Solution of a Linear Equation Questions in Hindi

(N/A) हम जानते हैं कि $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का कोटि (ordinate) $0$ होता है।
समीकरण $x + 2y = 8$ में $y = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + 2(0) = 8 \Rightarrow x = 8$.
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(8, 0)$ है।
हम यह भी जानते हैं कि $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज (abscissa) $0$ होता है।
समीकरण $x + 2y = 8$ में $x = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
अतः,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 4)$ है।

(B) दिया गया रैखिक समीकरण: $2x + cy = 8$ है।
हमें $c$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $x = y$ हो।
दिए गए समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + c(x) = 8$
$x(2 + c) = 8$
$x = \frac{8}{2 + c}$
यदि हम $x = y = 2$ मान लें जो समीकरण को संतुष्ट करता है:
$2(2) + c(2) = 8$
$4 + 2c = 8$
$2c = 4$
$c = 2$
अतः,$c = 2$ के लिए,समीकरण $2x + 2y = 8$ हो जाता है,जिसे $x + y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसमें $x = y = 2$ एक हल है।

(A) $y$,$x$ के सीधे समानुपाती है।
$\Rightarrow y \propto x$
$\therefore y = kx$
$x = 4$ होने पर $y = 12$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$12 = k \times 4 \Rightarrow k = 12 \div 4 = 3$
अतः,अभीष्ट रैखिक समीकरण $y = 3x$ है।
जब $x = 5$ है,तो $y$ का मान $y = 3 \times 5 = 15$ है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि कोई बिंदु $(x, y)$ रैखिक समीकरण $y = 9x - 7$ के आलेख पर स्थित है,हमें बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और यह सत्यापित करना होगा कि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है या नहीं।
बिंदु $A(1, 2)$ के लिए:
समीकरण में $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 9(1) - 7$
$2 = 9 - 7$
$2 = 2$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $A$ आलेख पर स्थित है।
बिंदु $B(-1, -16)$ के लिए:
समीकरण में $x = -1$ और $y = -16$ रखने पर:
$-16 = 9(-1) - 7$
$-16 = -9 - 7$
$-16 = -16$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $B$ आलेख पर स्थित है।
बिंदु $C(0, -7)$ के लिए:
समीकरण में $x = 0$ और $y = -7$ रखने पर:
$-7 = 9(0) - 7$
$-7 = 0 - 7$
$-7 = -7$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $C$ आलेख पर स्थित है।
अतः,तीनों बिंदु $A$,$B$ और $C$ समीकरण $y = 9x - 7$ को संतुष्ट करते हैं और इसलिए इसके आलेख पर स्थित हैं।

(N/A) रैखिक समीकरण $3x + 4y = 6$ का आलेख खींचने के लिए,हम पहले समीकरण को संतुष्ट करने वाले कुछ बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1$. $x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$3x + 4(0) = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. अतः,बिंदु $(2, 0)$ है।
$2$. $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$3(0) + 4y = 6 \implies 4y = 6 \implies y = 1.5$. अतः,बिंदु $(0, 1.5)$ है।
$3$. एक अन्य बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = -2$ रखें:
$3(-2) + 4y = 6 \implies -6 + 4y = 6 \implies 4y = 12 \implies y = 3$. अतः,बिंदु $(-2, 3)$ है।
तालिका:

$x$	$2$	$0$	$-2$
$y$	$0$	$1.5$	$3$

इन बिंदुओं $(2, 0)$,$(0, 1.5)$ और $(-2, 3)$ को आलेख पत्र पर अंकित करें और उन्हें मिलाकर एक सीधी रेखा प्राप्त करें।
अतः,आलेख $x$-अक्ष को $(2, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 1.5)$ पर काटता है।

(D) रैखिक समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम जाँचते हैं कि कौन सा समीकरण दिए गए सभी बिंदुओं $(-2, 2), (0, 0)$ और $(2, -2)$ द्वारा संतुष्ट होता है।
विकल्प $D$ के लिए,$x + y = 0$:
$1$. $(-2, 2)$ के लिए: $-2 + 2 = 0$। (संतुष्ट)
$2$. $(0, 0)$ के लिए: $0 + 0 = 0$। (संतुष्ट)
$3$. $(2, -2)$ के लिए: $2 + (-2) = 0$। (संतुष्ट)
चूँकि सभी बिंदु $x + y = 0$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह सही रैखिक समीकरण है।

