Mix Examples - WORK AND ENERGY Questions in Hindi

(N/A) साइकिल चलाते समय, साइकिल चालक के शरीर में संचित रासायनिक ऊर्जा (पेशीय ऊर्जा) साइकिल के पैडल और पहियों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
जैसे-जैसे साइकिल आगे बढ़ती है, इस गतिज ऊर्जा का उपयोग टायरों और सड़क के बीच घर्षण तथा वायु प्रतिरोध को दूर करने के लिए किया जाता है, जो अंततः ऊष्मा ऊर्जा के रूप में व्यय हो जाती है।
अतः, ऊर्जा रूपांतरण की श्रृंखला इस प्रकार है: $\text{रासायनिक ऊर्जा} \rightarrow \text{पेशीय ऊर्जा} \rightarrow \text{गतिज ऊर्जा} \rightarrow \text{ऊष्मा ऊर्जा (घर्षण के कारण)}.$

(N/A) किसी बल द्वारा किया गया कार्य,बल और बल की दिशा में विस्थापन का गुणनफल होता है।
कार्य $W = F \times d$
यहाँ,लड़का पूरे रास्ते में $F = 5\, N$ के निरंतर घर्षण बल के विरुद्ध गति कर रहा है।
लड़के द्वारा तय की गई कुल दूरी सीधी सड़क,वृत्ताकार पथ और अंतिम सीधी सड़क की दूरी का योग है।
$1$. प्रारंभिक सीधी सड़क की दूरी $= 1.5\, km = 1500\, m$.
$2$. वृत्ताकार पथ की दूरी: लड़का $r = 100\, m$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर $1.5$ चक्कर लगाता है। दूरी $= 1.5 \times (2 \pi r) = 1.5 \times 2 \times 3.14 \times 100 = 942\, m$.
$3$. अंतिम सीधी सड़क की दूरी $= 2.0\, km = 2000\, m$.
कुल दूरी $d = 1500\, m + 942\, m + 2000\, m = 4442\, m$.
चूंकि घर्षण बल पूरे रास्ते पर कार्य करता है,इसलिए घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य की गणना कुल तय की गई दूरी का उपयोग करके की जाती है।
कार्य $W = 5\, N \times 4442\, m = 22210\, J$.

(NO) नहीं,यदि किसी वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा शून्य है तो उसका संवेग नहीं हो सकता।
यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
यदि यांत्रिक ऊर्जा शून्य है,तो $KE + PE = 0$ होगा।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,और कुल योग शून्य होने के लिए $KE$ और $PE$ दोनों को शून्य होना चाहिए।
यदि $KE = 0$ है,तो $\frac{1}{2}mv^2 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि वस्तु का वेग $(v)$ शून्य है।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है $(p = mv)$,इसलिए यदि $v = 0$ है,तो संवेग $(p)$ भी $0$ होगा।

(N/A) गति के तीसरे समीकरण के अनुसार: $v^{2} - u^{2} = 2as$
इससे, विस्थापन $s$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $s = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, लगाया गया बल: $F = ma$
बल $F$ द्वारा $s$ दूरी तक किए गए कार्य $(W)$ की परिभाषा है: $W = F \times s$
$F$ और $s$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$
व्यंजक को सरल करने पर: $W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $\frac{1}{2}mv^{2}$ है, हमें प्राप्त होता है: $W = (K.E.)_{f} - (K.E.)_{i}$
अतः, किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

(10 M/S) $m(A) = m(B) = 1000 \,kg$. कार $(A)$ का प्रारंभिक वेग $v = 36 \,km/h = 36 \times (5/18) \,m/s = 10 \,m/s$.
घर्षण बल $F = 100 \,N$.
चूंकि कार $(A)$ एकसमान गति से चलती है,इसलिए इंजन को विपरीत घर्षण बल के बराबर बल लगाना होगा।
शक्ति $P = F \times v = 100 \,N \times 10 \,m/s = 1000 \,W$.
टक्कर के लिए,हम संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं:
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
यहाँ,$m_A = 1000 \,kg$,$u_A = 10 \,m/s$,$m_B = 1000 \,kg$,$u_B = 0 \,m/s$,और $v_A = 0 \,m/s$ (क्योंकि कार $(A)$ रुक जाती है)।
$1000 \times 10 + 1000 \times 0 = 1000 \times 0 + 1000 \times v_B$
$10000 = 1000 \times v_B$
$v_B = 10 \,m/s$.

