Kinetic and Potential Energy Questions in Hindi

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2}mv^2$।
$(i)$ यदि द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ हो और वेग स्थिर $(v' = v)$ रहे:
$K' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2K$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की दोगुनी हो जाती है।
$(ii)$ यदि वेग दोगुना $(v' = 2v)$ हो और द्रव्यमान स्थिर $(m' = m)$ रहे:
$K' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की चार गुनी हो जाती है।
$(iii)$ यदि द्रव्यमान दोगुना $(m' = 2m)$ हो और वेग आधा $(v' = v/2)$ कर दिया जाए:
$K' = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = K/2$।
गतिज ऊर्जा मूल मान की आधी हो जाती है।

(B) संवेग $(p)$,द्रव्यमान $(m)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध $p = \sqrt{2mK}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(p \propto \sqrt{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान अधिक है (भारी पिंड),उसका संवेग हल्के पिंड की तुलना में अधिक होगा।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$,संवेग $(p)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए संवेग $(p)$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(K \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान कम (हल्का पिंड) होता है,उसका हर छोटा होने के कारण उसकी गतिज ऊर्जा का मान अधिक प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हल्के पिंड की गतिज ऊर्जा भारी पिंड की तुलना में अधिक होती है।

(B) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$1$. यदि हम द्रव्यमान को दोगुना करते हैं $(m' = 2m)$,तो नई गतिज ऊर्जा: $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ हो जाती है। अतः,द्रव्यमान को दोगुना करने से गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है।
$2$. यदि हम वेग को दोगुना करते हैं $(v' = 2v)$,तो नई गतिज ऊर्जा: $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ हो जाती है। अतः,वेग को दोगुना करने से गतिज ऊर्जा चार गुना बढ़ जाती है।
चूंकि $4 \times KE > 2 \times KE$,इसलिए वेग को दोगुना करने का प्रभाव वस्तु की गतिज ऊर्जा पर अधिक होता है।

(B) जब पानी एक निश्चित ऊंचाई पर होता है,तो उसमें गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है।
जैसे ही पानी नीचे गिरता है,यह गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
तल पर पहुँचने पर,पानी के अणु एक-दूसरे के साथ और चट्टानों के साथ टकराते हैं,जिससे यह गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में बदल जाती है।
परिणामस्वरूप,झरने के तल पर पानी ऊपर के पानी की तुलना में गर्म होता है।

(A) जब एक कॉइल स्प्रिंग को संकुचित किया जाता है,तो स्प्रिंग को उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित करने के लिए एक बाहरी बल लगाया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी बल द्वारा स्प्रिंग पर किया गया कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
जैसे-जैसे स्प्रिंग संकुचित होती है,विस्थापन $x$ बढ़ता है,जिससे स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(B) किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ संदर्भ स्तर (जमीन) से वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई है।
चूँकि एक व्यक्ति के लिए $m$ और $g$ स्थिर होते हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा सीधे द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $(h)$ पर निर्भर करती है।
जब कोई व्यक्ति जमीन पर लेटा होता है,तो उसके द्रव्यमान केंद्र की जमीन से ऊँचाई खड़े होने,जमीन पर बैठने या कुर्सी पर बैठने की तुलना में सबसे कम होती है।
इसलिए,जब व्यक्ति जमीन पर लेटा होता है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गति कर रही वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए,तो नया वेग $v' = 2v$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(K.E.')$ होगी: $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
अतः,$K.E.' = 4 \times K.E.$
यह दर्शाता है कि जब चाल दोगुनी की जाती है तो गतिज ऊर्जा $4$ गुना बढ़ जाती है।

(A) जमीन से $h$ ऊँचाई पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ होता है।
जब पत्थर $d$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई से नीचे गिरता है,तो उसकी प्रारंभिक ऊँचाई $h_i$ है और अंतिम ऊँचाई $h_f = h_i - d$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE = PE_i - PE_f$ है।
$\Delta PE = mgh_i - mg(h_i - d)$।
$\Delta PE = mgh_i - mgh_i + mgd$।
$\Delta PE = mgd$।
अतः,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में होने वाली कमी $mgd$ है।

(C) गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
दिया गया है: $KE = 1 \, J$,$m = 1 \, kg$.
सूत्र में मान रखने पर: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$.
$v^2 = 2$.
$v = \sqrt{2} \approx 1.414 \, m/s$.
अतः,चाल लगभग $1.4 \, m/s$ होगी।

(D) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = mgh$ है,जहाँ:
$m$ वस्तु का द्रव्यमान $(1 \, kg)$ है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण (लगभग $9.8 \, m/s^2$) है,
$h$ जमीन से ऊँचाई है।
यहाँ $PE = 1 \, J$ दिया गया है,इसलिए:
$1 = 1 \times 9.8 \times h$
$h = 1 / 9.8 \, m$
$h \approx 0.102 \, m$.
अतः,सही ऊँचाई $0.102 \, m$ है।

(A) किसी ऊँचाई $(h)$ पर स्थित वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र है: $PE = m \cdot g \cdot h$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $5\,kg$,ऊँचाई $(h)$ = $5\,m$,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ $\approx 10\,m/s^2$.
जैसे ही वस्तु जमीन पर गिरती है,स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$PE = 5\,kg \times 10\,m/s^2 \times 5\,m = 250\,J$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि $250\,J$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले और $v$ चाल से गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2}mv^2$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए,तो नई चाल $v' = 2v$ हो जाती है।
नई गतिज ऊर्जा $(K')$ होगी: $K' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2$।
$K' = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$।
अतः,गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा की चार गुनी हो जाती है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
यदि वेग को आधा कर दिया जाए,तो नया वेग $v' = \frac{v}{2}$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $KE'$ इस प्रकार होगी: $KE' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4} KE$.
अतः,गतिज ऊर्जा मूल गतिज ऊर्जा की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
जब धनुष की डोरी को खींचा जाता है,तो धनुष पर कार्य किया जाता है,जो धनुष में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। जब तीर को छोड़ा जाता है,तो यह संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे तीर आगे की ओर बढ़ता है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $v$ उसकी चाल (या वेग) है।
चूँकि सूत्र में गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए केवल वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ और चाल $(v)$ की आवश्यकता होती है,इसलिए इन दो मानों को जानने से हम वस्तु की गतिज ऊर्जा निर्धारित कर सकते हैं।