Solution of a Linear Equation Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $F = (9/5)C + 32$ है।
चूंकि $F$ और $C$ संख्यात्मक रूप से समान हैं,मान लीजिए $F = C = x$।
समीकरण में $F$ और $C$ के स्थान पर $x$ रखने पर:
$x = (9/5)x + 32$
दोनों पक्षों से $(9/5)x$ घटाने पर:
$x - (9/5)x = 32$
$(5x - 9x) / 5 = 32$
$-4x / 5 = 32$
$-4x = 32 \times 5$
$-4x = 160$
$x = 160 / -4$
$x = -40$
अतः,$F$ और $C$ संख्यात्मक रूप से तब समान होते हैं जब $F = -40$।

(A) समीकरण $5x + 2y = 10$ को $y$-रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ को समीकरण के एक तरफ अलग करते हैं।
सबसे पहले,दोनों पक्षों से $5x$ घटाएं:
$2y = 10 - 5x$
इसके बाद,दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करें:
$y = \frac{10 - 5x}{2}$

(B) दिया गया समीकरण $ax + 3y = 21$ है।
चूंकि ग्राफ बिंदु $(5, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए निर्देशांक $x = 5$ और $y = 2$ समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
समीकरण में $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$a(5) + 3(2) = 21$
$5a + 6 = 21$
$5a = 21 - 6$
$5a = 15$
$a = \frac{15}{5}$
$a = 3$
अतः,$a$ का मान $3$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3y - 2x - 60 = 0$
इसे $y$-रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ को समीकरण के एक पक्ष में अलग करेंगे।
सबसे पहले,दोनों पक्षों में $2x$ और $60$ जोड़ने पर:
$3y = 2x + 60$
इसके बाद,दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{2x + 60}{3}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह जांचने के लिए कि कोई बिंदु $(x, y)$ समीकरण $3x + 2y = 18$ के आलेख पर स्थित है या नहीं,हम $x$ और $y$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या बायां पक्ष दाएं पक्ष $(18)$ के बराबर है।
विकल्प $A$ $(6, 0)$ के लिए: $3(6) + 2(0) = 18 + 0 = 18$। (बिंदु आलेख पर स्थित है)
विकल्प $B$ $(0, 9)$ के लिए: $3(0) + 2(9) = 0 + 18 = 18$। (बिंदु आलेख पर स्थित है)
विकल्प $C$ $(2, 6)$ के लिए: $3(2) + 2(6) = 6 + 12 = 18$। (बिंदु आलेख पर स्थित है)
विकल्प $D$ $(3, 2)$ के लिए: $3(3) + 2(2) = 9 + 4 = 13$। चूंकि $13 \neq 18$,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ आलेख पर स्थित नहीं है।

(A) समीकरण $2x + y = 10$ का आलेख $x$-अक्ष को जहाँ प्रतिच्छेद करता है,उस बिंदु को ज्ञात करने के लिए हम $y$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण में $y = 0$ रखने पर: $2x + 0 = 10$।
इसे सरल करने पर $2x = 10$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(5, 0)$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा बिंदु समीकरण $3x - 5y = 15$ के आलेख पर स्थित है,हम प्रत्येक विकल्प के निर्देशांक $(x, y)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A) (0, 0): 3(0) - 5(0) = 0 \neq 15$
$B) (-5, 0): 3(-5) - 5(0) = -15 \neq 15$
$C) (10, 3): 3(10) - 5(3) = 30 - 15 = 15$। चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए यह बिंदु आलेख पर स्थित है।
$D) (0, 3): 3(0) - 5(3) = -15 \neq 15$
अतः,सही बिंदु $(10, 3)$ है।

(A) समीकरण $3x - 4y = 24$ को $y$-रूप में व्यक्त करने के लिए,हमें $y$ को समीकरण के एक तरफ अलग करना होगा।
चरण $1$: दोनों पक्षों से $3x$ घटाएं: $-4y = -3x + 24$।
चरण $2$: दोनों पक्षों को $-4$ से विभाजित करें: $y = \frac{-3x + 24}{-4}$।
चरण $3$: व्यंजक को सरल करें: $y = \frac{-3x}{-4} + \frac{24}{-4}$।
चरण $4$: परिणाम $y = \frac{3}{4}x - 6$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $3x + 2y = 18$।
समीकरण में $x = 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(5) + 2y = 18$
$15 + 2y = 18$
दोनों पक्षों से $15$ घटाने पर:
$2y = 18 - 15$
$2y = 3$
$2$ से भाग देने पर:
$y = \frac{3}{2} = 1.5$।

(B) दिया गया है कि बिंदु $(5, 2)$ समीकरण $3x + 2y = k$ के आलेख पर स्थित है।
इसका अर्थ है कि निर्देशांक $x = 5$ और $y = 2$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
समीकरण में $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(5) + 2(2) = k$
$15 + 4 = k$
$k = 19$
अतः,$k$ का मान $19$ है।

