: $(-1/2, 1/2)$ जहाँ $x = -0.5$ और $y = 0.5$ है। चूँकि $-0.5 \neq 0.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
अतः,आलेख बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।

(B) यदि हम एक रैखिक समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं,तो समानता बनी रहती है। चूँकि चरों के बीच का संबंध संतुलित रहता है,इसलिए रैखिक समीकरण का हल समान रहता है।

(C) $x = 1$ और $y = 2$ के मानों द्वारा संतुष्ट होने वाले अनंत रैखिक समीकरण हो सकते हैं।
दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप में होता है। चूँकि हमारे पास एक विशिष्ट बिंदु $(1, 2)$ है,हम $a, b,$ और $c$ गुणांकों को बदलकर इस बिंदु से गुजरने वाली अनंत रेखाएँ बना सकते हैं।
उदाहरण के लिए:
$1$. $x + y = 3$ (क्योंकि $1 + 2 = 3$)
$2$. $y = 2x$ (क्योंकि $2 = 2(1)$)
$3$. $y - x = 1$ (क्योंकि $2 - 1 = 1$)
$4$. $2y - x = 3$ (क्योंकि $2(2) - 1 = 3$)
चूँकि हम $a, b,$ और $c$ के अनंत संयोजन चुन सकते हैं ताकि $a(1) + b(2) + c = 0$ हो,इसलिए ऐसे अनंत रैखिक समीकरण संभव हैं।

(A) $(a, -a)$ के रूप के बिंदु में $x$-निर्देशांक $a$ है और $y$-निर्देशांक $-a$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि यह बिंदु किस रेखा पर स्थित है,हम निर्देशांकों के बीच संबंध देख सकते हैं:
$x = a$
$y = -a$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$x + y = a + (-a)$
$x + y = 0$
अतः,$(a, -a)$ बिंदु हमेशा समीकरण $x + y = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) यह कथन सत्य है।
यह जाँचने के लिए कि क्या तालिका में दिए गए बिंदु $(x, y)$ समीकरण $2x + 2 = y$ को संतुष्ट करते हैं,हम $x$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
जब $x = 0$ है,तो $2(0) + 2 = 2$ (जो $y = 2$ से मेल खाता है)।
जब $x = 1$ है,तो $2(1) + 2 = 4$ (जो $y = 4$ से मेल खाता है)।
जब $x = 2$ है,तो $2(2) + 2 = 6$ (जो $y = 6$ से मेल खाता है)।
जब $x = 3$ है,तो $2(3) + 2 = 8$ (जो $y = 8$ से मेल खाता है)।
जब $x = 4$ है,तो $2(4) + 2 = 10$ (जो $y = 10$ से मेल खाता है)।
अतः,तालिका के सभी बिंदु समीकरण $2x + 2 = y$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।

(TRUE) यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु $(0, 3)$ रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ के आलेख पर स्थित है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
मान रखने पर:
$3(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12$.
चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है $(12 = 12)$,इसलिए बिंदु $(0, 3)$ समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) यह जाँचने के लिए कि क्या रैखिक समीकरण $x + 2y = 7$ का आलेख बिंदु $(0, 7)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 7$ प्रतिस्थापित करते हैं।
मान रखने पर:
$0 + 2(7) = 7$
$0 + 14 = 7$
$14 = 7$
चूँकि $14 \neq 7$,इसलिए बिंदु $(0, 7)$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) हम जानते हैं कि समीकरण $x = a$ का आलेख $y$-अक्ष के समांतर और उससे $|a|$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा होती है।
यदि $a > 0$ है,तो रेखा $y$-अक्ष के दाईं ओर स्थित होती है।
दिए गए आलेख में,रेखा $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर बिंदु $(3, 0)$ से होकर गुजरती है,जो $y$-अक्ष के दाईं ओर $3$ इकाई की दूरी पर है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या बिंदु हल हैं,हम $x$ और $y$ के मानों को समीकरण $x-y+2=0$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$(0, 2)$ के लिए: $0 - 2 + 2 = 0$. (सत्य)
$(1, 3)$ के लिए: $1 - 3 + 2 = 0$. (सत्य)
$(2, 4)$ के लिए: $2 - 4 + 2 = 0$. (सत्य)
$(3, -5)$ के लिए: $3 - (-5) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \neq 0$. (असत्य)
$(4, 6)$ के लिए: $4 - 6 + 2 = 0$. (सत्य)
चूंकि बिंदु $(3, -5)$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
परिभाषा के अनुसार,दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ का संग्रह होता है जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,रैखिक समीकरण द्वारा निरूपित रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु उस समीकरण का एक हल होता है।