(A) ट्रॉली पर किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए,हम कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हैं: $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$।
दिया गया है: कुल द्रव्यमान $m = 35 \, kg + 5 \, kg = 40 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 4 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$।
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = 0 - \frac{1}{2} \times 40 \times (4)^2 = -20 \times 16 = -320 \, J$।
ट्रॉली पर किया गया कार्य $-320 \, J$ है।
$(b)$ चूंकि लड़की ट्रॉली पर बैठी है और ट्रॉली के सापेक्ष गति को बदलने के लिए कोई अतिरिक्त बल नहीं लगा रही है,इसलिए लड़की द्वारा किया गया कार्य $0 \, J$ है।

(N/A) बक्से को उठाने के लिए लगाया गया बल उसके भार के बराबर होता है: $F = m \times g = 250 \,kg \times 10 \,m \,s^{-2} = 2500 \,N$।
बक्से को उठाने में किया गया कार्य $W = F \times s = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ है।
$(b)$ बक्से को पकड़े रखने में किया गया कार्य शून्य है क्योंकि विस्थापन $s = 0$ है।
$(c)$ वे थक जाते हैं क्योंकि बक्से को पकड़े रखने के लिए,उनकी मांसपेशियों को लगातार गुरुत्वाकर्षण बल के विपरीत बल लगाना पड़ता है,जिसमें आंतरिक मांसपेशीय प्रयास और ऊर्जा का व्यय शामिल होता है।

(N/A) $(i)$ रासायनिक ऊर्जा (Chemical energy)
$(ii)$ ऊष्मीय ऊर्जा (Heat energy)
$(iii)$ प्रकाश ऊर्जा (Light energy)
$(iv)$ विद्युत ऊर्जा (Electrical energy)
$(v)$ ध्वनि ऊर्जा (Sound energy)
$(vi)$ सौर ऊर्जा (Solar energy)

(D) जब एक दबी हुई स्प्रिंग को अम्ल में घोला जाता है,तो उसमें संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ मुक्त हो जाती है।
जैसे-जैसे स्प्रिंग के पदार्थ के रासायनिक बंध टूटते हैं और अम्ल के साथ अभिक्रिया करते हैं,यह स्थितिज ऊर्जा आसपास के अम्ल के अणुओं में स्थानांतरित हो जाती है।
यह ऊर्जा अम्ल के अणुओं की गतिज ऊर्जा $(KE)$ को बढ़ा देती है,जिसे विलयन के तापमान में वृद्धि के रूप में देखा जाता है।

(N/A) कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।
$(b)$ एक सरल लोलक के लिए, ऊर्जा का रूपांतरण नीचे दी गई तालिका में दर्शाया गया है:

स्थिति	स्थितिज ऊर्जा $(PE)$	गतिज ऊर्जा $(KE)$
चरम स्थिति $1$	अधिकतम	शून्य
चरम $1$ और माध्य स्थिति के बीच	घट रही है	बढ़ रही है
माध्य स्थिति	शून्य	अधिकतम
माध्य और चरम $2$ स्थिति के बीच	बढ़ रही है	घट रही है
चरम स्थिति $2$	अधिकतम	शून्य

जैसे-जैसे लोलक दोलन करता है, कुल यांत्रिक ऊर्जा $(PE + KE)$ स्थिर रहती है, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम को प्रदर्शित करती है।

