Average Questions in Hindi

(D) $6$ सदस्यों की आयु का प्रारंभिक योग $6 \times 20 = 120$ वर्ष है।
नौकर को शामिल करने के बाद नई औसत आयु $20 + 20$ का $25\% = 20 + 5 = 25$ वर्ष हो जाती है।
अब परिवार में नौकर सहित कुल $6 + 1 = 7$ व्यक्ति हैं।
$7$ व्यक्तियों की आयु का कुल योग $7 \times 25 = 175$ वर्ष है।
माना कि नौकर की आयु $S$ है। अतः,$120 + S = 175$।
इसलिए,$S = 175 - 120 = 55$ वर्ष।

(B) $13$ वर्षों की कुल आय $= 13 \times 70 = 910$ लाख।
पहले $7$ वर्षों की कुल आय $= 7 \times 65 = 455$ लाख।
अंतिम $7$ वर्षों की कुल आय $= 7 \times 77 = 539$ लाख।
$7$वां वर्ष पहले $7$ वर्षों और अंतिम $7$ वर्षों दोनों में शामिल है।
अतः,$7$वें वर्ष की आय $= (455 + 539) - 910 = 994 - 910 = 84$ लाख।

(D) माना छात्रों की कुल संख्या $N$ है। सभी छात्रों की कुल ऊँचाई $T = aN$ है।
$10$ छात्रों की ऊँचाई का योग $10b$ है।
शेष छात्रों की संख्या $(N-10)$ है,और उनकी कुल ऊँचाई $(N-10)c$ है।
दोनों समूहों की ऊँचाई का योग कक्षा की कुल ऊँचाई के बराबर है:
$10b + (N-10)c = aN$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$10b + Nc - 10c = aN$
$N$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$10b - 10c = aN - Nc$
$10(b-c) = N(a-c)$
अतः,छात्रों की कुल संख्या है:
$N = \frac{10(b-c)}{a-c}$

(A) मान लीजिए कि सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार और शुक्रवार का तापमान क्रमशः $M, T, W, Th$ और $F$ है।
सोमवार,मंगलवार,बुधवार और गुरुवार का औसत तापमान $48^{\circ}$ है।
अतः,$(M + T + W + Th) / 4 = 48$,जिसका अर्थ है $M + T + W + Th = 48 \times 4 = 192$.
मंगलवार,बुधवार,गुरुवार और शुक्रवार का औसत तापमान $52^{\circ}$ है।
अतः,$(T + W + Th + F) / 4 = 52$,जिसका अर्थ है $T + W + Th + F = 52 \times 4 = 208$.
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(T + W + Th + F) - (M + T + W + Th) = 208 - 192$
$F - M = 16$.
दिया गया है कि सोमवार का तापमान $(M)$ $42^{\circ}$ है,अतः इस मान को रखने पर:
$F - 42 = 16$
$F = 16 + 42 = 58$.
अतः,शुक्रवार का तापमान $58^{\circ}$ था।

(B) कक्षा के कुल अंक $= 60 \times 65 = 3900$.
आधी कक्षा में छात्रों की संख्या $= 60 / 2 = 30$.
इन $30$ छात्रों के कुल अंक $= 30 \times 85 = 2550$.
शेष $30$ छात्रों के कुल अंक $= 3900 - 2550 = 1350$.
शेष छात्रों के औसत अंक $= 1350 / 30 = 45$.

(C) माना उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या $x$ है और अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या $(100 - x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,सभी उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $100 \times 30 = 3000$ हैं।
उत्तीर्ण उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $35x$ हैं।
अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $10(100 - x)$ हैं।
अतः,$35x + 10(100 - x) = 3000$.
$35x + 1000 - 10x = 3000$.
$25x = 2000$.
$x = \frac{2000}{25} = 80$.
इस प्रकार,परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले उम्मीदवारों की संख्या $80$ है।

(C) $25$ परिणामों का योग $25 \times 20 = 500$ है।
पहले $12$ परिणामों का योग $12 \times 15 = 180$ है।
अंतिम $12$ परिणामों का योग $12 \times 18 = 216$ है।
माना कि $13$ वाँ परिणाम $x$ है।
इसलिए,सभी $25$ परिणामों का योग इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (पहले $12$ का योग) + ($13$ वाँ परिणाम) + (अंतिम $12$ का योग) = $500$.
$180 + x + 216 = 500$.
$x + 396 = 500$.
$x = 500 - 396$.
$x = 104$.
अतः,$13$ वाँ परिणाम $104$ है।