(C) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ होता है।
यदि $c = 0$ है,तो समीकरण $ax + by = 0$ बन जाता है।
$ax + by = 0$ के रूप वाले किसी भी रैखिक समीकरण के लिए,यदि हम $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $a(0) + b(0) = 0$ प्राप्त होता है,जो कि $0 = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(0, 0)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखा मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $5x - ay = 7$ है।
चूंकि $(3, 2)$ एक हल है,इसलिए हम समीकरण में $x = 3$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$5(3) - a(2) = 7$
$15 - 2a = 7$
$-2a = 7 - 15$
$-2a = -8$
$a = \frac{-8}{-2}$
$a = 4$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) समीकरण $y=5$ एक ऐसी रेखा को दर्शाता है जहाँ $x$ के किसी भी मान के लिए $y$-निर्देशांक हमेशा $5$ रहता है।
चूंकि $y$-निर्देशांक स्थिर रहता है,रेखा अपनी ऊर्ध्वाधर स्थिति नहीं बदलती है,जिसका अर्थ है कि यह एक क्षैतिज रेखा है।
एक क्षैतिज रेखा हमेशा $x$-अक्ष के समांतर होती है।
इसलिए,$y=5$ का आलेख $x$-अक्ष के समांतर है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण: $5x + 3y = 90$ है।
समीकरण में $x = 12$ का मान रखने पर:
$5(12) + 3y = 90$
$60 + 3y = 90$
दोनों पक्षों से $60$ घटाने पर:
$3y = 90 - 60$
$3y = 30$
$3$ से भाग देने पर:
$y = 10$.

(D) दिया गया है कि $(-2, -3)$ समीकरण $ax - 5y = 21$ का एक हल है।
इसका अर्थ है कि $x = -2$ और $y = -3$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(-2) - 5(-3) = 21$
$-2a + 15 = 21$
$-2a = 21 - 15$
$-2a = 6$
$a = 6 / -2$
$a = -3$

(A) वह बिंदु जहाँ रैखिक समीकरण $5x - 3y = 20$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $y$-निर्देशांक को $0$ रखते हैं।
समीकरण में $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5x - 3(0) = 20$
$5x = 20$
$x = 20 / 5$
$x = 4$
अतः,आलेख $x$-अक्ष को $(4, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(C) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं।
एक चर (जैसे $x$) के लिए कोई भी मान रखने पर,हम दूसरे चर (जैसे $y$) के लिए एक संगत मान प्राप्त कर सकते हैं।
चूँकि $x$ के लिए अनंत वास्तविक संख्याएँ ली जा सकती हैं,इसलिए $y$ के लिए भी अनंत संगत मान प्राप्त होते हैं।
अतः,दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

(D) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है।
दिया गया समीकरण: $2x + 3y = 12$ है।
दोनों पक्षों से $12$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x + 3y - 12 = 0$।
इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर,गुणांक इस प्रकार हैं:
$a = 2$
$b = 3$
$c = -12$
अब,$a + b + c$ का योग ज्ञात कीजिए:
$a + b + c = 2 + 3 + (-12)$
$a + b + c = 5 - 12 = -7$।
अतः,$a + b + c$ का मान $-7$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x+y=0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जब $x = 0$ होता है,तो $y = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए रेखा मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।
यदि $x > 0$ है,तो $y < 0$ प्राप्त होता है,जो चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
यदि $x < 0$ है,तो $y > 0$ प्राप्त होता है,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,आलेख द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश से होकर गुजरता है।

(B) दिया गया रैखिक समीकरण $3x - 4y = k$ है।
चूंकि $(2, 5)$ इस समीकरण का एक हल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 2$ और $y = 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2) - 4(5) = k$
$6 - 20 = k$
$k = -14$
अतः,$k$ का मान $-14$ है।

(D) दिया गया है कि $(5, 2)$ समीकरण $3x + ky = 25$ का एक हल है।
इसका अर्थ है कि जब $x = 5$ और $y = 2$ हो,तो समीकरण संतुष्ट होना चाहिए।
समीकरण में $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(5) + k(2) = 25$
$15 + 2k = 25$
दोनों पक्षों से $15$ घटाने पर:
$2k = 25 - 15$
$2k = 10$
$2$ से भाग देने पर:
$k = 5$
अतः,$k$ का मान $5$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $0x + 3y = 21$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $3y = 21$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 7$ है।
समीकरण $y = 7$ एक क्षैतिज रेखा को दर्शाता है जो $x$-अक्ष के समानांतर है।
जो रेखा $x$-अक्ष के समानांतर होती है,वह $y$-अक्ष के लंबवत होती है।
अतः,समीकरण $0x + 3y = 21$ का आलेख $y$-अक्ष के लंबवत है।

(B) उभयनिष्ठ हल ज्ञात करने के लिए,हम रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$1$) $x + y = 0$
$2$) $x - y = 0$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 0 + 0$
$2x = 0$
$x = 0$
$x = 0$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$0 + y = 0$
$y = 0$
अतः,उभयनिष्ठ हल $x = 0, y = 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $3x - 4y = k$ है।
चूंकि $(4, 3)$ इस समीकरण का एक हल है,इसलिए हम समीकरण में $x = 4$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$3(4) - 4(3) = k$
$12 - 12 = k$
$0 = k$
अतः,$k$ का मान $0$ है।

(A) समीकरण $y = x + 5$ को $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$1$. दोनों पक्षों से $x$ और $5$ घटाने पर: $-x + y - 5 = 0$.
$2$. इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax + by + c = 0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = -1$
$b = 1$
$c = -5$.