(N/A) किया गया कार्य $0 \, J$ है। वृत्ताकार कक्षा में,गुरुत्वाकर्षण बल गति की दिशा (विस्थापन) के लंबवत कार्य करता है। चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250 \, g = 0.25 \, kg$,ऊँचाई $h = 2.5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ (या $10 \, m/s^2$)।
चूंकि पत्थर को ऊपर की ओर फेंका जाता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर (विस्थापन के विपरीत) कार्य करता है।
किया गया कार्य $W = -mgh = -(0.25 \, kg) \times (9.8 \, m/s^2) \times (2.5 \, m) = -6.125 \, J$ (यदि $g = 10 \, m/s^2$ का उपयोग किया जाए तो $-6.25 \, J$)।

(N/A) हाँ,यह तब संभव है जब कोई पिंड $v$ की स्थिर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा हो। पिंड वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है। विस्थापन हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,जिसका अर्थ है कि बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,किया गया कार्य:
$W = F S \cos 90^{\circ} = 0$.
$(b)$ हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2 m K}$ है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ वाले दो पिंडों के लिए:
$p_{1} = \sqrt{2 m_{1} K}$
$p_{2} = \sqrt{2 m_{2} K}$
अतः,उनके रैखिक संवेग का अनुपात:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{2 m_{1} K}{2 m_{2} K}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$.

(N/A) जब धनुष को खींचा जाता है,तो उसमें प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा संचित हो जाती है। जब तीर को छोड़ा जाता है,तो धनुष में संचित यह स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में रूपांतरित हो जाती है,जिससे वह आगे बढ़ता है।
$(b)$ दिया गया है:
द्रव्यमान $(m) = 50 \, kg$
ऊँचाई $(h) = 100 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \, m/s^2$
स्थितिज ऊर्जा $(PE) = m \times g \times h$
$PE = 50 \times 10 \times 100$
$PE = 50,000 \, J$ या $50 \, kJ$.

(N/A) कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।
$(b)$ किसी वस्तु पर लगाए गए बल और बल की दिशा में हुए विस्थापन के गुणनफल को कार्य कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
$(c)$ किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(100 W) कार्य: किसी नियत बल द्वारा किया गया कार्य,बल की दिशा में विस्थापन और विस्थापन के परिमाण का गुणनफल होता है। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
ऊर्जा: किसी वस्तु की कार्य करने की क्षमता को ऊर्जा कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
शक्ति: कार्य करने की दर को शक्ति कहते हैं। इसका $SI$ मात्रक वाट $(W)$ है।
दिया है: द्रव्यमान $m = 80 \, kg$,पायदानों की संख्या $= 30$,प्रत्येक पायदान की ऊँचाई $= 12.5 \, cm = 0.125 \, m$,समय $t = 30 \, s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m \, s^{-2}$।
कुल ऊँचाई $h = 30 \times 0.125 \, m = 3.75 \, m$।
किया गया कार्य $W = mgh = 80 \times 10 \times 3.75 = 3000 \, J$।
शक्ति $P = W / t = 3000 / 30 = 100 \, W$।

(A) ऊर्जा संरक्षण का नियम: यह बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय (isolated system) में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
उदाहरण: किसी वस्तु के मुक्त पतन के दौरान,स्थितिज ऊर्जा धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,लेकिन कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$(b)$ $(i)$ लड़की $A$ द्वारा व्यय की गई शक्ति:
वजन $(mg) = 400 \, N$,ऊँचाई $(h) = 8 \, m$,समय $(t) = 20 \, s$.
शक्ति $(P) = \frac{\text{किया गया कार्य}}{\text{समय}} = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{20} = 160 \, W$.
$(ii)$ लड़की $B$ द्वारा व्यय की गई शक्ति:
वजन $(mg) = 400 \, N$,ऊँचाई $(h) = 8 \, m$,समय $(t) = 50 \, s$.
शक्ति $(P) = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{50} = 64 \, W$.
$(c)$ शक्ति $(P) = 1500 \, W = 1.5 \, kW$,समय $(t) = 10 \, h$.
उपभोग की गई ऊर्जा $= P \times t = 1.5 \, kW \times 10 \, h = 15 \, kWh$.