(B) दिया गया है कि प्रेक्षणों की संख्या $n = 100$ और प्रारंभिक औसत = $35$ है।
प्रेक्षणों का योग = $100 \times 35 = 3500$ है।
चूंकि एक प्रेक्षण को $53$ के बजाय $83$ के रूप में गलत पढ़ा गया था,इसलिए हमें योग से गलत मान को घटाना होगा और सही मान को जोड़ना होगा।
सही योग = $3500 - 83 + 53 = 3500 - 30 = 3470$ है।
सही औसत = $\frac{\text{सही योग}}{n} = \frac{3470}{100} = 34.7$ है।

(A) $x$ और $y$ का औसत $\frac{x+y}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$y$ और $z$ का औसत $\frac{y+z}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,इन औसतों के बीच का अंतर $12$ है:
$\frac{x+y}{2} - \frac{y+z}{2} = 12$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$(x+y) - (y+z) = 12 \times 2$
$x + y - y - z = 24$
$x - z = 24$
अतः,$x$ और $z$ के बीच का अंतर $24$ है।

(D) मान लीजिए कि $13$ क्रमागत विषम पूर्णांक $x, x+2, x+4, \dots, x+24$ हैं।
पहले $7$ पूर्णांकों का औसत $37$ दिया गया है।
पहले $7$ पूर्णांक $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, x+12$ हैं।
इन $7$ पूर्णांकों का औसत उनका मध्य पद है, जो $4$ था पद है: $x+6 = 37$.
अतः, $x = 31$.
पूरी श्रृंखला $31$ से शुरू होने वाले $13$ क्रमागत विषम पूर्णांकों की है: $31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55$.
समांतर श्रेणी का औसत उसका मध्य पद होता है। $13$ पदों के लिए, मध्य पद $\frac{13+1}{2} = 7$ वां पद है।
$7$ वां पद $x + (7-1) \times 2 = 31 + 12 = 43$ है।
वैकल्पिक रूप से, $7$ वां पद $37 + (7-4) \times 2 = 37 + 6 = 43$ है।

(B) छात्रों की कुल संख्या = $35$ है।
प्रारंभिक औसत अंक = $35$ है।
शुरुआत में गणना किए गए कुल अंक = $35 \times 35 = 1225$ हैं।
चूंकि एक छात्र के अंक $35$ के बजाय गलती से $65$ दर्ज किए गए थे,इसलिए हमें गलत मान को घटाकर सही मान जोड़ना होगा।
सही कुल अंक = $1225 - 65 + 35 = 1195$ हैं।
सही औसत = $\frac{1195}{35} \approx 34.14$ है।

(B) माना कि तीन क्रमागत सम संख्याएँ $x$,$x+2$,और $x+4$ हैं।
इन संख्याओं का योग $S = x + (x+2) + (x+4) = 3x + 6$ है।
इन संख्याओं का औसत $A = \frac{3x+6}{3} = x+2$ है।
प्रश्न के अनुसार,योग औसत से $28$ अधिक है:
$S = A + 28$
$(3x+6) = (x+2) + 28$
$3x + 6 = x + 30$
$2x = 24$
$x = 12$.
अतः,सबसे छोटी संख्या $12$ है।

(C) माना $100$वीं पारी में बनाए गए रन $x$ हैं।
$99$ पारियों में बनाए गए कुल रन $= 99 \times 99 = 9801$।
$100$ पारियों में $100$ का औसत प्राप्त करने के लिए आवश्यक कुल रन $= 100 \times 100 = 10000$।
$100$वीं पारी में बनाए जाने वाले रन $= 10000 - 9801 = 199$।

(C) मान लीजिए कि क्रिकेटर द्वारा इस मैच से पहले लिए गए विकेटों की संख्या $w$ है।
इस मैच से पहले दिए गए कुल रन = $12.4w$।
वर्तमान मैच में,वह $22$ रन देकर $5$ विकेट लेता है।
मैच के बाद कुल विकेट = $w + 5$।
मैच के बाद कुल रन = $12.4w + 22$।
नया औसत = $12.4 - 0.4 = 12.0$ रन/विकेट।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{12.4w + 22}{w + 5} = 12.0$
$12.4w + 22 = 12(w + 5)$
$12.4w + 22 = 12w + 60$
$12.4w - 12w = 60 - 22$
$0.4w = 38$
$w = \frac{38}{0.4} = 95$।
अतः,इस मैच से पहले उसके द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या $95$ थी।