(A) कार्तीय तल को $(x, y)$ निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर चार चतुर्थांशों में विभाजित किया जाता है।
प्रथम चतुर्थांश $(I)$ में वे सभी बिंदु $(x, y)$ होते हैं जहाँ $x > 0$ और $y > 0$ दोनों होते हैं।
चूँकि एक धनात्मक हल का अर्थ है कि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए ऐसे बिंदु हमेशा प्रथम चतुर्थांश की शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,समीकरण $ax + by + c = 0$ के धनात्मक हल हमेशा $1^{st}$ चतुर्थांश में स्थित होते हैं।

दिया गया समीकरण: $2x + 5y = 20$.
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $5y = 20 - 2x$,जिससे $y = \frac{20 - 2x}{5}$ प्राप्त होता है।
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{20 - 2(0)}{5} = \frac{20}{5} = 4$। अतः,$(0, 4)$ एक हल है।
$2$. यदि $x = 5$ है,तो $y = \frac{20 - 2(5)}{5} = \frac{10}{5} = 2$। अतः,$(5, 2)$ एक हल है।
$3$. यदि $x = -5$ है,तो $y = \frac{20 - 2(-5)}{5} = \frac{30}{5} = 6$। अतः,$(-5, 6)$ एक हल है।
$4$. यदि $x = 10$ है,तो $y = \frac{20 - 2(10)}{5} = \frac{0}{5} = 0$। अतः,$(10, 0)$ एक हल है।
इस प्रकार,दिए गए समीकरण के चार हल $(0, 4), (5, 2), (-5, 6)$ और $(10, 0)$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $4x - 3y = 24$.
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$3y = 4x - 24$
$y = \frac{4x - 24}{3}$
चार हल प्राप्त करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{4(0) - 24}{3} = \frac{-24}{3} = -8$. अतः,$(0, -8)$ एक हल है।
$2$. यदि $x = 3$ है,तो $y = \frac{4(3) - 24}{3} = \frac{12 - 24}{3} = \frac{-12}{3} = -4$. अतः,$(3, -4)$ एक हल है।
$3$. यदि $x = 6$ है,तो $y = \frac{4(6) - 24}{3} = \frac{24 - 24}{3} = \frac{0}{3} = 0$. अतः,$(6, 0)$ एक हल है।
$4$. यदि $x = 9$ है,तो $y = \frac{4(9) - 24}{3} = \frac{36 - 24}{3} = \frac{12}{3} = 4$. अतः,$(9, 4)$ एक हल है।
इस प्रकार,दिए गए समीकरण के चार हल $(0, -8), (3, -4), (6, 0)$ और $(9, 4)$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $3x + 5y = 0$.
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$5y = -3x$
$y = \frac{-3x}{5}$
हल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करेंगे:
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{-3(0)}{5} = 0$। अतः,$(0, 0)$ एक हल है।
$2$. यदि $x = 5$ है,तो $y = \frac{-3(5)}{5} = -3$। अतः,$(5, -3)$ एक हल है।
$3$. यदि $x = -5$ है,तो $y = \frac{-3(-5)}{5} = 3$। अतः,$(-5, 3)$ एक हल है।
$4$. यदि $x = 10$ है,तो $y = \frac{-3(10)}{5} = -6$। अतः,$(10, -6)$ एक हल है।
इस प्रकार,दिए गए समीकरण के चार हल $(0, 0), (5, -3), (-5, 3)$ और $(10, -6)$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2x - 12 = 0$
चरण $1$: $x$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें।
$2x = 12$
$x = 6$
चरण $2$: समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करें।
$1x + 0y - 6 = 0$
चरण $3$: यहाँ $y$ का गुणांक $0$ है,इसलिए $y$ के किसी भी मान के लिए $x$ का मान हमेशा $6$ ही रहेगा। हम $y$ के कोई भी चार मान चुनकर संगत हल $(x, y)$ प्राप्त कर सकते हैं।
यदि $y = 0$ है,तो $x = 6$। हल: $(6, 0)$
यदि $y = 1$ है,तो $x = 6$। हल: $(6, 1)$
यदि $y = 2$ है,तो $x = 6$। हल: $(6, 2)$
यदि $y = 3$ है,तो $x = 6$। हल: $(6, 3)$
अतः,चार हल $(6, 0), (6, 1), (6, 2)$ और $(6, 3)$ हैं।

