Mix Examples - WORK AND ENERGY Questions in Gujarati

(N/A) જ્યારે સાયકલ ચલાવવામાં આવે છે, ત્યારે સાયકલ સવારના શરીરમાં સંગ્રહિત રાસાયણિક ઉર્જા (સ્નાયુબદ્ધ ઉર્જા) સાયકલના પેડલ અને પૈડાંની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે।
જેમ સાયકલ આગળ વધે છે, તેમ આ ગતિ ઉર્જાનો ઉપયોગ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણ તેમજ હવાનો અવરોધ દૂર કરવા માટે થાય છે, જે અંતે ઉષ્મા ઉર્જા તરીકે મુક્ત થાય છે।
આમ, ઉર્જા રૂપાંતરણની સાંકળ આ મુજબ છે: $\text{રાસાયણિક ઉર્જા} \rightarrow \text{સ્નાયુબદ્ધ ઉર્જા} \rightarrow \text{ગતિ ઉર્જા} \rightarrow \text{ઉષ્મા ઉર્જા (ઘર્ષણને કારણે)}.$

(N/A) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે.
કાર્ય $W = F \times d$
અહીં,છોકરો સમગ્ર માર્ગ દરમિયાન $F = 5\, N$ ના અચળ ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ ગતિ કરે છે.
છોકરા દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર એ સીધા રસ્તા,વર્તુળાકાર માર્ગ અને અંતિમ સીધા રસ્તાના અંતરનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રારંભિક સીધા રસ્તાનું અંતર $= 1.5\, km = 1500\, m$.
$2$. વર્તુળાકાર માર્ગનું અંતર: છોકરો $r = 100\, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર $1.5$ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે. અંતર $= 1.5 \times (2 \pi r) = 1.5 \times 2 \times 3.14 \times 100 = 942\, m$.
$3$. અંતિમ સીધા રસ્તાનું અંતર $= 2.0\, km = 2000\, m$.
કુલ અંતર $d = 1500\, m + 942\, m + 2000\, m = 4442\, m$.
ઘર્ષણ બળ સમગ્ર માર્ગ પર લાગતું હોવાથી,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય કુલ કાપેલા અંતરનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
કાર્ય $W = 5\, N \times 4442\, m = 22210\, J$.

(NO) ના,જો કોઈ પદાર્થની યાંત્રિક ઉર્જા શૂન્ય હોય તો તેનું વેગમાન હોઈ શકે નહીં.
યાંત્રિક ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
જો યાંત્રિક ઉર્જા શૂન્ય હોય,તો $KE + PE = 0$ થાય.
ગતિ ઉર્જા $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી,અને કુલ સરવાળો શૂન્ય થવા માટે $KE$ અને $PE$ બંને શૂન્ય હોવા જોઈએ.
જો $KE = 0$ હોય,તો $\frac{1}{2}mv^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થનો વેગ $(v)$ શૂન્ય છે.
વેગમાન $(p)$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$,તેથી જો $v = 0$ હોય,તો વેગમાન $(p)$ પણ $0$ જ થાય.

(N/A) ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ: $v^{2} - u^{2} = 2as$
આના પરથી, સ્થાનાંતર $s$ ને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $s = \frac{v^{2} - u^{2}}{2a}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, લગાડવામાં આવેલ બળ: $F = ma$
બળ $F$ દ્વારા $s$ અંતર સુધી કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ ની વ્યાખ્યા: $W = F \times s$
$F$ અને $s$ ના સમીકરણો મૂકતા: $W = (ma) \times \left( \frac{v^{2} - u^{2}}{2a} \right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $W = \frac{1}{2}m(v^{2} - u^{2}) = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mu^{2}$
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $\frac{1}{2}mv^{2}$ હોવાથી, આપણને મળે છે: $W = (K.E.)_{f} - (K.E.)_{i}$
આમ, થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું છે.