(A) किसी वस्तु पर कार्य करने वाले बल द्वारा किया गया कार्य,बल के परिमाण और बल की दिशा में वस्तु के विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है।
कार्य का व्यंजक है: $W = F \times s$,जहाँ $W$ कार्य है,$F$ बल है और $s$ विस्थापन है।
$(b)$ यदि वस्तु का विस्थापन शून्य है,तो किया गया कार्य शून्य होगा। क्योंकि $W = F \times 0 = 0$ होता है।
$(c)$ गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण होती है। $m$ द्रव्यमान और $v$ चाल से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का व्यंजक $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।

(N/A) नहीं,यह कथन गलत है। कार्य शून्य है क्योंकि पृथ्वी पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (सूर्य की दिशा में) और विस्थापन (वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश) एक-दूसरे के लंबवत हैं,अर्थात $\theta = 90^{\circ}$। सूत्र $W = F S \cos \theta$ के अनुसार,चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ है।
$(b)$ चूंकि कुली बक्से को पकड़े रखने के लिए बल लगा रहा है लेकिन बक्से का कोई विस्थापन नहीं हो रहा है $(S = 0)$,इसलिए उसके द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
$(c)$ कुल द्रव्यमान $m = 70 \, kg + 10 \, kg = 80 \, kg$। बल $F = m \times g = 80 \, kg \times 10 \, m s^{-2} = 800 \, N$। विस्थापन $S = 100 \, m$। किया गया कार्य $W = F \times S = 800 \, N \times 100 \, m = 80,000 \, J$।

(C) औसत शक्ति को कुल किए गए कार्य और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(b)$ जब फुटबॉल को किक मारी जाती है,तो वह वक्र पथ पर चलकर वापस जमीन पर आ जाती है। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य केवल ऊर्ध्वाधर विस्थापन पर निर्भर करता है। चूँकि प्रारंभिक और अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थिति समान (जमीन) है,इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = 0$ है। अतः,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = mgh = 0$ होगा।
$(c)$ राम और श्याम द्वारा किया गया कार्य समान है क्योंकि दोनों का द्रव्यमान $(40 \, kg)$ समान है और दोनों समान ऊँचाई $(3 \, m)$ तक चढ़ते हैं।
राम की शक्ति $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{10} = 117.6 \, W$.
श्याम की शक्ति $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{12} = 98 \, W$.
चूँकि $117.6 \, W > 98 \, W$,इसलिए राम की शक्ति श्याम की शक्ति से अधिक है।

(1:3) किसी वस्तु पर लगाए गए बल और बल की दिशा में वस्तु के विस्थापन के गुणनफल को कार्य कहते हैं। कार्य का परिमाण दो कारकों पर निर्भर करता है: $(1)$ लगाए गए बल का परिमाण $(F)$ और $(2)$ बल की दिशा में वस्तु का विस्थापन $(s)$।
$(b)$ दिया गया है: कार की गति $(v_1) = 30 \, m/s$,ट्रक की गति $(v_2) = 30 \, m/s$। द्रव्यमान का अनुपात $(m_1 : m_2) = 1 : 3$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(E_k) = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2} \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$
चूंकि $v_1 = v_2$ है,इसलिए अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:3$ है।

(N/A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। अतः,एक विलगित निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
$(b)$ ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और ऊर्जा का व्यावसायिक मात्रक किलोवाट-घंटा $(kWh)$ है।
$1 \, kWh = 1 \, kW \times 1 \, h$
$1 \, kWh = 1000 \, W \times 3600 \, s$
$1 \, kWh = 3,600,000 \, J = 3.6 \times 10^6 \, J$.
$(c)$ दिया गया है: बल $(F)$ = $7 \, N$,विस्थापन $(S)$ = $5 \, m$।
किया गया कार्य $(W)$ = $F \times S$
$W = 7 \, N \times 5 \, m = 35 \, J$.