(N/A) समीकरण $2x - 5y = 10$ के लिए हल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मान रखकर $y$ का मान ज्ञात कर सकते हैं या इसके विपरीत कर सकते हैं।
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $2(0) - 5y = 10 \implies -5y = 10 \implies y = -2$. अतः,$(0, -2)$ एक हल है।
$2$. यदि $y = 0$ है,तो $2x - 5(0) = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. अतः,$(5, 0)$ एक हल है।
$3$. यदि $x = -5$ है,तो $2(-5) - 5y = 10 \implies -10 - 5y = 10 \implies -5y = 20 \implies y = -4$. अतः,$(-5, -4)$ एक हल है।
$4$. यदि $y = 2$ है,तो $2x - 5(2) = 10 \implies 2x - 10 = 10 \implies 2x = 20 \implies x = 10$. अतः,$(10, 2)$ एक हल है।
इस प्रकार,चार हल $(0, -2), (5, 0), (-5, -4), (10, 2)$ हैं।

(N/A) रैखिक समीकरण $2x + 3y = 7$ के हल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$3y = 7 - 2x$
$y = \frac{7 - 2x}{3}$
अब,$y$ के संगत मान ज्ञात करने के लिए हम $x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$1$. यदि $x = -1$ है,तो $y = \frac{7 - 2(-1)}{3} = \frac{7 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$. हल: $(-1, 3)$.
$2$. यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$. हल: $(2, 1)$.
$3$. यदि $x = 5$ है,तो $y = \frac{7 - 2(5)}{3} = \frac{7 - 10}{3} = \frac{-3}{3} = -1$. हल: $(5, -1)$.
$4$. यदि $x = 8$ है,तो $y = \frac{7 - 2(8)}{3} = \frac{7 - 16}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. हल: $(8, -3)$.
अतः,चार हल $(-1, 3), (2, 1), (5, -1), (8, -3)$ हैं।

(N/A) रैखिक समीकरण $5x + 3y = 16$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $x$ के स्वेच्छ मान ले सकते हैं और $y = \frac{16 - 5x}{3}$ सूत्र का उपयोग करके $y$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$1$. यदि $x = 2$ है,तो $y = \frac{16 - 5(2)}{3} = \frac{16 - 10}{3} = \frac{6}{3} = 2$. हल: $(2, 2)$.
$2$. यदि $x = 5$ है,तो $y = \frac{16 - 5(5)}{3} = \frac{16 - 25}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. हल: $(5, -3)$.
$3$. यदि $x = -1$ है,तो $y = \frac{16 - 5(-1)}{3} = \frac{16 + 5}{3} = \frac{21}{3} = 7$. हल: $(-1, 7)$.
$4$. यदि $x = -4$ है,तो $y = \frac{16 - 5(-4)}{3} = \frac{16 + 20}{3} = \frac{36}{3} = 12$. हल: $(-4, 12)$.