(N/A) रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ का आलेख $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $y = 0$ होता है।
समीकरण में $y = 0$ रखने पर,हमें $3x + 4(0) = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x = 12$ हो जाता है,अतः $x = 4$ है।
इस प्रकार,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(4, 0)$ है।
रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ का आलेख $y$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $x = 0$ होता है।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $3(0) + 4y = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4y = 12$ हो जाता है,अतः $y = 3$ है।
इस प्रकार,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 3)$ है।

(A) $y$-अक्ष के समांतर और मूल बिंदु से $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई की दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण $x=2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए रैखिक समीकरण $x+y=5$ में $x=2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$2+y=5$
$y=5-2$
$y=3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।

(C) माना कि बिंदु $(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$-निर्देशांक उसके $y$-निर्देशांक (कोटि) का $\frac{5}{2}$ गुना है,इसलिए $x = \frac{5}{2}y$ है।
समीकरण $2x + 5y = 20$ में $x = \frac{5}{2}y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{5}{2}y) + 5y = 20$
$5y + 5y = 20$
$10y = 20$
$y = 2$
अब,$x = \frac{5}{2}y$ का उपयोग करके $x$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$x = \frac{5}{2}(2) = 5$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, 2)$ है।

(N/A) $x$-अक्ष के समांतर किसी भी सीधी रेखा का समीकरण $y=k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ रेखा की $x$-अक्ष से दूरी है।
यहाँ,रेखा $x$-अक्ष से $4$ इकाई ऊपर है,इसलिए $k=4$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $y=4$ है।
इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए,कार्तीय तल पर बिंदुओं $(1,4)$,$(2,4)$ और $(3,4)$ को अंकित कीजिए और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़िए। यह रेखा उन सभी बिंदुओं को दर्शाती है जहाँ $y$-निर्देशांक $4$ है।

(A) माना बिंदु का भुज $x$ है और कोटि $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोटि भुज की $1 \frac{1}{2}$ गुनी है,इसलिए $y = 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x$ है।
दिए गए रैखिक समीकरण $2x + 5y = 19$ में $y = \frac{3}{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 5(\frac{3}{2} x) = 19$
$2x + \frac{15}{2} x = 19$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 15x = 38$
$19x = 38$
$x = 2$
अब,$y = \frac{3}{2} x$ का उपयोग करके कोटि $y$ ज्ञात करें:
$y = \frac{3}{2} (2) = 3$
अतः,बिंदु $(2, 3)$ है।

(N/A) $x$-अक्ष के समांतर और उससे $a$ इकाई नीचे स्थित रेखा का समीकरण $y = -a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दूरी $x$-अक्ष के नीचे $3$ इकाई है,इसलिए $a = 3$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $y = -3$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के समांतर है और उन सभी बिंदुओं से होकर गुजरती है जहाँ $y$-निर्देशांक $-3$ है,जैसे $(0, -3)$,$(1, -3)$,$(-1, -3)$ आदि।
समीकरण $y = -3$ का आलेख $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, -3)$ से गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा है,जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(A) बिंदु $(3,4)$,$3y = ax + 7$ के आलेख पर स्थित है।
दिए गए समीकरण $3y = ax + 7$ में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 \times 4 = a \times 3 + 7$
$12 = 3a + 7$
$3a = 12 - 7$
$3a = 5$
$a = \frac{5}{3}$