(D) $40$ पारियों के लिए खिलाड़ी का कुल स्कोर $= 50 \times 40 = 2000$ रन।
मान लीजिए उच्चतम स्कोर $H$ है और न्यूनतम स्कोर $L$ है। दिया गया है,$H - L = 172$।
शेष $38$ पारियों का कुल स्कोर $= 38 \times 48 = 1824$ रन।
उच्चतम और न्यूनतम स्कोर का योग $H + L = 2000 - 1824 = 176$ है।
अब,हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) H + L = 176$
$2) H - L = 172$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(H + L) + (H - L) = 176 + 172$
$2H = 348$
$H = 174$।
अतः,खिलाड़ी का उच्चतम स्कोर $174$ है।

(B) मान लीजिए कि पति,पत्नी और बच्चे की वर्तमान आयु क्रमशः $H$,$W$ और $C$ है।
$3 \text{ years}$ पहले पति,पत्नी और बच्चे की औसत आयु $27 \text{ years}$ थी।
उनकी आयु का योग $3 \text{ years}$ पहले $= 27 \times 3 = 81$ था।
उनकी वर्तमान आयु का योग $(H + W + C) = 81 + (3 \times 3) = 81 + 9 = 90$ होगा।
$5 \text{ years}$ पहले पत्नी और बच्चे की औसत आयु $20 \text{ years}$ थी।
उनकी आयु का योग $5 \text{ years}$ पहले $= 20 \times 2 = 40$ था।
उनकी वर्तमान आयु का योग $(W + C) = 40 + (5 \times 2) = 40 + 10 = 50$ होगा।
अब,कुल योग में से पत्नी और बच्चे की वर्तमान आयु का योग घटाने पर:
$H = (H + W + C) - (W + C) = 90 - 50 = 40$.
अतः,पति की वर्तमान आयु $40 \text{ years}$ है।

(C) माना कि शेष श्रमिकों की संख्या $x$ है।
सभी श्रमिकों का कुल वेतन तकनीशियनों और शेष श्रमिकों के वेतन का योग है।
औसत के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{औसत} = \frac{\text{कुल योग}}{\text{संख्या}}$.
$\frac{7 \times 15000 + x \times 9000}{7 + x} = 12000$
दोनों पक्षों को $(7 + x)$ से गुणा करने पर:
$105000 + 9000x = 12000(7 + x)$
$105000 + 9000x = 84000 + 12000x$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$105000 - 84000 = 12000x - 9000x$
$21000 = 3000x$
$x = \frac{21000}{3000} = 7$
श्रमिकों की कुल संख्या $7 + x = 7 + 7 = 14$ है।

(A) माना कि शेष सहयोगियों की संख्या $x$ है।
टीम का कुल वेतन वरिष्ठ सहयोगियों और शेष सहयोगियों के वेतन का योग है।
कुल वेतन $= (7 \times 24000) + (x \times 12000)$.
सभी सहयोगियों का औसत वेतन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{औसत} = \frac{\text{कुल वेतन}}{\text{सहयोगियों की कुल संख्या}}$.
दिया गया है,$16000 = \frac{(7 \times 24000) + (12000x)}{7 + x}$.
दोनों पक्षों को $(7 + x)$ से गुणा करने पर:
$16000(7 + x) = 168000 + 12000x$.
$112000 + 16000x = 168000 + 12000x$.
दोनों पक्षों से $12000x$ और $112000$ घटाने पर:
$4000x = 56000$.
$x = \frac{56000}{4000} = 14$.
सहयोगियों की कुल संख्या $= 7 + x = 7 + 14 = 21$.

(A) मान लीजिए कि तीनों दिनों में आगंतुकों की संख्या क्रमशः $2x, 5x,$ और $13x$ है।
आगंतुकों की कुल संख्या $= 2x + 5x + 13x = 20x$.
आगंतुकों से प्राप्त कुल राशि $= (15 \times 2x) + (7.50 \times 5x) + (2.50 \times 13x)$.
$= 30x + 37.5x + 32.5x = 100x$.
प्रति व्यक्ति औसत शुल्क $= \frac{\text{कुल राशि}}{\text{आगंतुकों की कुल संख्या}} = \frac{100x}{20x} = 5$.
अतः,प्रति व्यक्ति औसत शुल्क $Rs. 5$ है।