समीकरण $3x + y = 11$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$y = 11 - 3x$
अब,$y$ के संगत मान ज्ञात करने के लिए हम $x$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$1$. यदि $x = 0$ है,तो $y = 11 - 3(0) = 11$। अतः,हल $(0, 11)$ है।
$2$. यदि $x = 1$ है,तो $y = 11 - 3(1) = 8$। अतः,हल $(1, 8)$ है।
$3$. यदि $x = 2$ है,तो $y = 11 - 3(2) = 5$। अतः,हल $(2, 5)$ है।
$4$. यदि $x = -1$ है,तो $y = 11 - 3(-1) = 11 + 3 = 14$। अतः,हल $(-1, 14)$ है।
इस प्रकार,चार हल $(0, 11), (1, 8), (2, 5), (-1, 14)$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण $4y - 11 = 0$ है,जिसे $0x + 4y = 11$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दो चरों $x$ और $y$ वाला एक रैखिक समीकरण है।
चूंकि $x$ का गुणांक $0$ है,इसलिए $x$ के किसी भी मान के लिए $y$ का मान हमेशा $\frac{11}{4}$ रहेगा।
हम $x$ के कोई भी चार मनमाने मान चुनकर संगत हल प्राप्त कर सकते हैं।
मान लीजिए $x = 0$,तो $y = \frac{11}{4}$. हल: $(0, 2.75)$.
मान लीजिए $x = 1$,तो $y = \frac{11}{4}$. हल: $(1, 2.75)$.
मान लीजिए $x = 2$,तो $y = \frac{11}{4}$. हल: $(2, 2.75)$.
मान लीजिए $x = 3$,तो $y = \frac{11}{4}$. हल: $(3, 2.75)$.
अतः,चार हल $(0, 2.75), (1, 2.75), (2, 2.75), (3, 2.75)$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण $3x - 24 = 0$ है।
इसे सरल करने पर $3x = 24$ प्राप्त होता है, जिससे $x = 8$ मिलता है।
चूंकि समीकरण $x = 8$ के रूप में है, इसे दो चरों वाले रैखिक समीकरण के रूप में $1x + 0y = 8$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $y$ के किसी भी मान के लिए, $x$ का मान हमेशा $8$ ही रहेगा।
अतः, चार संभावित हल $(8, 0), (8, 1), (8, 2) \text{ और } (8, 3)$ हैं।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या कोई बिंदु $(x, y)$ समीकरण $3x - 2y = 12$ का हल है,हम $x$ और $y$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या बायाँ पक्ष $(LHS)$ दाएँ पक्ष ($RHS$ = $12$) के बराबर है।
$(1) (0, -6): 3(0) - 2(-6) = 0 + 12 = 12$. चूँकि $LHS$ = $RHS$,इसलिए $(0, -6)$ एक हल है।
$(2) (2, 3): 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0 \neq 12$. यह हल नहीं है।
$(3) (2, -3): 3(2) - 2(-3) = 6 + 6 = 12$. चूँकि $LHS$ = $RHS$,इसलिए $(2, -3)$ एक हल है।
$(4) (-4, 0): 3(-4) - 2(0) = -12 - 0 = -12 \neq 12$. यह हल नहीं है।
$(5) (-2, -9): 3(-2) - 2(-9) = -6 + 18 = 12$. चूँकि $LHS$ = $RHS$,इसलिए $(-2, -9)$ एक हल है।
$(6) (6, 4): 3(6) - 2(4) = 18 - 8 = 10 \neq 12$. यह हल नहीं है।
अतः,$(1), (3)$ और $(5)$ हल हैं,जबकि $(2), (4)$ और $(6)$ हल नहीं हैं।

(A) दिया गया समीकरण $2x + 5y = k$ है।
चूंकि $(3,5)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम समीकरण में $x = 3$ और $y = 5$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$2(3) + 5(5) = k$
$6 + 25 = k$
$k = 31$
अतः,$k$ का मान $31$ है।

(A) दिया गया है कि $(2, -3)$ समीकरण $3x + ky = 18$ का एक हल है।
इसका अर्थ है कि जब हम समीकरण में $x = 2$ और $y = -3$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो यह समानता को संतुष्ट करना चाहिए।
मान रखने पर: $3(2) + k(-3) = 18$.
$6 - 3k = 18$.
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर: $-3k = 18 - 6$.
$-3k = 12$.
$-3$ से भाग देने पर: $k = 12 / -3$.
अतः,$k = -4$।

(B) दिया गया समीकरण $kx + 4y = 33$ है।
चूंकि $(5, 2)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = 5$ और $y = 2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$k(5) + 4(2) = 33$
$5k + 8 = 33$
$5k = 33 - 8$
$5k = 25$
$k = \frac{25}{5}$
$k = 5$.