(D) $(i)$ जब किसी वस्तु को एक निश्चित कोण पर फेंका जाता है, तो वह अधिकतम ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाती है और फिर परवलयाकार पथ का अनुसरण करते हुए वापस जमीन पर आ जाती है। ऊपर जाते समय गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{against} = mgh$ है। नीचे गिरते समय गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{by} = mgh$ है। चूँकि प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल विस्थापन $0$ है। अतः, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \, kg$, प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m s^{-1}$, अंतिम वेग $v = 2 \, m s^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।

(A) दिया गया है: बल $F = 100 \, N$,क्षैतिज विस्थापन $S_H = 5 \, m$,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_V = 10 \, m$।
मान लीजिए कि $W_1$ क्षैतिज गति के दौरान किया गया कार्य है और $W_2$ ऊर्ध्वाधर गति के दौरान किया गया कार्य है।
क्षैतिज गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन क्षैतिज है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$W_1 = F \cdot S_H \cdot \cos(90^{\circ}) = 100 \times 5 \times 0 = 0 \, J$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन भी ऊर्ध्वाधर है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$W_2 = F \cdot S_V \cdot \cos(0^{\circ}) = 100 \times 10 \times 1 = 1000 \, J$।
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 0 + 1000 = 1000 \, J$।
$(b)$ गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ और संवेग $p = mv$ होता है।
$p = mv$ से,हमें $v = \frac{p}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{p^2}{2m}$।
अतः,संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।

(N/A) औसत शक्ति को कार्य करने की औसत दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि $t$ समय में कुल कार्य $W$ किया जाता है,तो औसत शक्ति $P_{av}$ इस प्रकार दी जाती है:
$P_{av} = \frac{W}{t}$
$4$ उपकरणों द्वारा खपत कुल शक्ति $= 4 \times 500 = 2000\, W = 2\, kW$
उपकरणों के चलने का समय $= 10$ घंटे
प्रतिदिन खपत ऊर्जा $= 2\, kW \times 10\, h = 20\, kWh$
नवंबर के महीने ($30$ दिन) में खपत कुल ऊर्जा $= 20\, kWh \times 30 = 600\, kWh$
$(b)$ जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है,तो अपनी गति के कारण उसमें गतिज ऊर्जा होती है। जब वह जमीन से टकराती है,तो उसकी गतिज ऊर्जा अन्य ऊर्जा रूपों में परिवर्तित हो जाती है,मुख्य रूप से सतह के साथ प्रभाव के कारण यह ध्वनि ऊर्जा और ऊष्मीय ऊर्जा में बदल जाती है।

(A) $(i)$ किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके संवेग $(p)$ से $E = p^2 / 2m$ के रूप में संबंधित होती है। यदि संवेग समान है,तो $E \propto 1/m$ होगा।
अतः,हल्की वस्तु और भारी वस्तु की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{\text{light}}}{E_{\text{heavy}}} = \frac{m_{\text{heavy}}}{m_{\text{light}}}$ होगा।
चूँकि $m_{\text{heavy}} > m_{\text{light}}$,इसलिए अनुपात $1$ से अधिक होगा। अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।
$(ii)$ दिया गया है: प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 10\, m$। ऊर्जा में $40\%$ की कमी होती है,इसलिए शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $60\%$ है $(E_2 = 0.6 E_1)$।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र $E = mgh$ का उपयोग करने पर,$mgh_2 = 0.6 mgh_1$ प्राप्त होता है।
$h_2 = 0.6 \times h_1 = 0.6 \times 10\, m = 6\, m$.
अतः,गेंद $6\, m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगी।

(B) यांत्रिक ऊर्जा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग है। इसके दो रूप गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा हैं। ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सरल लोलक इसका उदाहरण है: माध्य स्थिति पर,ऊर्जा पूरी तरह से गतिज होती है,जबकि चरम स्थितियों पर,यह पूरी तरह से स्थितिज होती है। जैसे-जैसे लोलक दोलन करता है,ऊर्जा लगातार गतिज और स्थितिज रूपों के बीच परिवर्तित होती रहती है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 72 \, km \, h^{-1} = 72 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 20 \, m \, s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \, m \, s^{-1}$।
किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$।
किया गया कार्य = $\frac{1}{2} \times 1000 \times (0^2 - 20^2) = 500 \times (-400) = -200,000 \, J = -2 \times 10^5 \, J$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कार्य कार की गति के विपरीत दिशा में किया गया है।