(C) माना सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार और शुक्रवार का तापमान क्रमशः $M, T, W, Th$ और $F$ है।
दिया गया है,$M, T, W, Th$ का औसत $60^{\circ}$ है।
तापमान का योग $(M + T + W + Th) = 60 \times 4 = 240^{\circ}$।
दिया गया है,$T, W, Th, F$ का औसत $63^{\circ}$ है।
तापमान का योग $(T + W + Th + F) = 63 \times 4 = 252^{\circ}$।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(T + W + Th + F) - (M + T + W + Th) = 252 - 240$
$F - M = 12^{\circ}$।
अनुपात $M : F = 21 : 25$ दिया गया है। माना $M = 21x$ और $F = 25x$ है।
इन मानों को अंतर के समीकरण में रखने पर:
$25x - 21x = 12$
$4x = 12$
$x = 3$।
अतः,शुक्रवार का तापमान $F = 25 \times 3 = 75^{\circ}$ होगा।

(B) $15$ थिएटरों के लिए कुल दैनिक उपस्थिति $= 600 \times 15 = 9000$ है।
चूंकि $6$ थिएटरों के बंद होने के बाद भी कुल उपस्थिति समान रहती है,इसलिए कुल उपस्थिति अभी भी $9000$ है।
शेष थिएटरों की संख्या $= 15 - 6 = 9$ है।
शेष थिएटरों में प्रति थिएटर नई औसत दैनिक उपस्थिति $= \frac{9000}{9} = 1000$ है।

(B) $5$ कंपनियों के लिए पिछले वर्ष के कुल गैर-कार्यकारी दिनों की गणना इस प्रकार की जाती है:
$3$ कंपनियों में प्रत्येक के $16$ गैर-कार्यकारी दिन थे: $3 \times 16 = 48$.
$2$ कंपनियों में $16$ से $5$ कम यानी $16 - 5 = 11$ गैर-कार्यकारी दिन थे: $2 \times 11 = 22$.
कुल गैर-कार्यकारी दिन $= 48 + 22 = 70$.
औसत गैर-कार्यकारी दिन $= \frac{\text{कुल दिन}}{\text{कुल कंपनियां}} = \frac{70}{5} = 14$.

(D) मान लीजिए कि चेन्नई का अधिकतम तापमान $x^{\circ}C$ है।
चार शहरों का औसत अधिकतम तापमान इस प्रकार है:
$\text{औसत} = \frac{\text{तापमान का योग}}{\text{शहरों की संख्या}}$
यह दिया गया है कि $4$ शहरों का औसत $35^{\circ}C$ है:
$35 = \frac{35 + 33 + 34 + x}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$140 = 35 + 33 + 34 + x$
ज्ञात तापमानों का योग करने पर:
$140 = 102 + x$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 140 - 102$
$x = 38^{\circ}C$
अतः,चेन्नई का अधिकतम तापमान $38^{\circ}C$ था।

(A) $2004$ में राज्यों $Q, S, T$ और $U$ से उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले दी गई तालिका से वर्ष $2004$ के मानों की पहचान करते हैं:
राज्य $Q = 240$
राज्य $S = 620$
राज्य $T = 840$
राज्य $U = 420$
अब,इन उम्मीदवारों का योग ज्ञात करें:
योग $= 240 + 620 + 840 + 420 = 2120$
चूंकि $4$ राज्य हैं,इसलिए औसत है:
औसत $= \frac{\text{योग}}{\text{राज्यों की संख्या}} = \frac{2120}{4} = 530$
अतः,उम्मीदवारों की औसत संख्या $530$ है।

(B) माना कि $15$ नाविकों का औसत वजन $A\, kg$ है।
$15$ नाविकों का कुल वजन $= 15A\, kg$ है।
जब $42\, kg$ वजन वाले एक व्यक्ति को $x\, kg$ वजन वाले एक नए व्यक्ति द्वारा बदल दिया जाता है,तो नया कुल वजन $(15A - 42 + x)\, kg$ हो जाता है।
नया औसत वजन $(A + 1.6)\, kg$ है।
इसलिए,नया कुल वजन $15(A + 1.6)\, kg$ है।
कुल वजन के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$15A - 42 + x = 15(A + 1.6)$
$15A - 42 + x = 15A + 24$
$x = 42 + 24$
$x = 66\, kg$.
अतः,नए व्यक्ति का वजन $66\, kg$ है।

(C) मान लीजिए कि पाँच क्रमागत पूर्णांक $x, x+1, x+2, x+3, x+4$ हैं।
इन पाँच पूर्णांकों का औसत $\frac{x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4)}{5} = \frac{5x + 10}{5} = x + 2$ है।
दिया गया है कि औसत $n$ है,इसलिए $n = x + 2$ है।
अब,यदि अगले दो पूर्णांकों ($x+5$ और $x+6$) को शामिल किया जाता है,तो पूर्णांकों की कुल संख्या $7$ हो जाती है।
इन सात पूर्णांकों का योग $(5x + 10) + (x+5) + (x+6) = 7x + 21$ है।
नया औसत $\frac{7x + 21}{7} = x + 3$ है।
चूंकि मूल औसत $n = x + 2$ था,इसलिए नए औसत $x + 3$ को $(x + 2) + 1 = n + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,औसत में $1$ की वृद्धि होती है।