(A) दिया गया समीकरण $2x + 5y = 17$ है।
चूंकि $(k, 3)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = k$ और $y = 3$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
$2(k) + 5(3) = 17$
$2k + 15 = 17$
$2k = 17 - 15$
$2k = 2$
$k = 1$.

(A) चरण $1$: समीकरण $7x - 3y = a$ में $(x, y) = (2, 3)$ प्रतिस्थापित करने पर।
$7(2) - 3(3) = a$
$14 - 9 = a$
$a = 5$.
चरण $2$: बिंदु $(a, a+1)$ में $a = 5$ रखने पर हमें $(5, 6)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: समीकरण $2x + y = b$ में $(x, y) = (5, 6)$ प्रतिस्थापित करने पर।
$2(5) + 6 = b$
$10 + 6 = b$
$b = 16$.
अतः,$a = 5$ और $b = 16$ है।

एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। चूंकि एक बिंदु $(2, 3)$ से होकर अनंत रेखाएं गुजर सकती हैं,इसलिए हम गुणांकों $a$ और $b$ के लिए अलग-अलग मान चुनकर उन्हें प्राप्त कर सकते हैं।
$1$. $a=1, b=1$ के लिए: $(x - 2) + (y - 3) = 0 \implies x + y = 5$.
$2$. $a=3, b=-2$ के लिए: $3(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \implies 3x - 6 - 2y + 6 = 0 \implies 3x - 2y = 0$.
$3$. $a=5, b=-3$ के लिए: $5(x - 2) - 3(y - 3) = 0 \implies 5x - 10 - 3y + 9 = 0 \implies 5x - 3y = 1$.
$4$. $a=2, b=3$ के लिए: $2(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \implies 2x - 4 + 3y - 9 = 0 \implies 2x + 3y = 13$.

(C) चूंकि रैखिक समीकरण के आलेख पर स्थित प्रत्येक बिंदु उस समीकरण का एक हल होता है,इसलिए निर्देशांक $(x, y) = (3, 5)$ समीकरण $ax + y = 20$ को संतुष्ट करते हैं।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 5$ रखने पर:
$a(3) + 5 = 20$
$3a + 5 = 20$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$3a = 20 - 5$
$3a = 15$
$3$ से भाग देने पर:
$a = \frac{15}{3}$
$a = 5$
अतः,$a$ का मान $5$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2x - 3y = 0$
$\therefore 3y = 2x$
$\therefore y = \frac{2}{3}x$
आलेख खींचने के लिए,हम समीकरण के लिए कम से कम दो हल ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 0$ के लिए,हमें $y = \frac{2}{3}(0) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $x = 3$ के लिए,हमें $y = \frac{2}{3}(3) = 2$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(3, 2)$ है।
$3$. $x = -3$ के लिए,हमें $y = \frac{2}{3}(-3) = -2$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(-3, -2)$ है।
हम इन हलों को नीचे दी गई तालिका के रूप में दर्शा सकते हैं:

$x$	$0$	$3$	$-3$
$y$	$0$	$2$	$-2$

इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाकर $2x - 3y = 0$ समीकरण को निरूपित करने वाली सीधी रेखा प्राप्त कीजिए।

(N/A) $4x - 3y = 12$
$\therefore 4x - 12 = 3y$
$\therefore y = \frac{4x - 12}{3}$
$x = 0$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{4(0) - 12}{3} = \frac{-12}{3} = -4$; अर्थात,$y = -4$
$x = 3$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{4(3) - 12}{3} = \frac{0}{3} = 0$; अर्थात,$y = 0$
$x = 6$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{4(6) - 12}{3} = \frac{12}{3} = 4$; अर्थात,$y = 4$
हम इन हलों को नीचे दी गई सारणी के रूप में दर्शा सकते हैं:

$x$	$0$	$3$	$6$
$y$	$-4$	$0$	$4$

इन बिंदुओं $(0, -4)$,$(3, 0)$,और $(6, 4)$ को कार्तीय तल पर अंकित कीजिए और उन्हें मिलाकर रेखा $4x - 3y = 12$ का आलेख प्राप्त कीजिए।