(10 M/S) $m(A) = m(B) = 1000 \,kg$. કાર $(A)$ નો પ્રારંભિક વેગ $v = 36 \,km/h = 36 \times (5/18) \,m/s = 10 \,m/s$.
ઘર્ષણ બળ $F = 100 \,N$.
કારણ કે કાર $(A)$ અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી એન્જિને વિરોધી ઘર્ષણ બળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે.
પાવર $P = F \times v = 100 \,N \times 10 \,m/s = 1000 \,W$.
અથડામણ માટે,આપણે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
અહીં,$m_A = 1000 \,kg$,$u_A = 10 \,m/s$,$m_B = 1000 \,kg$,$u_B = 0 \,m/s$,અને $v_A = 0 \,m/s$ (કારણ કે કાર $(A)$ સ્થિર થઈ જાય છે).
$1000 \times 10 + 1000 \times 0 = 1000 \times 0 + 1000 \times v_B$
$10000 = 1000 \times v_B$
$v_B = 10 \,m/s$.

(A) ટ્રોલી પર થયેલું કાર્ય શોધવા માટે,આપણે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
આપેલ છે: કુલ દળ $m = 35 \, kg + 5 \, kg = 40 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$.
$W = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = 0 - \frac{1}{2} \times 40 \times (4)^2 = -20 \times 16 = -320 \, J$.
ટ્રોલી પર થયેલું કાર્ય $-320 \, J$ છે.
$(b)$ છોકરી ટ્રોલી પર બેઠેલી છે અને ટ્રોલીની સાપેક્ષ ગતિ બદલવા માટે કોઈ વધારાનું બળ લગાડતી નથી,તેથી છોકરી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $0 \, J$ છે.

(N/A) બોક્સને ઊંચકવા માટે લગાડવામાં આવેલું બળ તેના વજન જેટલું હોય છે: $F = m \times g = 250 \,kg \times 10 \,m \,s^{-2} = 2500 \,N$.
બોક્સને ઊંચકવામાં થયેલું કાર્ય $W = F \times s = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ છે.
$(b)$ બોક્સને પકડી રાખવામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે સ્થાનાંતર $s = 0$ છે.
$(c)$ તેઓ થાકી જાય છે કારણ કે બોક્સને પકડી રાખવા માટે,તેમના સ્નાયુઓએ સતત ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ બળ લગાડવું પડે છે,જેમાં આંતરિક સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્ન અને ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.

(N/A) $(i)$ રાસાયણિક ઉર્જા (Chemical energy)
$(ii)$ ઉષ્મા ઉર્જા (Heat energy)
$(iii)$ પ્રકાશ ઉર્જા (Light energy)
$(iv)$ વિદ્યુત ઉર્જા (Electrical energy)
$(v)$ ધ્વનિ ઉર્જા (Sound energy)
$(vi)$ સૌર ઉર્જા (Solar energy)

(D) જ્યારે દબાયેલી સ્પ્રિંગને એસિડમાં ઓગળવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ મુક્ત થાય છે.
જેમ જેમ સ્પ્રિંગના દ્રવ્યના રાસાયણિક બંધો તૂટે છે અને એસિડ સાથે પ્રતિક્રિયા આપે છે,તેમ આ સ્થિતિ ઉર્જા આસપાસના એસિડના અણુઓમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
આ ઉર્જા એસિડના અણુઓની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ માં વધારો કરે છે,જે દ્રાવણના તાપમાનમાં વધારા તરીકે જોવા મળે છે.

(N/A) કાર્ય કરવાના દરને પાવર (શક્તિ) કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.
$(b)$ સાદા લોલક માટે, ઉર્જાનું રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:

સ્થાન	સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$	ગતિ ઉર્જા $(KE)$
અંતિમ સ્થાન $1$	મહત્તમ	શૂન્ય
અંતિમ $1$ અને મધ્યસ્થ સ્થાનની વચ્ચે	ઘટે છે	વધે છે
મધ્યસ્થ સ્થાન	શૂન્ય	મહત્તમ
મધ્યસ્થ અને અંતિમ $2$ સ્થાનની વચ્ચે	વધે છે	ઘટે છે
અંતિમ સ્થાન $2$	મહત્તમ	શૂન્ય

જેમ લોલક દોલન કરે છે, તેમ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(PE + KE)$ અચળ રહે છે, જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે.