(D) माना लड़कियों की संख्या $4x$ है और लड़कों की संख्या $5x$ है।
लड़कियों द्वारा प्राप्त कुल अंक $= 85 \times 4x = 340x$.
लड़कों द्वारा प्राप्त कुल अंक $= 87 \times 5x = 435x$.
छात्रों की कुल संख्या $= 4x + 5x = 9x$.
पूरी कक्षा के औसत अंक $= \frac{\text{लड़कियों के कुल अंक} + \text{लड़कों के कुल अंक}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}}$.
औसत $= \frac{340x + 435x}{9x} = \frac{775x}{9x} = \frac{775}{9}$.
औसत $\approx 86.11$.
अतः,पूरी कक्षा के औसत अंक $86.1$ के सबसे निकट हैं।

(B) मान लीजिए कि $4$ संख्याएँ $a, b, c, d$ हैं।
पहली तीन संख्याओं $(a, b, c)$ का औसत $16$ है,इसलिए:
$(a + b + c) / 3 = 16$
$a + b + c = 48$ --- (समीकरण $1$)
अंतिम तीन संख्याओं $(b, c, d)$ का औसत $15$ है,इसलिए:
$(b + c + d) / 3 = 15$
$b + c + d = 45$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(a + b + c) - (b + c + d) = 48 - 45$
$a - d = 3$
यह दिया गया है कि अंतिम संख्या $d = 20$ है,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a - 20 = 3$
$a = 23$
अतः,पहली संख्या $23$ है।

(D) माना कि एक पुस्तक का प्रारंभिक औसत मूल्य $Rs. x$ है।
$50$ पुस्तकों का कुल मूल्य $= 50x$.
यदि वह $Rs. 76$ और खर्च करता है,तो कुल मूल्य $(50x + 76)$ हो जाता है और पुस्तकों की कुल संख्या $(50 + 14) = 64$ हो जाती है।
नया औसत मूल्य $(x - 1)$ हो जाता है।
प्रश्न के अनुसार: $\frac{50x + 76}{64} = x - 1$.
$50x + 76 = 64(x - 1)$.
$50x + 76 = 64x - 64$.
$64x - 50x = 76 + 64$.
$14x = 140$.
$x = 10$.
अतः,उसके द्वारा शुरू में खरीदी गई प्रत्येक पुस्तक का औसत मूल्य $Rs. 10$ था।

(D) $A, B$ और $C$ के वजन का योग $3 \times 84 = 252 \, kg$ है।
जब $D$ शामिल होता है,तो $A, B, C$ और $D$ का कुल वजन $4 \times 80 = 320 \, kg$ होता है।
इसलिए,$D$ का वजन $= 320 - 252 = 68 \, kg$ है।
$E$ का वजन $= D + 3 = 68 + 3 = 71 \, kg$ है।
जब $E, A$ का स्थान लेता है,तो नया समूह $B, C, D$ और $E$ बनता है। उनके वजन का योग $4 \times 79 = 316 \, kg$ है।
अतः,$B + C + D + E = 316$ है।
$D$ और $E$ के मान रखने पर: $B + C + 68 + 71 = 316$ है।
$B + C + 139 = 316 \implies B + C = 316 - 139 = 177 \, kg$ है।
चूंकि $A + B + C = 252$ है,इसलिए $A + 177 = 252$ होगा।
अतः,$A = 252 - 177 = 75 \, kg$ है।

(A) भारित औसत का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{औसत} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$
दिए गए डेटा के अनुसार:
$\text{गुणनफलों का योग} = (8 \times 3) + (20 \times 2) + (26 \times m) + (29 \times 1) = 24 + 40 + 26m + 29 = 93 + 26m$
$\text{आवृत्तियों का योग} = 3 + 2 + m + 1 = 6 + m$
चूंकि औसत $17$ दिया गया है,इसलिए:
$17 = \frac{93 + 26m}{6 + m}$
दोनों पक्षों को $(6 + m)$ से गुणा करने पर:
$17(6 + m) = 93 + 26m$
$102 + 17m = 93 + 26m$
$m$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$102 - 93 = 26m - 17m$
$9 = 9m$
$m = 1$