बिंदु $(x_0, y_0)$ से होकर जाने वाली दो चरों वाले रैखिक समीकरण को $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिए गए बिंदु $(3, 5)$ के लिए,हम $a$ और $b$ के विभिन्न मान चुनकर अलग-अलग रेखाएं प्राप्त कर सकते हैं:
$1$. $a=1, b=1$ के लिए: $(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies x + y = 8$.
$2$. $a=-1, b=1$ के लिए: $-(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies -x + 3 + y - 5 = 0 \implies y - x = 2$.
$3$. $a=1, b=2$ के लिए: $(x - 3) + 2(y - 5) = 0 \implies x - 3 + 2y - 10 = 0 \implies x + 2y = 13$.
$4$. $a=2, b=1$ के लिए: $2(x - 3) + (y - 5) = 0 \implies 2x - 6 + y - 5 = 0 \implies 2x + y = 11$.

बिंदु $(x_1, y_1)$ से होकर जाने वाली रेखा का सामान्य समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है,जहाँ $m$ ढाल (slope) है।
बिंदु $(-2, 4)$ के लिए,समीकरण $(y - 4) = m(x + 2)$ होगा।
ढाल $m$ के विभिन्न मान चुनकर,हम अनंत रेखाएं प्राप्त कर सकते हैं:
$1$. यदि $m = -1$ है,तो $(y - 4) = -1(x + 2) \implies y - 4 = -x - 2 \implies x + y = 2$.
$2$. यदि $m = 1$ है,तो $(y - 4) = 1(x + 2) \implies y - 4 = x + 2 \implies x - y = -6$.
$3$. यदि $m = -2$ है,तो $(y - 4) = -2(x + 2) \implies y - 4 = -2x - 4 \implies 2x + y = 0$.
$4$. यदि $m = -0.5$ है,तो $(y - 4) = -0.5(x + 2) \implies y - 4 = -0.5x - 1 \implies 0.5x + y = 3 \implies x + 2y = 6$.

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप (intercept form) में इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $x$-अंतःखंड और $y$-अंतःखंड हैं।
दिए गए बिंदु $(3,0)$ और $(0,4)$ हैं।
यहाँ,$x$-अंतःखंड $a = 3$ और $y$-अंतःखंड $b = 4$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$
सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को $3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करने पर:
$12 \times (\frac{x}{3}) + 12 \times (\frac{y}{4}) = 12 \times 1$
$4x + 3y = 12$
अतः,सही समीकरण $4x + 3y = 12$ है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा की ढाल (slope) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 0)$ और $(0, 3)$ का मान रखने पर:
$m = \frac{3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{3}{2}$।
रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ है,जहाँ $c$ $y$-अंतःखंड है।
चूंकि रेखा $(0, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = 3$ है।
अतः,समीकरण $y = \frac{3}{2}x + 3$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y = 3x + 6$ प्राप्त होता है,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $3x - 2y = -6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $(2, 3)$ समीकरण $3x + ay = 18$ के आलेख पर स्थित है।
इसका अर्थ है कि निर्देशांक $x = 2$ और $y = 3$ दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
समीकरण में $x = 2$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2) + a(3) = 18$
$6 + 3a = 18$
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर:
$3a = 18 - 6$
$3a = 12$
$3$ से भाग देने पर:
$a = 4$.

(A) दिया गया समीकरण $ax + 3y = 7$ है।
चूंकि बिंदु $(-2, 5)$ आलेख पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -2$ और $y = 5$ रखने पर:
$a(-2) + 3(5) = 7$
$-2a + 15 = 7$
$-2a = 7 - 15$
$-2a = -8$
$a = \frac{-8}{-2}$
$a = 4$

(A) दिया गया है कि बिंदु $(a, a-2)$ समीकरण $3x + 5y = 30$ के आलेख पर स्थित है।
इसका अर्थ है कि बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
समीकरण में $x = a$ और $y = a - 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(a) + 5(a - 2) = 30$
$3a + 5a - 10 = 30$
$8a - 10 = 30$
$8a = 30 + 10$
$8a = 40$
$a = 40 / 8$
$a = 5$