(N/A) કાર્ય $0 \, J$ છે. વર્તુળાકાર કક્ષામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ગતિની દિશા (સ્થાનાંતર) ને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે. બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 250 \, g = 0.25 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 2.5 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ (અથવા $10 \, m/s^2$).
પથ્થરને ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ (સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગે છે.
કાર્ય $W = -mgh = -(0.25 \, kg) \times (9.8 \, m/s^2) \times (2.5 \, m) = -6.125 \, J$ (જો $g = 10 \, m/s^2$ લેવામાં આવે તો $-6.25 \, J$).

(N/A) હા,આ શક્ય છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોય. પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે. સ્થાનાંતર હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે,એટલે કે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે. તેથી,થયેલું કાર્ય:
$W = F S \cos 90^{\circ} = 0$.
$(b)$ આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2 m K}$ છે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ ધરાવતા બે પદાર્થો માટે:
$p_{1} = \sqrt{2 m_{1} K}$
$p_{2} = \sqrt{2 m_{2} K}$
તેથી,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{2 m_{1} K}{2 m_{2} K}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$.

(N/A) જ્યારે ધનુષને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ધનુષમાં સંગ્રહિત આ સ્થિતિ ઉર્જા તીરની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તે આગળ વધે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
દળ $(m) = 50 \, kg$
ઊંચાઈ $(h) = 100 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \, m/s^2$
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE) = m \times g \times h$
$PE = 50 \times 10 \times 100$
$PE = 50,000 \, J$ અથવા $50 \, kJ$.

(N/A) કાર્ય કરવાના દરને પાવર કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.
$(b)$ પદાર્થ પર લગાડવામાં આવેલા બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરના ગુણાકારને કાર્ય કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$(c)$ પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જાને ગતિઊર્જા કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(100 W) કાર્ય: અચળ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એટલે બળની દિશામાં સ્થાનાંતર અને સ્થાનાંતરના મૂલ્યનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
ઊર્જા: પદાર્થની કાર્ય કરવાની ક્ષમતાને ઊર્જા કહેવાય છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
પાવર: કાર્ય કરવાના દરને પાવર કહેવાય છે. તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 80 \, kg$,પગથિયાની સંખ્યા $= 30$,દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ $= 12.5 \, cm = 0.125 \, m$,સમય $t = 30 \, s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m \, s^{-2}$.
કુલ ઊંચાઈ $h = 30 \times 0.125 \, m = 3.75 \, m$.
થયેલ કાર્ય $W = mgh = 80 \times 10 \times 3.75 = 3000 \, J$.
પાવર $P = W / t = 3000 / 30 = 100 \, W$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ: આ નિયમ મુજબ ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
ઉદાહરણ: કોઈપણ પદાર્થના મુક્ત પતન દરમિયાન,સ્થિતિ ઉર્જા ધીમે ધીમે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,પરંતુ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(b)$ $(i)$ છોકરી $A$ દ્વારા વપરાયેલ પાવર:
વજન $(mg) = 400 \, N$,ઊંચાઈ $(h) = 8 \, m$,સમય $(t) = 20 \, s$.
પાવર $(P) = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{20} = 160 \, W$.
$(ii)$ છોકરી $B$ દ્વારા વપરાયેલ પાવર:
વજન $(mg) = 400 \, N$,ઊંચાઈ $(h) = 8 \, m$,સમય $(t) = 50 \, s$.
પાવર $(P) = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{50} = 64 \, W$.
$(c)$ પાવર $(P) = 1500 \, W = 1.5 \, kW$,સમય $(t) = 10 \, h$.
વપરાયેલ ઉર્જા $= P \times t = 1.5 \, kW \times 10 \, h = 15 \, kWh$.