(A) दिया गया है: $m_1 = m, m_2 = m, v_1 = 2v, v_2 = 3v$. हमें $E_1 / E_2$ का अनुपात ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। इसलिए:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{(2v)^2}{(3v)^2} = \frac{4v^2}{9v^2} = \frac{4}{9}$.
$(b)$ कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा $(KE)$ + स्थितिज ऊर्जा $(PE)$।
$h$ ऊँचाई पर,कुल ऊर्जा $mgh$ होती है (क्योंकि $KE = 0$ और $PE = mgh$)।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गिरने के दौरान प्रत्येक बिंदु पर कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
जमीन तक पहुँचने के आधे रास्ते पर (ऊँचाई $h/2$),वेग $v$ का मान $v^2 - u^2 = 2g(h/2)$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि $u = 0$,इसलिए $v^2 = gh$।
$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mgh$.
$PE = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$.
कुल ऊर्जा = $KE + PE = \frac{1}{2}mgh + \frac{1}{2}mgh = mgh$।

$(D)$ कार्य होने के लिए दो शर्तें हैं: $(i)$ वस्तु पर बल लगना चाहिए, और $(ii)$ वस्तु का बल की दिशा में विस्थापन होना चाहिए।
$(b)$ घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है क्योंकि घर्षण बल वस्तु के विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$(c)$ शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका संबंध $P = W / t$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P$ शक्ति है, $W$ किया गया कार्य है और $t$ लिया गया समय है।
$(d)$ दिया गया है: कार्य $(W) = 1960 \, J$, समय $(t) = 4 \, \text{मिनट} = 4 \times 60 = 240 \, s$.
सूत्र $P = W / t$ का उपयोग करने पर: $P = 1960 / 240 = 8.166... \approx 8.17 \, W$.

(N/A) गतिज ऊर्जा $(KE)$ वह कार्य है जो बल $F$ द्वारा $m$ द्रव्यमान के पिंड को विरामावस्था $(u=0)$ से $v$ वेग तक त्वरित करने के लिए किया जाता है। $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,हमें $s = v^2 / (2a)$ प्राप्त होता है। चूंकि $F = ma$,किया गया कार्य $W = F \times s = ma \times (v^2 / 2a) = 1/2 mv^2$ है। अतः,$KE = 1/2 mv^2$ है।
$(b)$ चूंकि $KE \propto v^2$,यदि वेग $5v$ हो जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $KE' = 1/2 m(5v)^2 = 25 \times (1/2 mv^2) = 25 \times KE$ होगी। गतिज ऊर्जा $25$ गुना बढ़ जाएगी।
$(c)$ जमीन पर गिरते हुए पिंड की गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ के बराबर होती है। $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान के लिए,$PE_1 = mgh$। $2h$ ऊंचाई पर $2m$ द्रव्यमान के लिए,$PE_2 = (2m)g(2h) = 4mgh$। चूंकि $PE_2 > PE_1$,इसलिए $2m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(N/A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।
$(b)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1500 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 72 \, km/h = 20 \, m/s$.
किया गया कार्य $(W)$ = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1500 \times (20^2 - 10^2) = 750 \times (400 - 100) = 750 \times 300 = 225,000 \, J$ या $2.25 \times 10^5 \, J$.
चूंकि वेग में वृद्धि हो रही है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
$(c)$ दोलन करते हुए लोलक की अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ उसके चरम स्थितियों (extreme positions) पर होती है और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसके माध्य स्थिति (mean position) पर होती है।