(C) सही समीकरण निर्धारित करने के लिए,हम जांचते हैं कि ग्राफ पर दिखाए गए बिंदु किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। रेखा पर स्थित बिंदु $(0, 2)$,$(2, 1)$ और $(4, 0)$ हैं।
विकल्प $(C)$,$x + 2y = 4$ में बिंदुओं का परीक्षण करने पर:
$(0, 2)$ के लिए: $0 + 2(2) = 4$,जो कि $4 = 4$ है (सत्य)।
$(2, 1)$ के लिए: $2 + 2(1) = 4$,जो कि $4 = 4$ है (सत्य)।
$(4, 0)$ के लिए: $4 + 2(0) = 4$,जो कि $4 = 4$ है (सत्य)।
चूंकि सभी बिंदु समीकरण $x + 2y = 4$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह सही समीकरण है।

(D) सही समीकरण निर्धारित करने के लिए,हम ग्राफ में दिखाई गई रेखा पर स्थित बिंदुओं की जाँच करते हैं।
रेखा पर अंकित बिंदु $(0, 0)$,$(2, 4)$ और $(-2, -4)$ हैं।
अब,हम इन बिंदुओं को दिए गए समीकरणों में जाँचते हैं:
विकल्प $D$ के लिए,$y = 2x$:
$1$. $(0, 0)$ के लिए: $0 = 2(0) \implies 0 = 0$ (सत्य)
$2$. $(2, 4)$ के लिए: $4 = 2(2) \implies 4 = 4$ (सत्य)
$3$. $(-2, -4)$ के लिए: $-4 = 2(-2) \implies -4 = -4$ (सत्य)
चूँकि सभी बिंदु समीकरण $y = 2x$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह सही समीकरण है।

(N/A) माना छात्रों की संख्या $x$ है और कुल लागत $y$ है।
बस का निश्चित किराया ₹ $200$ है।
प्रति छात्र नाश्ते की लागत ₹ $30$ है।
इसलिए,कुल लागत $y$ को निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है: $y = 30x + 200$.
$40$ छात्रों के लिए कुल लागत ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 40$ रखें:
$y = 30(40) + 200$
$y = 1200 + 200$
$y = 1400$.
अतः,$40$ छात्रों के लिए कुल लागत ₹ $1400$ है।

(N/A) $x$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $y = k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ $x$-अक्ष से उसकी दूरी है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष से $3$ इकाई नीचे है,इसलिए $y$ का मान ऋणात्मक होगा।
अतः,रेखा का समीकरण $y = -3$ है।
आलेख $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, -3)$ से होकर गुजरने वाली एक क्षैतिज सीधी रेखा है।

(B) यह कथन असत्य है।
दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण,जिसे सामान्यतः $ax + by + c = 0$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a, b \neq 0$ है,के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
एक चर के लिए कोई भी मान निर्धारित करने पर,दूसरे चर के लिए एक संगत मान प्राप्त होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए,इसका कोई अद्वितीय हल नहीं होता है।

(A) दिया गया समीकरण $3x = 4y$ है,जिसे $y = \frac{3}{4}x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $m = \frac{3}{4}$ है।
$y = mx$ (जहाँ $c = 0$) के रूप का कोई भी रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण $3x = 4y$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $3(0) = 4y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4y = 0$,इसलिए $y = 0$।
चूंकि बिंदु $(0, 0)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए आलेख मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन सत्य है या असत्य,हम बिंदु $(x, y) = (5, -2)$ का मान दिए गए समीकरण $5x + 2y = k$ में प्रतिस्थापित करेंगे।
$x = 5$ और $y = -2$ रखने पर:
$5(5) + 2(-2) = k$
$25 - 4 = k$
$21 = k$
चूंकि $k$ का मान $21$ प्राप्त होता है,$0$ नहीं,इसलिए यह कथन असत्य है।

