Kinetic and Potential Energy Questions in Hindi

(B) गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण होती है।
प्रत्येक गतिशील वस्तु में गतिज ऊर्जा होती है।
एक वस्तु कार्य करने के लिए गतिज ऊर्जा का उपयोग करती है।
उदाहरण के लिए,हथौड़े की गतिज ऊर्जा का उपयोग लकड़ी के लट्ठे में कील ठोकने के लिए किया जाता है,और हवा की गतिज ऊर्जा का उपयोग पवन चक्कियों को चलाने के लिए किया जाता है।

(N/A) यदि $m$ द्रव्यमान की कोई वस्तु $v$ वेग से गति कर रही है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $E_k$ को निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(D) गतिज ऊर्जा का व्यंजक $E_k = 1/2 mv^2$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_k = 25\, J$ है जब वेग $v = 5\, m\, s^{-1}$ है।
$(i)$ जब वेग को दोगुना किया जाता है,तो नया वेग $v' = 2v = 10\, m\, s^{-1}$ हो जाता है।
चूंकि $E_k \propto v^2$,इसलिए नई गतिज ऊर्जा $E_k' = 1/2 m(2v)^2 = 4 \times (1/2 mv^2) = 4 \times 25\, J = 100\, J$ होगी।
$(ii)$ जब वेग को तीन गुना किया जाता है,तो नया वेग $v'' = 3v = 15\, m\, s^{-1}$ हो जाता है।
इसी प्रकार,नई गतिज ऊर्जा $E_k'' = 1/2 m(3v)^2 = 9 \times (1/2 mv^2) = 9 \times 25\, J = 225\, J$ होगी।

(D) दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ $= 20 \, kg$
प्रारंभिक वेग $(u)$ $= 5 \, m \, s^{-1}$
अंतिम वेग $(v)$ $= 2 \, m \, s^{-1}$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बल द्वारा किया गया कार्य वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $(W)$ $= \Delta KE = KE_{\text{अंतिम}} - KE_{\text{प्रारंभिक}}$
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2^2 - 5^2)$
$W = 10 \times (4 - 25)$
$W = 10 \times (-21)$
$W = -210 \, J$
यहाँ ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल गति की विपरीत दिशा में कार्य कर रहा है (अवरोधक बल)। अतः, बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $210 \, J$ है।

(B) हम जानते हैं कि,स्थितिज ऊर्जा $(PE) = mgh$.
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m) = 40\, kg$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 9.8\, m/s^2$
ऊँचाई $(h) = 5\, m$
स्थितिज ऊर्जा $= 40 \times 9.8 \times 5 = 1960\, J$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
जब वस्तु आधी दूरी पर होती है,तो वह $2.5\, m$ की दूरी तय कर चुकी होती है। इस बिंदु पर,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का आधा हिस्सा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,गतिज ऊर्जा $= 1/2 \times 1960\, J = 980\, J$.

(C) वस्तु गति में है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 1/2 mv^2$ है।
जब वस्तु विराम अवस्था में आती है,तो उसका अंतिम वेग $0$ हो जाता है,इसलिए इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = K_f - K_i$.
$W = 0 - 1/2 mv^2 = -1/2 mv^2$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु को विराम में लाने के लिए गति की दिशा के विपरीत कार्य किया जाता है। आवश्यक कार्य का परिमाण $1/2 mv^2$ है।

(A) कार का द्रव्यमान $m = 1500 \, kg$ है।
कार का वेग $v = 60 \, km/h$ है।
वेग को $m/s$ में बदलने पर: $v = \frac{60 \times 1000}{3600} = \frac{50}{3} \, m/s$।
कार की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है।
$KE = \frac{1}{2} \times 1500 \times (\frac{50}{3})^2 \, J$।
$KE = 750 \times \frac{2500}{9} \, J$।
$KE = 750 \times 277.777... \, J = 208333.3 \, J$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, कार को रोकने के लिए आवश्यक कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $= KE_{\text{initial}} - KE_{\text{final}} = 208333.3 \, J - 0 \, J = 208333.3 \, J$।
अतः, कार को रोकने के लिए आवश्यक कार्य $208333.3 \, J$ है।