(A) પદાર્થ પર લાગતા બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એટલે બળનું મૂલ્ય અને બળની દિશામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર.
કાર્ય માટેનું સૂત્ર: $W = F \times s$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,$F$ એ બળ છે અને $s$ એ સ્થાનાંતર છે.
$(b)$ જો પદાર્થનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય,તો થયેલ કાર્ય શૂન્ય થાય છે. કારણ કે $W = F \times 0 = 0$.
$(c)$ ગતિઊર્જા એટલે પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જા. $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ માટેનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.

(N/A) ના,આ વિધાન ખોટું છે. કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (સૂર્યની દિશામાં) અને સ્થાનાંતર (વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શક દિશામાં) એકબીજાને લંબ છે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$. સૂત્ર $W = F S \cos \theta$ મુજબ,$\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = 0$ થાય છે.
$(b)$ કુલી બોક્સને પકડી રાખવા માટે બળ લગાડે છે પરંતુ બોક્સનું કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી $(S = 0)$,તેથી તેના દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
$(c)$ કુલ દળ $m = 70 \, kg + 10 \, kg = 80 \, kg$. બળ $F = m \times g = 80 \, kg \times 10 \, m s^{-2} = 800 \, N$. સ્થાનાંતર $S = 100 \, m$. થયેલું કાર્ય $W = F \times S = 800 \, N \times 100 \, m = 80,000 \, J$.

(C) સરેરાશ પાવર એટલે કુલ કરેલ કાર્ય અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
$(b)$ જ્યારે ફૂટબોલને કિક મારવામાં આવે છે,ત્યારે તે વક્ર માર્ગે ગતિ કરીને પાછો જમીન પર આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય માત્ર શિરોલંબ સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે. પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન (જમીન) હોવાથી,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h = 0$ છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = mgh = 0$ થાય.
$(c)$ રામ અને શ્યામ દ્વારા થયેલ કાર્ય સમાન છે કારણ કે બંનેનું દળ $(40 \, kg)$ સમાન છે અને બંને સમાન ઊંચાઈ $(3 \, m)$ સુધી ચઢે છે.
રામનો પાવર $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{10} = 117.6 \, W$.
શ્યામનો પાવર $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{12} = 98 \, W$.
$117.6 \, W > 98 \, W$ હોવાથી,રામનો પાવર શ્યામના પાવર કરતા વધારે છે.

(1:3) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે પદાર્થનું બળની દિશામાં થતું સ્થાનાંતર એટલે કાર્ય. કાર્યનું મૂલ્ય બે પરિબળો પર આધાર રાખે છે: $(1)$ લગાડેલા બળનું મૂલ્ય $(F)$ અને $(2)$ બળની દિશામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર $(s)$.
$(b)$ આપેલ છે: કારની ઝડપ $(v_1) = 30 \, m/s$,ટ્રકની ઝડપ $(v_2) = 30 \, m/s$. દળનો ગુણોત્તર $(m_1 : m_2) = 1 : 3$.
ગતિઊર્જા $(E_k) = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2} \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$
અહીં $v_1 = v_2$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(N/A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કરી શકાતું નથી કે તેનો વિનાશ કરી શકાતો નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આમ,અલગ કરેલી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(b)$ ઉર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને ઉર્જાનો વ્યાવસાયિક એકમ કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ છે.
$1 \, kWh = 1 \, kW \times 1 \, h$
$1 \, kWh = 1000 \, W \times 3600 \, s$
$1 \, kWh = 3,600,000 \, J = 3.6 \times 10^6 \, J$.
$(c)$ આપેલ છે: બળ $(F)$ = $7 \, N$,સ્થાનાંતર $(S)$ = $5 \, m$.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = $F \times S$
$W = 7 \, N \times 5 \, m = 35 \, J$.