(B) दिया गया समीकरण $3x = 15$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
कार्तीय तल में,समीकरण $x = a$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जो $y$-अक्ष के समांतर होती है और बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरती है।
इसलिए,$x = 5$ का आलेख $y$-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,न कि $x$-अक्ष के समांतर।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) यह कथन असत्य है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $5x - 3y = 30$ में $x = 0$ रखते हैं।
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर: $5(0) - 3y = 30 \implies -3y = 30 \implies y = -10$.
अतः,आलेख $y$-अक्ष को $(0, -10)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
इसके विपरीत,यदि हम $(6, 0)$ बिंदु को समीकरण में $x = 6$ और $y = 0$ रखकर जाँचते हैं: $5(6) - 3(0) = 30 - 0 = 30$। यह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है,$y$-अक्ष पर नहीं।

(A) रैखिक समीकरण $3x + 5y = 30$ के लिए हल ज्ञात करने हेतु,हम दिए गए विकल्पों को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
विकल्प $A$ $(10, 0)$ के लिए,$x = 10$ और $y = 0$ रखने पर:
$3(10) + 5(0) = 30 + 0 = 30$.
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए $(10, 0)$ एक हल है।
विकल्प $B$ $(0, 10)$ के लिए,$x = 0$ और $y = 10$ रखने पर:
$3(0) + 5(10) = 0 + 50 = 50 \neq 30$.
विकल्प $C$ $(3, 5)$ के लिए,$x = 3$ और $y = 5$ रखने पर:
$3(3) + 5(5) = 9 + 25 = 34 \neq 30$.
विकल्प $D$ $(0, 0)$ के लिए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$3(0) + 5(0) = 0 \neq 30$.
अतः,सही हल $(10, 0)$ है।

(B) यह जांचने के लिए कि क्या कोई बिंदु $(x, y)$ समीकरण $2x + 7y = 28$ का हल है,हम $x$ और $y$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या बायां पक्ष दाएं पक्ष $(28)$ के बराबर है।
$(14, 0)$ के लिए: $2(14) + 7(0) = 28 + 0 = 28$। (यह एक हल है)।
$(2, 7)$ के लिए: $2(2) + 7(7) = 4 + 49 = 53 \neq 28$। (यह हल नहीं है)।
$(0, 4)$ के लिए: $2(0) + 7(4) = 0 + 28 = 28$। (यह एक हल है)।
$(7, 2)$ के लिए: $2(7) + 7(2) = 14 + 14 = 28$। (यह एक हल है)।
अतः,$(2, 7)$ दिए गए समीकरण का हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण $x + 3y = k$ है।
चूंकि $(5, 2)$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम समीकरण में $x = 5$ और $y = 2$ का मान प्रतिस्थापित करेंगे।
$5 + 3(2) = k$
$5 + 6 = k$
$k = 11$
अतः,$k$ का मान $11$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $3x - 2y = 12$
$y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ को अलग करेंगे:
दोनों पक्षों से $3x$ घटाने पर: $-2y = 12 - 3x$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर: $2y = 3x - 12$
$2$ से भाग देने पर: $y = \frac{3x - 12}{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $ax + by = k$ के रूप का एक रैखिक समीकरण मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर जाने वाली रेखा को तभी दर्शाता है जब अचर पद $k$ का मान $0$ हो।
दिए गए समीकरण $3x + 7y = k$ में मूलबिंदु के निर्देशांक $(x = 0, y = 0)$ रखने पर:
$3(0) + 7(0) = k$
$0 + 0 = k$
$k = 0$
अतः,$k$ का मान $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3x + ay = 7$ है।
चूंकि आलेख बिंदु $(3, -1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ और $y = -1$ रखने पर:
$3(3) + a(-1) = 7$
$9 - a = 7$
$-a = 7 - 9$
$-a = -2$
$a = 2$
अतः,$a$ का मान $2$ है।

(C) $3x - 2y = 12$ समीकरण का आलेख किन बिंदुओं से होकर गुजरता है,यह ज्ञात करने के लिए हम दिए गए निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके जाँच करते हैं।
बिंदु $(4, 0)$ के लिए:
$3(4) - 2(0) = 12 - 0 = 12$। यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है।
बिंदु $(0, -6)$ के लिए:
$3(0) - 2(-6) = 0 + 12 = 12$। यह बिंदु भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,आलेख $(4, 0)$ और $(0, -6)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है।