(D) किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण संग्रहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है।
चूंकि बांध में पानी एक निश्चित ऊंचाई पर संग्रहित होता है,इसलिए यह जमीन के सापेक्ष अपनी स्थिति के कारण गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा रखता है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$h$ ऊँचाई पर,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $mgh$ होती है और गतिज ऊर्जा $(KE)$ $0$ होती है।
$\frac{h}{2}$ दूरी गिरने के बाद,शेष ऊँचाई $\frac{h}{2}$ है।
इस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mg(\frac{h}{2}) = \frac{1}{2}mgh$ होती है।
चूंकि कुल ऊर्जा $mgh$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ होगी।
अतः,आधी ऊँचाई पर,वस्तु में आधी स्थितिज ऊर्जा और आधी गतिज ऊर्जा होती है।

(B) गतिज ऊर्जा $(K.E)$ का सूत्र $K.E = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
माना प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ होगी।
जब वेग को तीन गुना कर दिया जाता है,तो नया वेग $v_2 = 3v$ हो जाता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2}m(3v)^2 = \frac{1}{2}m(9v^2) = 9 \times (\frac{1}{2}mv^2)$ होगी।
अतः,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा और अंतिम गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 : K_2 = \frac{1}{2}mv^2 : 9(\frac{1}{2}mv^2) = 1:9$ है।

(A) हाँ,किसी वस्तु के पास यांत्रिक ऊर्जा हो सकती है भले ही उसका संवेग शून्य हो।
यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
संवेग $(p)$ द्रव्यमान $(m)$ और वेग $(v)$ का गुणनफल है,अर्थात $p = mv$।
यदि संवेग शून्य है $(p = 0)$,तो वस्तु का वेग भी शून्य $(v = 0)$ होना चाहिए।
चूंकि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,यदि $v = 0$ है,तो $KE = 0$ होगा।
हालाँकि,वस्तु अपनी स्थिति या विन्यास के कारण स्थितिज ऊर्जा रख सकती है (उदाहरण के लिए,जमीन से कुछ ऊंचाई पर पकड़ी गई गेंद)।
इसलिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $(ME = KE + PE)$ शून्य नहीं होगी क्योंकि $PE$ शून्य नहीं है।

(C) $10\, m$ की ऊँचाई $h$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$PE = m \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 100m\, J$.
जमीन से टकराने के बाद,ऊर्जा में $40\%$ की कमी आती है,जिसका अर्थ है कि शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $100\% - 40\% = 60\%$ है।
शेष ऊर्जा = $0.60 \times 100m = 60m\, J$.
माना गेंद द्वारा प्राप्त नई ऊँचाई $h'$ है। इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE' = mgh'$ है।
शेष ऊर्जा को नई स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: $mgh' = 60m$.
$m \times 10 \times h' = 60m$.
$h' = 60 / 10 = 6\, m$.
अतः,गेंद $6\, m$ की ऊँचाई तक वापस उछल सकती है।

(N/A) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं का संवेग समान है $(p_1 = p_2 = p)$।
मान लीजिए $m_1$ हल्की वस्तु का द्रव्यमान है और $m_2$ भारी वस्तु का द्रव्यमान है,जहाँ $m_1 < m_2$ है।
हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)_1 = \frac{p^2}{2m_1}$ है।
भारी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)_2 = \frac{p^2}{2m_2}$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{\frac{p^2}{2m_1}}{\frac{p^2}{2m_2}} = \frac{m_2}{m_1}$ है।
चूंकि $m_1 < m_2$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $(K.E.)_1 > (K.E.)_2$।
अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होती है।

(B) एक खिंचा हुआ धनुष अपने आकार में परिवर्तन के कारण स्थितिज ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) धारण करता है।
जब डोरी को छोड़ा जाता है,तो यह संचित स्थितिज ऊर्जा तीर में स्थानांतरित हो जाती है।
जैसे ही धनुष अपने मूल आकार में वापस आता है,स्थितिज ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे वह गति करने लगता है।

