Solution of a Linear Equation Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $F = (9/5)C + 32$ છે.
અહીં $F$ અને $C$ સંખ્યાત્મક રીતે સમાન હોવાથી,ધારો કે $F = C = x$.
સમીકરણમાં $F$ અને $C$ ની જગ્યાએ $x$ મૂકતા:
$x = (9/5)x + 32$
બંને બાજુથી $(9/5)x$ બાદ કરતા:
$x - (9/5)x = 32$
$(5x - 9x) / 5 = 32$
$-4x / 5 = 32$
$-4x = 32 \times 5$
$-4x = 160$
$x = 160 / -4$
$x = -40$
તેથી,જ્યારે $F = -40$ હોય ત્યારે $F$ અને $C$ સંખ્યાત્મક રીતે સમાન થાય છે.

(A) સમીકરણ $5x + 2y = 10$ ને $y$-સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરો:
$2y = 10 - 5x$
ત્યારબાદ,બંને બાજુને $2$ વડે ભાગો:
$y = \frac{10 - 5x}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ $ax + 3y = 21$ છે.
આલેખ બિંદુ $(5, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,યામ $x = 5$ અને $y = 2$ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a(5) + 3(2) = 21$
$5a + 6 = 21$
$5a = 21 - 6$
$5a = 15$
$a = \frac{15}{5}$
$a = 3$
તેથી,$a$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3y - 2x - 60 = 0$
તેને $y$-સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,બંને બાજુ $2x$ અને $60$ ઉમેરતા:
$3y = 2x + 60$
ત્યારબાદ,બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{2x + 60}{3}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સમીકરણ $3x + 2y = 18$ ના આલેખ પર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુની કિંમત જમણી બાજુ $(18)$ જેટલી થાય છે કે નહીં.
વિકલ્પ $A$ $(6, 0)$ માટે: $3(6) + 2(0) = 18 + 0 = 18$. (બિંદુ આલેખ પર છે)
વિકલ્પ $B$ $(0, 9)$ માટે: $3(0) + 2(9) = 0 + 18 = 18$. (બિંદુ આલેખ પર છે)
વિકલ્પ $C$ $(2, 6)$ માટે: $3(2) + 2(6) = 6 + 12 = 18$. (બિંદુ આલેખ પર છે)
વિકલ્પ $D$ $(3, 2)$ માટે: $3(3) + 2(2) = 9 + 4 = 13$. અહીં $13 \neq 18$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 2)$ આલેખ પર નથી.

(A) સમીકરણ $2x + y = 10$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $y$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા: $2x + 0 = 10$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2x = 10$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(5, 0)$ છે.

(C) સમીકરણ $3x - 5y = 15$ ના આલેખ પર કયું બિંદુ આવેલું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પના યામ $(x, y)$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$A) (0, 0): 3(0) - 5(0) = 0 \neq 15$
$B) (-5, 0): 3(-5) - 5(0) = -15 \neq 15$
$C) (10, 3): 3(10) - 5(3) = 30 - 15 = 15$. ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી,આ બિંદુ આલેખ પર આવેલું છે.
$D) (0, 3): 3(0) - 5(3) = -15 \neq 15$
તેથી,સાચું બિંદુ $(10, 3)$ છે.

(A) સમીકરણ $3x - 4y = 24$ ને $y$-સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ ને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરવું પડશે.
પગલું $1$: બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરો: $-4y = -3x + 24$.
પગલું $2$: બંને બાજુને $-4$ વડે ભાગો: $y = \frac{-3x + 24}{-4}$.
પગલું $3$: પદનું સાદું રૂપ આપો: $y = \frac{-3x}{-4} + \frac{24}{-4}$.
પગલું $4$: પરિણામ $y = \frac{3}{4}x - 6$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3x + 2y = 18$.
સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકતા:
$3(5) + 2y = 18$
$15 + 2y = 18$
બંને બાજુથી $15$ બાદ કરતા:
$2y = 18 - 15$
$2y = 3$
$2$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{3}{2} = 1.5$.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $(5, 2)$ એ સમીકરણ $3x + 2y = k$ ના આલેખ પર આવેલું છે.
આનો અર્થ એ છે કે યામ $x = 5$ અને $y = 2$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$3(5) + 2(2) = k$
$15 + 4 = k$
$k = 19$
તેથી,$k$ ની કિંમત $19$ છે.