(B) परिवार का कुल वार्षिक खर्च = $(4 \times 2570) + (3 \times 2490) + (5 \times 3030)$
= $10,280 + 7,470 + 15,150 = Rs.\, 32,900$
कुल वार्षिक आय = कुल वार्षिक खर्च + कुल वार्षिक बचत
= $32,900 + 5,320 = Rs.\, 38,220$
औसत मासिक आय = $\frac{\text{कुल वार्षिक आय}}{12}$
= $\frac{38,220}{12} = Rs.\, 3,185$

(C) एक वर्ष में व्यक्ति का कुल व्यय इस प्रकार है:
पहले $4$ महीनों के लिए व्यय $= 4 \times 1800 = Rs. 7200$.
अगले $8$ महीनों के लिए व्यय $= 8 \times 2000 = Rs. 16000$.
कुल वार्षिक व्यय $= 7200 + 16000 = Rs. 23200$.
कुल वार्षिक आय,कुल व्यय और वार्षिक बचत का योग है:
कुल वार्षिक आय $= 23200 + 5600 = Rs. 28800$.
औसत मासिक आय $= \frac{\text{कुल वार्षिक आय}}{12} = \frac{28800}{12} = Rs. 2400$.

(B) अंकगणितीय माध्य सभी अवलोकनों के योग को कुल अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
अवलोकनों का योग $= (1 \times 1) + (2 \times 2) + (3 \times 3) + (4 \times 4) + (5 \times 5) + (6 \times 6) + (7 \times 7)$
योग $= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140$
कुल अवलोकनों की संख्या $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$
अंकगणितीय माध्य $= \frac{140}{28} = 5$.

(D) छह संख्याओं का योग $6 \times 20 = 120$ है।
एक संख्या हटाने के बाद,पाँच संख्याएँ शेष रहती हैं।
इन पाँच संख्याओं का योग $5 \times 15 = 75$ है।
हटाई गई संख्या प्रारंभिक योग और नए योग के बीच का अंतर है।
हटाई गई संख्या $= 120 - 75 = 45$.

(D) मान लीजिए कि निश्चित खर्च $x$ है और प्रति छात्र परिवर्तनीय खर्च $y$ है।
$n$ छात्रों के लिए कुल खर्च $E = x + ny$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति छात्र औसत खर्च $A = \frac{E}{n} = \frac{x}{n} + y$ है।
$24$ छात्रों के लिए,$A = 615$,इसलिए $\frac{x}{24} + y = 615 \Rightarrow x + 24y = 14760$ ...$(1)$
$40$ छात्रों के लिए,$A = 465$,इसलिए $\frac{x}{40} + y = 465 \Rightarrow x + 40y = 18600$ ...$(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(x + 40y) - (x + 24y) = 18600 - 14760$
$16y = 3840 \Rightarrow y = 240$.
समीकरण $(1)$ में $y = 240$ रखने पर:
$x + 24(240) = 14760$
$x + 5760 = 14760 \Rightarrow x = 9000$.
$60$ छात्रों के लिए,औसत खर्च:
$A = \frac{x}{60} + y = \frac{9000}{60} + 240 = 150 + 240 = 390$.
अतः,औसत खर्च $Rs.\,390$ है।

(C) $40$ छात्रों के कुल अंक $= 40 \times 86 = 3440$ हैं।
जब $5$ उच्चतम अंकों को हटा दिया जाता है,तो छात्रों की संख्या $40 - 5 = 35$ हो जाती है।
नया औसत $86 - 1 = 85$ है।
शेष $35$ छात्रों के कुल अंक $= 35 \times 85 = 2975$ हैं।
शीर्ष $5$ छात्रों के कुल अंक $= 3440 - 2975 = 465$ हैं।
शीर्ष $5$ छात्रों का औसत $= \frac{465}{5} = 93$ है।