(B) दिया गया है: बल $F = 20 \,N$,समय $t = 10 \,s$,द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,और प्रारंभिक वेग $u = 0 \,m/s$.
सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें: $a = F/m = 20/5 = 4 \,m/s^2$.
इसके बाद,$v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके $10 \,s$ के बाद अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें: $v = 0 + (4 \times 10) = 40 \,m/s$.
अंत में,गतिज ऊर्जा $KE$ की गणना $KE = 1/2 \times m \times v^2$ सूत्र का उपयोग करके करें: $KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 4000 \,J$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \, kg$,बल $F = 16 \, N$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 10 \, s$।
चरण $1$: न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें।
$a = \frac{F}{m} = \frac{16 \, N}{4 \, kg} = 4 \, m/s^2$।
चरण $2$: गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें।
$v = 0 + (4 \, m/s^2 \times 10 \, s) = 40 \, m/s$।
चरण $3$: गतिज ऊर्जा $KE$ के सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके गणना करें।
$KE = \frac{1}{2} \times 4 \, kg \times (40 \, m/s)^2 = 2 \times 1600 = 3200 \, J$।

(A) लड़के को सीढ़ियाँ चढ़ने के लिए गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
लड़के पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल,$F = m \times g = 40 \, kg \times 9.8 \, m s^{-2} = 392 \, N$.
तय की गई कुल ऊँचाई (दूरी),$S = 50 \times 10 \, cm = 500 \, cm = 5 \, m$.
$(i)$ लड़के द्वारा किया गया कार्य,$W = F \times S = 392 \, N \times 5 \, m = 1960 \, J$.
$(ii)$ विकसित शक्ति,$P = \frac{W}{t} = \frac{1960 \, J}{5 \, s} = 392 \, W$.

(C) दिया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,ऊँचाई $h = 50 \, cm = 0.5 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$।
$(a)$ गिराने से ठीक पहले स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ की गणना $PE = mgh = 10 \times 10 \times 0.5 = 50 \, J$ के रूप में की जाती है।
$(b)$ ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। जमीन को छूने से ठीक पहले,स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$KE = PE = 50 \, J$।
$(c)$ गतिज ऊर्जा के सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 50}{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \, m s^{-1}$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$,बल $F = 20\, N$,समय $t = 10\, s$.
चरण $1$: न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करके त्वरण की गणना करें।
$a = F / m = 20 / 5 = 4\, m/s^2$.
चरण $2$: गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके अंतिम वेग $v$ ज्ञात करें।
$v = 0 + (4 \times 10) = 40\, m/s$.
चरण $3$: गतिज ऊर्जा $KE$ के सूत्र $KE = 1/2 mv^2$ का उपयोग करके गणना करें।
$KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 5 \times 800 = 4000\, J$.

(A) प्रत्येक बच्चे द्वारा किया गया कार्य $W = mgh$ सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है।
यहाँ $m = 20 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,और $h = 10 \, m$ दिया गया है।
किया गया कार्य $= 20 \times 9.8 \times 10 = 1960 \, J$ है।
चूँकि दोनों बच्चों के लिए $m$,$g$ और $h$ समान हैं,इसलिए किया गया कार्य समान है।
शक्ति (पावर) कार्य करने की दर है,$P = W / t$।
बच्चे $A$ के लिए: $P_A = 1960 / 10 = 196 \, W$।
बच्चे $B$ के लिए: $P_B = 1960 / 20 = 98 \, W$।
चूँकि $196 \, W > 98 \, W$ है,इसलिए बच्चे $A$ के पास अधिक शक्ति है।

(D) एक दबी हुई स्प्रिंग अपनी विकृत अवस्था के कारण प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का भंडारण करती है।
जब स्प्रिंग को अम्ल में घोला जाता है,तो स्प्रिंग को दबी हुई अवस्था में रखने वाले रासायनिक बंध टूट जाते हैं।
भंडारित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा मुक्त होती है और अम्ल के अणुओं की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
अणुओं की गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि अम्ल के घोल के तापमान में वृद्धि का कारण बनती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा अंततः ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
भौतिकी में,कार्य को बल और विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,और ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कार्य और ऊर्जा दोनों को एक ही $SI$ इकाई में मापा जाता है,जो जूल $(J)$ है।