(A) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2$ है।
इसका अर्थ है $m_1v_1^2 = m_2v_2^2$,या $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$।
यदि $m_1 < m_2$ (हल्की वस्तु का द्रव्यमान भारी वस्तु से कम है),तो $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा।
इसलिए,$\frac{v_1^2}{v_2^2} > 1$,जिसका अर्थ है $v_1^2 > v_2^2$,या $v_1 > v_2$।
अतः,भारी वस्तु के समान गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए हल्की वस्तु को अधिक तेजी से चलना होगा।

(B) जब घड़ी की स्प्रिंग को चाबी दी जाती है,तो उस पर कार्य किया जाता है,जिससे उसके आकार में परिवर्तन होता है। यह कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (Elastic potential energy) के रूप में संचित हो जाता है। जैसे-जैसे स्प्रिंग धीरे-धीरे खुलती है,यह संचित ऊर्जा घड़ी के गियर्स को चलाने के लिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(B) गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $1\, kg$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ = $1\, J$।
सूत्र में मान रखने पर: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$।
$v^2 = 2$।
$v = \sqrt{2} \approx 1.414\, m/s$।
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा $1\, J$ होने पर उसकी चाल लगभग $1.414\, m/s$ होगी।

(B) लुढ़कता हुआ पत्थर गति में होता है। किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है। अतः,लुढ़कते हुए पत्थर में गतिज ऊर्जा होती है।

(B) एक दौड़ता हुआ एथलीट गति में होता है। किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है। इसलिए,दौड़ते हुए एथलीट में गतिज ऊर्जा होती है।

(B) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
चूंकि कार और ट्रक दोनों समान वेग $(v)$ से गति कर रहे हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ के सीधे आनुपातिक होती है $(KE \propto m)$।
यह दिया गया है कि ट्रक का द्रव्यमान कार के द्रव्यमान से अधिक है,इसलिए ट्रक की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(N/A) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जैसे ही पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,गुरुत्वाकर्षण बल के कारण उसका वेग $(v)$ कम होता जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,पिंड का वेग शून्य $(v = 0)$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0$ हो जाती है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर होता है $(KE_{initial} - 0 = KE_{initial})$,जो उस बिंदु पर पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।

(B) जैसे-जैसे गेंद लंबवत ऊपर की ओर बढ़ती है,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण उसकी गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग शून्य हो जाता है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा शून्य है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,जिस बिंदु पर वेग शून्य होता है,वहां स्थितिज ऊर्जा अपने अधिकतम मान तक पहुंच जाती है।

(A) गतिज ऊर्जा का व्यंजक $KE = \frac{1}{2} mv^{2}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होती है $(KE \propto m)$ जब गति $(v)$ स्थिर हो,इसलिए अधिक द्रव्यमान वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होगी।
यह देखते हुए कि घोड़े का द्रव्यमान $(210\, kg)$ कुत्ते के द्रव्यमान $(25\, kg)$ से अधिक है,इसलिए घोड़े के पास अधिक गतिज ऊर्जा है।

(N/A) किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण निहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए व्यंजक $PE = mgh$ है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ संदर्भ स्तर से ऊँचाई है।
स्थितिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ को $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इसे संवेग $(p = mv)$ से संबंधित करने के लिए,हम समीकरण के दाईं ओर के पद को $m$ से गुणा और भाग करते हैं:
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m}$
चूंकि $p = mv$,हम $m^2 v^2$ के स्थान पर $p^2$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$K = \frac{p^2}{2m}$
संवेग के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।

(N/A) जब हम घड़ी की चाबी भरते हैं,तो हम घड़ी के अंदर मौजूद स्प्रिंग पर कार्य करते हैं। परिणामस्वरूप,यह ऊर्जा स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) के रूप में संचित हो जाती है। इस संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का उपयोग पूरे दिन घड़ी को चलाने के लिए किया जाता है।