(A) माना $10$ संख्याओं का औसत $y$ है।
अतः,$10$ संख्याओं का योग $10y$ है।
जब एक संख्या के अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया औसत $y + 3.6$ हो जाता है।
इसलिए,$10$ संख्याओं का नया योग $10(y + 3.6) = 10y + 36$ है।
योग में हुई वृद्धि $(10y + 36) - 10y = 36$ है।
माना दो-अंकीय संख्या $10a + b$ है,जहाँ $a$ दहाई का अंक है और $b$ इकाई का अंक है।
अंकों को बदलने के बाद,नई संख्या $10b + a$ हो जाती है।
नई संख्या और मूल संख्या के बीच का अंतर $(10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9(b - a)$ है।
चूंकि कुल योग में वृद्धि $36$ है,इसलिए $9(b - a) = 36$ होगा।
दोनों पक्षों को $9$ से विभाजित करने पर,$b - a = 4$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $30$ शिक्षकों की आयु का प्रारंभिक योग $S$ है।
प्रारंभिक औसत आयु $\frac{S}{30}$ है।
जब $60$ $\text{वर्ष}$ की आयु के शिक्षक सेवानिवृत्त होते हैं और $30$ $\text{वर्ष}$ की आयु के नए शिक्षक नियुक्त किए जाते हैं,तो आयु का नया योग $S - 60 + 30 = S - 30$ हो जाता है।
शिक्षकों की संख्या $30$ ही रहती है।
नई औसत आयु $\frac{S - 30}{30} = \frac{S}{30} - 1$ होती है।
अतः,औसत आयु में $1$ $\text{वर्ष}$ की कमी आती है।

(A) $A, B$ और $C$ की औसत आयु $84 \text{ वर्ष}$ है,इसलिए $A + B + C = 84 \times 3 = 252$ ......$(1)$
जब $D$ जुड़ता है,तो $A, B, C$ और $D$ की औसत आयु $80 \text{ वर्ष}$ हो जाती है,इसलिए $A + B + C + D = 80 \times 4 = 320$ ......$(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,हमें $D = 320 - 252 = 68 \text{ वर्ष}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि $E$ की आयु $D$ से $4 \text{ वर्ष}$ अधिक है,इसलिए $E = 68 + 4 = 72 \text{ वर्ष}$।
जब $E$,$A$ का स्थान लेता है,तो $B, C, D$ और $E$ का नया औसत $78 \text{ वर्ष}$ हो जाता है,इसलिए $B + C + D + E = 78 \times 4 = 312$।
$D$ और $E$ के मान रखने पर,हमें $B + C + 68 + 72 = 312$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $B + C + 140 = 312$ हो जाता है,इसलिए $B + C = 172$ ......$(3)$
अंत में,$(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $A + 172 = 252$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = 252 - 172 = 80 \text{ वर्ष}$।

(C) औसत $= \frac{\text{संख्याओं का योग}}{\text{कुल संख्या}}$
दिया गया है,प्रारंभिक संख्याएँ $= 50$.
प्रारंभिक औसत $= 38$.
$50$ संख्याओं का योग $= 50 \times 38 = 1900$.
जब दो संख्याओं $45$ और $55$ को हटा दिया जाता है,तो शेष संख्याओं का नया योग:
योग $= 1900 - (45 + 55) = 1900 - 100 = 1800$.
शेष संख्याओं की संख्या $= 50 - 2 = 48$.
नया औसत $= \frac{1800}{48} = 37.5$.

(B) माना संस्थान में कर्मचारियों की कुल संख्या $Z$ है।
सभी कर्मचारियों का कुल वेतन औसत वेतन और कर्मचारियों की कुल संख्या का गुणनफल है: $60Z$।
$12$ अधिकारियों का कुल वेतन $12 \times 400 = 4800$ है।
शेष कर्मचारियों की संख्या $(Z - 12)$ है और उनका औसत वेतन $56$ है। अतः,शेष कर्मचारियों का कुल वेतन $56(Z - 12)$ होगा।
अधिकारियों और शेष कर्मचारियों के कुल वेतन का योग सभी कर्मचारियों के कुल वेतन के बराबर होना चाहिए:
$4800 + 56(Z - 12) = 60Z$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$4800 + 56Z - 672 = 60Z$
$4128 + 56Z = 60Z$
$60Z - 56Z = 4128$
$4Z = 4128$
$Z = \frac{4128}{4} = 1032$
अतः,संस्थान में कर्मचारियों की कुल संख्या $1032$ है।

(B) माना कि चार संख्याएँ $a, b, c,$ और $d$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहली तीन संख्याओं का औसत चौथी संख्या का दोगुना है:
$\frac{a+b+c}{3} = 2d$
$\Rightarrow a+b+c = 6d$ ....$(1)$
सभी चार संख्याओं का औसत $12$ है:
$\frac{a+b+c+d}{4} = 12$
$\Rightarrow a+b+c+d = 48$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ से $(a+b+c)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6d + d = 48$
$7d = 48$
$d = \frac{48}{7}$