(C) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે.
જો $c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $ax + by = 0$ બને છે.
$ax + by = 0$ સ્વરૂપના કોઈપણ સુરેખ સમીકરણ માટે,જો આપણે $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ,તો આપણને $a(0) + b(0) = 0$ મળે છે,જે $0 = 0$ છે.
આમ,બિંદુ $(0, 0)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $5x - ay = 7$ છે.
કારણ કે $(3, 2)$ એ ઉકેલ છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 2$ મૂકીશું.
$5(3) - a(2) = 7$
$15 - 2a = 7$
$-2a = 7 - 15$
$-2a = -8$
$a = \frac{-8}{-2}$
$a = 4$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સમીકરણ $y=5$ એક એવી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $y$-યામ હંમેશા $5$ રહે છે.
$y$-યામ અચળ રહેતો હોવાથી,રેખા તેની ઊભી સ્થિતિ બદલતી નથી,જેનો અર્થ છે કે તે એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા હંમેશા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$y=5$ નો આલેખ $x$-અક્ષને સમાંતર છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણ: $5x + 3y = 90$.
સમીકરણમાં $x = 12$ ની કિંમત મૂકતા:
$5(12) + 3y = 90$
$60 + 3y = 90$
બંને બાજુથી $60$ બાદ કરતા:
$3y = 90 - 60$
$3y = 30$
$3$ વડે ભાગતા:
$y = 10$.

(D) આપેલ છે કે $(-2, -3)$ એ સમીકરણ $ax - 5y = 21$ નો ઉકેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = -2$ અને $y = -3$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(-2) - 5(-3) = 21$
$-2a + 15 = 21$
$-2a = 21 - 15$
$-2a = 6$
$a = 6 / -2$
$a = -3$

(A) સુરેખ સમીકરણ $5x - 3y = 20$ નો આલેખ $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $y$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$5x - 3(0) = 20$
$5x = 20$
$x = 20 / 5$
$x = 4$
આમ,આલેખ $x$-અક્ષને $(4, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(C) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનું સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a$ તથા $b$ બંને એકસાથે શૂન્ય નથી.
કોઈપણ એક ચલ (દા.ત.,$x$) માટે કોઈ પણ કિંમત લેતા,આપણે બીજા ચલ (દા.ત.,$y$) માટે અનુરૂપ કિંમત શોધી શકીએ છીએ.
કારણ કે $x$ માટે અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ લઈ શકાય છે,તેથી $y$ માટે પણ અસંખ્ય અનુરૂપ કિંમતો મળે છે.
આથી,બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણને અસંખ્ય ઉકેલ હોય છે.

(D) બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2x + 3y = 12$.
બંને બાજુથી $12$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $2x + 3y - 12 = 0$.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકો નીચે મુજબ મળે છે:
$a = 2$
$b = 3$
$c = -12$
હવે,$a + b + c$ નો સરવાળો શોધો:
$a + b + c = 2 + 3 + (-12)$
$a + b + c = 5 - 12 = -7$.
તેથી,$a + b + c$ ની કિંમત $-7$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y=0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 0$ મળે,તેથી રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
જો $x > 0$ હોય,તો $y < 0$ મળે,જે ચોથા ચરણમાં આવે છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $y > 0$ મળે,જે બીજા ચરણમાં આવે છે.
તેથી,આલેખ બીજા અને ચોથા ચરણમાંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણ $3x - 4y = k$ છે.
કારણ કે $(2, 5)$ એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = 5$ મૂકતા:
$3(2) - 4(5) = k$
$6 - 20 = k$
$k = -14$
તેથી,$k$ ની કિંમત $-14$ છે.

(D) આપેલ છે કે $(5, 2)$ એ સમીકરણ $3x + ky = 25$ નો ઉકેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $x = 5$ અને $y = 2$ હોય,ત્યારે સમીકરણનું સમાધાન થવું જોઈએ.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$3(5) + k(2) = 25$
$15 + 2k = 25$
બંને બાજુથી $15$ બાદ કરતા:
$2k = 25 - 15$
$2k = 10$
$2$ વડે ભાગતા:
$k = 5$
તેથી,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $0x + 3y = 21$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $3y = 21$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 7$.
સમીકરણ $y = 7$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા દર્શાવે છે.
જે રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે $y$-અક્ષને લંબ હોય છે.
તેથી,સમીકરણ $0x + 3y = 21$ નો આલેખ $y$-અક્ષને લંબ છે.

(B) સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે સુરેખ સમીકરણોની આ સંહતિને ઉકેલીશું:
$1$) $x + y = 0$
$2$) $x - y = 0$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 0 + 0$
$2x = 0$
$x = 0$
$x = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$0 + y = 0$
$y = 0$
આમ,સામાન્ય ઉકેલ $x = 0, y = 0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3x - 4y = k$ છે.
કારણ કે $(4, 3)$ એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી આપણે $x = 4$ અને $y = 3$ ને સમીકરણમાં મૂકીશું.
$3(4) - 4(3) = k$
$12 - 12 = k$
$0 = k$
તેથી,$k$ ની કિંમત $0$ છે.

(A) સમીકરણ $y = x + 5$ ને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$1$. બંને બાજુથી $x$ અને $5$ બાદ કરતા: $-x + y - 5 = 0$.
$2$. આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે કરતા,આપણને સહગુણકો મળે છે:
$a = -1$
$b = 1$
$c = -5$.