(D) $(i)$ જ્યારે કોઈ વસ્તુને અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે અને પછી પરવલયાકાર માર્ગે પાછી જમીન પર આવે છે। ઉપર જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_{against} = mgh$ છે। નીચે પડતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{by} = mgh$ છે। પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એક જ સમક્ષિતિજ રેખા પર હોવાથી, શિરોલંબ દિશામાં કુલ સ્થાનાંતર $0$ છે। તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ છે।
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $m = 20 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m s^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 2 \, m s^{-1}$।
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।

(A) આપેલ છે: બળ $F = 100 \, N$,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $S_H = 5 \, m$,ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $S_V = 10 \, m$.
ધારો કે $W_1$ એ સમક્ષિતિજ ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય છે અને $W_2$ એ ઉર્ધ્વ ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય છે.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,બળ ઉર્ધ્વ છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$W_1 = F \cdot S_H \cdot \cos(90^{\circ}) = 100 \times 5 \times 0 = 0 \, J$.
ઉર્ધ્વ ગતિ માટે,બળ ઉર્ધ્વ છે અને સ્થાનાંતર પણ ઉર્ધ્વ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
$W_2 = F \cdot S_V \cdot \cos(0^{\circ}) = 100 \times 10 \times 1 = 1000 \, J$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 0 + 1000 = 1000 \, J$.
$(b)$ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અને વેગમાન $p = mv$ છે.
$p = mv$ પરથી,$v = \frac{p}{m}$ મળે છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{p^2}{2m}$.
આમ,સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.

(N/A) સરેરાશ પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો સરેરાશ દર. જો $t$ સમયમાં કુલ કાર્ય $W$ કરવામાં આવે,તો સરેરાશ પાવર $P_{av}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_{av} = \frac{W}{t}$
$4$ ઉપકરણો દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $= 4 \times 500 = 2000\, W = 2\, kW$
ઉપકરણો ચાલવાનો સમય $= 10$ કલાક
દરરોજ વપરાતી ઉર્જા $= 2\, kW \times 10\, h = 20\, kWh$
નવેમ્બર મહિનામાં ($30$ દિવસ) વપરાતી કુલ ઉર્જા $= 20\, kWh \times 30 = 600\, kWh$
$(b)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેની ગતિને કારણે તેમાં ગતિ ઉર્જા હોય છે. જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે,મુખ્યત્વે સપાટી સાથેના અથડામણને કારણે તે ધ્વનિ ઉર્જા અને ઉષ્મા ઉર્જામાં ફેરવાય છે.

(A) $(i)$ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(E)$ તેના વેગમાન $(p)$ સાથે $E = p^2 / 2m$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. જો વેગમાન સમાન હોય,તો $E \propto 1/m$ થાય.
તેથી,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા અને ભારે વસ્તુની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\text{light}}}{E_{\text{heavy}}} = \frac{m_{\text{heavy}}}{m_{\text{light}}}$ થાય.
અહીં $m_{\text{heavy}} > m_{\text{light}}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $1$ કરતા વધારે મળે છે. આમ,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હશે.
$(ii)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 10\, m$. ઊર્જામાં $40\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $60\%$ છે $(E_2 = 0.6 E_1)$.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્ર $E = mgh$ નો ઉપયોગ કરતા,$mgh_2 = 0.6 mgh_1$ મળે.
$h_2 = 0.6 \times h_1 = 0.6 \times 10\, m = 6\, m$.
આમ,દડો $6\, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળશે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા એ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે. તેના બે પ્રકારો ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા છે. ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી; તેનું માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરણ થઈ શકે છે. સાદું લોલક તેનું ઉદાહરણ છે: મધ્યમાન સ્થાને ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિ ઉર્જા હોય છે,જ્યારે અંતિમ સ્થાને તે સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે. જેમ લોલક દોલન કરે છે,તેમ ઉર્જા સતત ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચે બદલાતી રહે છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1000 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \, km \, h^{-1} = 72 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 20 \, m \, s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
કાર્ય = ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
કાર્ય = $\frac{1}{2} \times 1000 \times (0^2 - 20^2) = 500 \times (-400) = -200,000 \, J = -2 \times 10^5 \, J$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે કાર્ય કારની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવ્યું છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = m, m_2 = m, v_1 = 2v, v_2 = 3v$. આપણે $E_1 / E_2$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{(2v)^2}{(3v)^2} = \frac{4v^2}{9v^2} = \frac{4}{9}$.
$(b)$ કુલ ઊર્જા = ગતિઊર્જા $(KE)$ + સ્થિતિઊર્જા $(PE)$.
$h$ ઊંચાઈએ,કુલ ઊર્જા $mgh$ છે (કારણ કે $KE = 0$ અને $PE = mgh$).
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પતન દરમિયાન દરેક બિંદુએ કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
જમીન સુધી પહોંચવાના અડધા રસ્તે (ઊંચાઈ $h/2$),વેગ $v$ એ $v^2 - u^2 = 2g(h/2)$ દ્વારા મળે છે. અહીં $u = 0$ હોવાથી,$v^2 = gh$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mgh$.
$PE = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$.
કુલ ઊર્જા = $KE + PE = \frac{1}{2}mgh + \frac{1}{2}mgh = mgh$.