(B) संवेग $(p)$,द्रव्यमान $(m)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध सूत्र $p = \sqrt{2mK}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है $(p \propto \sqrt{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान अधिक होगा,उसका संवेग भी अधिक होगा।
इस प्रकार,भारी पिंड का संवेग हल्के पिंड की तुलना में अधिक होगा।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$,संवेग $(p)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए संवेग $(p)$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(K \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस वस्तु का द्रव्यमान कम (हल्की वस्तु) होगा,उसका हर छोटा होने के कारण उसकी गतिज ऊर्जा का मान अधिक होगा।
इस प्रकार,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा भारी वस्तु की तुलना में अधिक होती है।

(N/A) मान लीजिए कि एक स्थिर बल $F$ के प्रभाव में $S$ दूरी तय करने के बाद पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ और अंतिम वेग $v$ है।
गति के तीसरे समीकरण के अनुसार, $v^{2} - u^{2} = 2aS$, जहाँ $a$ त्वरण है।
इससे, दूरी $S$ को $S = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, लगाया गया बल $F = ma$ है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W$ को $W = F \times S$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कार्य के समीकरण में $F$ और $S$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$.
$a$ को निरस्त करके व्यंजक को सरल करने पर:
$W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$.
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ है, इसलिए व्यंजक $W = K_{final} - K_{initial} = \Delta K$ हो जाता है।
अतः, बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में हुए परिवर्तन के बराबर है।

(N/A) स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण होती है। यह एक अदिश राशि है क्योंकि इसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।
$(b)$ धनुष की तनी हुई डोरी स्थितिज ऊर्जा वाले पिंड का एक उदाहरण है,जो उसके विन्यास में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होती है।

(N/A) लाउडस्पीकर में,विद्युत ऊर्जा का ध्वनि ऊर्जा में रूपांतरण होता है।
$(b)$ सोलर बैटरी में,प्रकाश ऊर्जा का विद्युत ऊर्जा में रूपांतरण होता है।

(N/A) हाँ,विराम अवस्था में स्थित पिंड का संवेग शून्य होता है,अर्थात $p = 0$। हालाँकि,वह अपनी स्थिति या विन्यास के कारण स्थितिज ऊर्जा $(U)$ रख सकता है। इसलिए,उसकी कुल ऊर्जा $E = K + U = U$ शून्य नहीं होती है। उदाहरण के लिए,छत पर रखा पत्थर या घड़ी की चाबी भरी हुई स्प्रिंग।
$(b)$ नहीं,किसी पिंड के पास ऊर्जा के बिना संवेग नहीं हो सकता है। संवेग $(p = mv)$ का अर्थ है कि पिंड गति में है $(v \neq 0)$। यदि कोई पिंड गति में है,तो उसके पास गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ अवश्य होनी चाहिए। चूँकि गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का एक घटक है,इसलिए संवेग रखने वाले पिंड के पास ऊर्जा का होना अनिवार्य है।

(D) $(i)$ किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण निहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है। स्थितिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
$(ii)$ दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान $(m) = 50 \, kg$,ऊँचाई $(h) = 10 \, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \, m s^{-2}$।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = m \times g \times h$ है।
मान रखने पर: $PE = 50 \, kg \times 10 \, m s^{-2} \times 10 \, m = 5000 \, J$।
अतः,पिंड की स्थितिज ऊर्जा $5000 \, J$ है।

(N/A) धनुष को जितना अधिक मोड़ा या खींचा जाता है, उसमें उतनी ही अधिक प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(Elastic Potential Energy)$ संचित होती है। अर्जुन ने नकुल को धनुष को और अधिक खींचने के लिए कहा होगा ताकि उसमें अधिक प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा हो। जब तीर छोड़ा जाता है, तो यह ऊर्जा तीर की गतिज ऊर्जा $(Kinetic Energy)$ में परिवर्तित हो जाती है। परिणामस्वरूप, तीर अधिक तेजी से और अधिक दूरी तक गया होगा।
$(b)$ अर्जुन द्वारा अपनाए गए मूल्य ज्ञान, परोपकार और धैर्य हैं।