(B) माना कि $6$ क्रमागत सम संख्याएँ $x, x+2, x+4, x+6, x+8,$ और $x+10$ हैं।
इन संख्याओं का औसत उनके योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$\text{औसत} = \frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) + (x+10)}{6} = 25$
अंश का सरलीकरण करने पर:
$\frac{6x + 30}{6} = 25$
$x + 5 = 25$
$x = 20$
सबसे छोटी संख्या $x = 20$ है और सबसे बड़ी संख्या $x + 10 = 30$ है।
सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या के बीच का अंतर $30 - 20 = 10$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक समांतर माध्य $\bar{x} = 24$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में एक अचर मान $k$ जोड़ा जाता है,तो नया माध्य $\bar{x} + k$ हो जाता है।
यहाँ,$k = 6$ है,इसलिए जोड़ने के बाद नया माध्य $24 + 6 = 30$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक अचर गुणक $m$ से गुणा किया जाता है,तो नया माध्य $\text{माध्य} \times m$ हो जाता है।
यहाँ,$m = 2.5$ है,इसलिए अंतिम माध्य $30 \times 2.5 = 75$ है।

(C) माना $12$ पारियों के बाद नया औसत $x$ रन है।
तो,$11$ पारियों के बाद औसत $(x - 5)$ रन था।
$11$ पारियों में बनाए गए कुल रन $= 11(x - 5)$.
$12$वीं पारी में,वह $120$ रन बनाता है,इसलिए $12$ पारियों के बाद कुल रन $= 11(x - 5) + 120$.
प्रश्न के अनुसार,$12$ पारियों के बाद औसत $x$ है,इसलिए कुल रन $= 12x$.
कुल रनों के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$11(x - 5) + 120 = 12x$
$11x - 55 + 120 = 12x$
$11x + 65 = 12x$
$x = 65$.
अतः,उसका नया औसत $65$ रन है।

(D) $11$ परिणामों का योग $= 11 \times 50 = 550$ है।
पहले $6$ परिणामों का योग $= 6 \times 49 = 294$ है।
अंतिम $6$ परिणामों का योग $= 6 \times 52 = 312$ है।
जब हम पहले $6$ और अंतिम $6$ परिणामों का योग जोड़ते हैं,तो छठा परिणाम दो बार गिना जाता है।
अतः,छठा परिणाम $= (294 + 312) - 550 = 606 - 550 = 56$ है।

(B) समूह $A$ का कुल वजन $42 \times 25 = 1050 \, kg$ है।
समूह $B$ का कुल वजन $28 \times 40 = 1120 \, kg$ है।
कक्षा में छात्रों की कुल संख्या $42 + 28 = 70$ है।
पूरी कक्षा का औसत वजन कुल वजन के योग को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{औसत वजन} = \frac{1050 + 1120}{70} = \frac{2170}{70} = 31 \, kg$.

(C) माना कि पुरुष कर्मचारियों की संख्या $x$ है और महिला कर्मचारियों की संख्या $y$ है।
सभी कर्मचारियों का कुल वेतन,पुरुष कर्मचारियों के कुल वेतन और महिला कर्मचारियों के कुल वेतन के योग के बराबर है।
प्रश्न के अनुसार:
$(x + y) \times 12,000 = (x \times 15,000) + (y \times 8,000)$
दोनों पक्षों को $1,000$ से विभाजित करने पर:
$(x + y) \times 12 = 15x + 8y$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$12x + 12y = 15x + 8y$
अनुपात $x/y$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$12y - 8y = 15x - 12x$
$4y = 3x$
अतः,पुरुष कर्मचारियों और महिला कर्मचारियों का अनुपात:
$\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$ यानी $4:3$ है।

(D) माना छात्रों की संख्या $n = 11$ है (कथन $I$ से)।
माना छात्रों की औसत आयु $A_s$ है और शिक्षक की आयु $T$ है।
कथन $II$ से,$11$ छात्रों और शिक्षक की औसत आयु $14$ वर्ष है:
$\frac{11 \times A_s + T}{12} = 14 \implies 11A_s + T = 168$ (समीकरण $1$)।
कथन $III$ से,शिक्षक और छात्रों की औसत आयु,छात्रों की औसत आयु से $3$ वर्ष अधिक है:
$\frac{11A_s + T}{12} = A_s + 3$।
चूंकि कथन $II$ से $\frac{11A_s + T}{12} = 14$ है,इसलिए $14 = A_s + 3$,जिससे $A_s = 11$ वर्ष प्राप्त होता है।
$A_s = 11$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$11(11) + T = 168$
$121 + T = 168$
$T = 168 - 121 = 47$ वर्ष।
अतः,शिक्षक की आयु ज्ञात करने के लिए तीनों कथन $I, II$ और $III$ आवश्यक हैं।