$(D)$ કાર્ય થવા માટેની બે શરતો છે: $(i)$ પદાર્થ પર બળ લાગવું જોઈએ, અને $(ii)$ પદાર્થનું બળની દિશામાં સ્થાનાંતર થવું જોઈએ.
$(b)$ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ હોય છે કારણ કે ઘર્ષણ બળ પદાર્થના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$(c)$ પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર. તેનો સંબંધ $P = W / t$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ પાવર છે, $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $t$ એ લીધેલો સમય છે.
$(d)$ આપેલ છે: કાર્ય $(W) = 1960 \, J$, સમય $(t) = 4 \, \text{મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \, s$.
સૂત્ર $P = W / t$ નો ઉપયોગ કરતા: $P = 1960 / 240 = 8.166... \approx 8.17 \, W$.

(N/A) ગતિઊર્જા $(KE)$ એ $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને સ્થિર અવસ્થા $(u=0)$ માંથી $v$ વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે. $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $s = v^2 / (2a)$ મળે છે. $F = ma$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times s = ma \times (v^2 / 2a) = 1/2 mv^2$. આમ,$KE = 1/2 mv^2$.
$(b)$ $KE \propto v^2$ હોવાથી,જો વેગ $5v$ થાય,તો નવી ગતિઊર્જા $KE' = 1/2 m(5v)^2 = 25 \times (1/2 mv^2) = 25 \times KE$. ગતિઊર્જા $25$ ગણી વધશે.
$(c)$ જમીન પર પડતા પદાર્થની ગતિઊર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(PE = mgh)$ જેટલી હોય છે. $h$ ઊંચાઈએ $m$ દળ માટે,$PE_1 = mgh$. $2h$ ઊંચાઈએ $2m$ દળ માટે,$PE_2 = (2m)g(2h) = 4mgh$. $PE_2 > PE_1$ હોવાથી,$2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા વધારે હશે.