(A) माना कि दो वस्तुओं का द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है,जहाँ $m_2 > m_1$ है। माना कि उनका समान संवेग $p$ है।
गतिज ऊर्जा $K$,संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली वस्तु (हल्की) के लिए,$K_1 = \frac{p^2}{2m_1}$।
दूसरी वस्तु (भारी) के लिए,$K_2 = \frac{p^2}{2m_2}$।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ है।
चूंकि $m_2 > m_1$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $K_1 > K_2$।
अतः,हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होती है।

(N/A) स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण संचित होती है। जमीन से $h$ ऊँचाई पर स्थित किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को उस कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उसे जमीन से उस बिंदु तक गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध उठाने में किया जाता है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु को $h$ ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \text{बल} \times \text{विस्थापन} = (m \times g) \times h = mgh$
अतः, स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ होती है।
$(b)$ दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \, kg$
ऊँचाई $h = 6 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m s^{-2}$
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 6 = 588 \, J$.

(N/A) नहीं,वस्तु की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। जैसे-जैसे वस्तु नीचे गिरती है,जमीन से उसकी ऊँचाई कम होती जाती है,इसलिए उसकी स्थितिज ऊर्जा घटती है। साथ ही,उसका वेग और गतिज ऊर्जा बढ़ती है। स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बिल्कुल बराबर होती है। इस प्रकार,किसी भी समय पर स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग (यांत्रिक ऊर्जा) स्थिर रहता है।
$(b)$
$(i)$ स्थितिज ऊर्जा प्रारंभिक ऊँचाई $h$ पर अधिकतम होती है,जहाँ वस्तु स्थिर होती है।
$(ii)$ गतिज ऊर्जा जमीन के स्तर पर अधिकतम होती है,वस्तु के सतह से टकराने से ठीक पहले,क्योंकि इस बिंदु पर वेग सबसे अधिक होता है।

(N/A) आकाश में उड़ते हुए पक्षी में पृथ्वी की सतह के सापेक्ष ऊंचाई होने के कारण स्थितिज ऊर्जा होती है।
वह जिस वेग से हवा में उड़ रहा है,उसके कारण उसमें गतिज ऊर्जा भी होती है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का व्यंजक: $PE = mgh$,जहाँ $m$ पक्षी का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ जमीन से उसकी ऊंचाई है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का व्यंजक: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $m$ पक्षी का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।

(2:3) किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
$(b)$ दिया गया है कि द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ है और वेग $v_1 = v_2 = 108 \, km/h$ है।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि वेग दोनों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v^2}{\frac{1}{2}m_2v^2} = \frac{m_1}{m_2}$ होगा।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात $2:3$ है।

(N/A) गतिज ऊर्जा: किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहते हैं।
स्थितिज ऊर्जा: किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण निहित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा कहते हैं।
गतिज ऊर्जा का व्यंजक $KE = \frac{1}{2} mv^2$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $10 \, kg$
वेग $(v)$ = $10 \, m s^{-1}$
गणना:
$KE = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2$
$KE = 5 \times 100$
$KE = 500 \, J$
पत्थर की गतिज ऊर्जा $500 \, J$ है।

(D) $(i)$ मान लीजिए $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु घर्षणहीन सतह पर प्रारंभ में विराम अवस्था में है,अर्थात $u = 0$। मान लीजिए वस्तु पर एक नियत बल $F$ कार्य करता है,जिससे $a$ त्वरण उत्पन्न होता है। $S$ विस्थापन के बाद,वस्तु $v$ वेग प्राप्त कर लेती है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर,हमें $a = v^2 / (2S)$ प्राप्त होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times S$ है। चूँकि $F = ma$,इसलिए $W = (ma) \times S = m \times (v^2 / 2S) \times S = 1/2 mv^2$।
यह किया गया कार्य गतिज ऊर्जा $(KE)$ के रूप में संचित होता है। अतः,$KE = 1/2 mv^2$। गतिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
$(ii)$ दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,वेग $v = 5 \, m s^{-1}$।
$KE = 1/2 mv^2 = 1/2 \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(N/A) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m_1 = 750 \,kg$,वेग $v = 54 \,km \cdot h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m \cdot s^{-1} = 15 \,m \cdot s^{-1}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_1)$:
$KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^2 = 375 \times 225 = 84375 \,J$।
जब $50 \,kg$ द्रव्यमान का एक यात्री कार में बैठता है,तो नया कुल द्रव्यमान $m_2 = 750 \,kg + 50 \,kg = 800 \,kg$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_2)$:
$KE_2 = \frac{1}{2} m_2 v^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^2 = 400 \times 225 = 90000 \,J$।