(N/A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1500 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 72 \, km/h = 20 \, m/s$.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1500 \times (20^2 - 10^2) = 750 \times (400 - 100) = 750 \times 300 = 225,000 \, J$ અથવા $2.25 \times 10^5 \, J$.
અહીં વેગમાં વધારો થતો હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
$(c)$ દોલન કરતા લોલક પાસે તેની અંતિમ સ્થિતિઓ (extreme positions) પર મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ અને મધ્યમાન સ્થિતિ (mean position) પર મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ હોય છે.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 20 \,N$,સમય $t = 10 \,s$,દળ $m = 5 \,kg$,અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \,m/s$.
પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો: $a = F/m = 20/5 = 4 \,m/s^2$.
ત્યારબાદ,$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $10 \,s$ પછીનો અંતિમ વેગ $v$ શોધો: $v = 0 + (4 \times 10) = 40 \,m/s$.
અંતે,ગતિઊર્જા $KE$ શોધવા માટે $KE = 1/2 \times m \times v^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 4000 \,J$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \, kg$,બળ $F = 16 \, N$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 10 \, s$.
પગલું $1$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો.
$a = \frac{F}{m} = \frac{16 \, N}{4 \, kg} = 4 \, m/s^2$.
પગલું $2$: ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને અંતિમ વેગ $v$ શોધો.
$v = 0 + (4 \, m/s^2 \times 10 \, s) = 40 \, m/s$.
પગલું $3$: ગતિઊર્જા $KE$ ના સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.
$KE = \frac{1}{2} \times 4 \, kg \times (40 \, m/s)^2 = 2 \times 1600 = 3200 \, J$.

(A) છોકરાએ સીડી ચઢવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
છોકરા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$F = m \times g = 40 \, kg \times 9.8 \, m s^{-2} = 392 \, N$.
કાપેલું કુલ અંતર (ઊંચાઈ),$S = 50 \times 10 \, cm = 500 \, cm = 5 \, m$.
$(i)$ છોકરા દ્વારા થયેલું કાર્ય,$W = F \times S = 392 \, N \times 5 \, m = 1960 \, J$.
$(ii)$ ઉત્પન્ન થયેલ પાવર,$P = \frac{W}{t} = \frac{1960 \, J}{5 \, s} = 392 \, W$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 50 \, cm = 0.5 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$.
$(a)$ મુક્ત કરતા પહેલા સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ ની ગણતરી $PE = mgh = 10 \times 10 \times 0.5 = 50 \, J$ મુજબ થાય છે.
$(b)$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે. જમીનને સ્પર્શતા પહેલા,સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$KE = PE = 50 \, J$.
$(c)$ ગતિઊર્જાના સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,વેગ $v$ ને $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 50}{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \, m s^{-1}$ તરીકે શોધી શકાય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 5\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$,બળ $F = 20\, N$,સમય $t = 10\, s$.
પગલું $1$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગની ગણતરી કરો.
$a = F / m = 20 / 5 = 4\, m/s^2$.
પગલું $2$: ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને અંતિમ વેગ $v$ શોધો.
$v = 0 + (4 \times 10) = 40\, m/s$.
પગલું $3$: ગતિઊર્જા $KE$ ના સૂત્ર $KE = 1/2 mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.
$KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 5 \times 800 = 4000\, J$.

(A) દરેક બાળક દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = mgh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
અહીં $m = 20 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $h = 10 \, m$ આપેલ છે.
કાર્ય $= 20 \times 9.8 \times 10 = 1960 \, J$.
બંને બાળકો માટે $m$,$g$ અને $h$ સમાન હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન છે.
પાવર (શક્તિ) એટલે કાર્ય કરવાનો દર,$P = W / t$.
બાળક $A$ માટે: $P_A = 1960 / 10 = 196 \, W$.
બાળક $B$ માટે: $P_B = 1960 / 20 = 98 \, W$.
$196 \, W > 98 \, W$ હોવાથી,બાળક $A$ પાસે વધુ પાવર છે.

(D) દબાયેલી સ્પ્રિંગ તેની વિકૃત અવસ્થાને કારણે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને એસિડમાં ઓગળવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગને દબાયેલી સ્થિતિમાં જકડી રાખતા રાસાયણિક બંધો તૂટી જાય છે.
સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા મુક્ત થાય છે અને એસિડના અણુઓની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
અણુઓની ગતિ ઉર્જામાં આ વધારો એસિડના દ્રાવણના તાપમાનમાં વધારો કરે છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા અંતે ઉષ્મીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને ઉર્જાને કાર્ય કરવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કાર્ય અને ઉર્જા બંને એક જ $SI$ એકમમાં માપવામાં આવે છે,જે જૂલ $(J)$ છે.