(D) माना कि प्रत्येक पिंड का द्रव्यमान $m$ है।
पहले पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $K_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} \quad \dots(i)$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $K_{2} = \frac{1}{2}m(3v)^{2} = \frac{1}{2}m(9v^{2}) = \frac{9}{2}mv^{2} \quad \dots(ii)$ द्वारा दी जाती है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{\frac{9}{2}mv^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}} = \frac{9}{1}$.
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $9:1$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान,$m = 2 \, kg$,वेग,$v = 0.1 \, m s^{-1}$।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2$
$KE = 1 \times 0.01$
$KE = 0.01 \, J$।
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा $0.01 \, J$ है।

(B) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान,$m = 100 \, g = 0.1 \, kg$।
गतिज ऊर्जा,$KE = 20 \, J$।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = \frac{2 \times KE}{m}$।
मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2 \times 20}{0.1} = \frac{40}{0.1} = 400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$।

(B) गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वस्तु का वेग है।
$1$. यदि हम द्रव्यमान को दोगुना करते हैं $(m' = 2m)$,तो नई गतिज ऊर्जा $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है।
$2$. यदि हम वेग को दोगुना करते हैं $(v' = 2v)$,तो नई गतिज ऊर्जा $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ हो जाती है। इस प्रकार,गतिज ऊर्जा चार गुना बढ़ जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,द्रव्यमान को दोगुना करने की तुलना में वेग को दोगुना करने का गतिज ऊर्जा पर अधिक प्रभाव पड़ता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 120 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 25 \, m s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 40 \, m s^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कार्य $W$ उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 120 \times (40^2 - 25^2)$
$W = 60 \times (1600 - 625)$
$W = 60 \times 975$
$W = 58500 \, J$
अतः,किया गया कार्य $58500 \, J$ है।

(B) $10 \, m$ की ऊँचाई $h$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E = mgh$ है।
जमीन से टकराने के बाद,ऊर्जा में $40 \%$ की कमी आती है,जिसका अर्थ है कि गेंद अपनी प्रारंभिक ऊर्जा का $60 \%$ बनाए रखती है।
बची हुई ऊर्जा $= 0.60 \times mgh$.
जब गेंद नई ऊँचाई $h'$ तक वापस उछलती है,तो उस ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $mgh'$ होगी।
बची हुई ऊर्जा को नई स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $mgh' = 0.60 \times mgh$.
दोनों तरफ से $mg$ को हटाने पर,हमें $h' = 0.60 \times h$ प्राप्त होता है।
$h = 10 \, m$ रखने पर,हमें $h' = 0.60 \times 10 \, m = 6 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,गेंद $6 \, m$ की ऊँचाई तक वापस उछलेगी।

(N/A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,ऊंचाई $h = 20 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m s^{-2}$।
$1$. जमीन पर गतिज ऊर्जा $(KE)$:
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थित स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ जमीन पर पहुंचने पर गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$PE = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000 \, J$।
अतः,$KE = 2000 \, J$।
$2$. जमीन से टकराने से ठीक पहले की गति $(v)$:
सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2$ का उपयोग करने पर:
$2000 = \frac{1}{2} \times 10 \times v^2$
$2000 = 5 \times v^2$
$v^2 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$।

(N/A) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m_{c} = 750\, kg$,वेग $v = 54\, km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15\, m s^{-1}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_{i})$ = $\frac{1}{2} m_{c} v^{2} = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^{2} = 375 \times 225 = 84375\, J$.
जब $50\, kg$ द्रव्यमान का एक यात्री कार में बैठता है,तो नया कुल द्रव्यमान $M = 750 + 50 = 800\, kg$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_{f})$ = $\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^{2} = 400 \times 225 = 90000\, J$.