Average Questions in Hindi

(C) $12$ महीनों में कुल खर्च की गणना इस प्रकार की जाती है:
कुल खर्च $= (269.47 \times 7) + (281.05 \times 5)$
कुल खर्च $= 1886.29 + 1405.25 = 3291.54 \text{ Rs.}$
कुल आय,कुल खर्च और कुल बचत का योग है:
कुल आय $= 3291.54 + 308.46 = 3600.00 \text{ Rs.}$
मासिक वेतन,कुल वार्षिक आय को $12$ महीनों से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
मासिक वेतन $= 3600 / 12 = 300 \text{ Rs.}$

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x$ छोटी संख्या है।
दिया गया है कि दो संख्याओं का औसत $62$ है,इसलिए:
$\frac{x+y}{2} = 62 \Rightarrow x+y = 124$ --- (समीकरण $1$)
प्रश्न के अनुसार,यदि छोटी संख्या $x$ में $2$ जोड़ा जाता है,तो अनुपात $1:2$ हो जाता है:
$\frac{x+2}{y} = \frac{1}{2}$
$2(x+2) = y$
$y = 2x + 4$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $y$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$x + (2x + 4) = 124$
$3x + 4 = 124$
$3x = 120$
$x = 40$
अतः,छोटी संख्या $40$ है।

(A) प्रति पेड़ औसत उपज की गणना कुल नारियल की संख्या को कुल पेड़ों की संख्या से विभाजित करके की जाती है।
कुल नारियल की संख्या = $(x+2) \times 60 + x \times 120 + (x-2) \times 180$
कुल पेड़ों की संख्या = $(x+2) + x + (x-2) = 3x$
दिया गया है कि औसत उपज $100$ है,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$\frac{(x+2) \times 60 + x \times 120 + (x-2) \times 180}{3x} = 100$
अंश का विस्तार करने पर:
$(60x + 120) + 120x + (180x - 360) = 100 \times 3x$
$360x - 240 = 300x$
$360x - 300x = 240$
$60x = 240$
$x = 4$

(D) माना कि $4^{th} \, \text{दिन}$ का तापमान $x^{\circ} \text{C}$ है。
पहले $4 \, \text{दिनों}$ के तापमान का योग $= 4 \times 38.6 = 154.4^{\circ} \text{C}$ है。
अंतिम $4 \, \text{दिनों}$ के तापमान का योग $= 4 \times 40.3 = 161.2^{\circ} \text{C}$ है。
पूरे सप्ताह $(7 \, \text{दिनों})$ के तापमान का योग $= 7 \times 39.1 = 273.7^{\circ} \text{C}$ है。
चूंकि $4^{th} \, \text{दिन}$ पहले $4 \, \text{दिनों}$ और अंतिम $4 \, \text{दिनों}$ दोनों में गिना जाता है, इसलिए:
$(154.4 + 161.2) - x = 273.7$
$315.6 - x = 273.7$
$x = 315.6 - 273.7 = 41.9^{\circ} \text{C}$ है。
अतः, $4^{th} \, \text{दिन}$ का तापमान $41.9^{\circ} \text{C}$ है।

(C) माना $C$ की दैनिक मजदूरी $x$ है।
तब,$A$ की दैनिक मजदूरी $= 2x$ होगी।
और,$B$ की दैनिक मजदूरी $= x + 40$ होगी।
$A, B$ और $C$ की औसत दैनिक मजदूरी $\frac{A + B + C}{3} = 120$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2x + (x + 40) + x}{3} = 120$.
$\frac{4x + 40}{3} = 120$.
$4x + 40 = 360$.
$4x = 320$.
$x = 80$.
अतः,$A$ की दैनिक मजदूरी $= 2x = 2 \times 80 = Rs. 160$ है।

(C) माना कि यात्रा की कुल दूरी $x \, km$ है।
$40 \, km/h$ की गति पर लगा समय $t_1 = \frac{x}{40} \, \text{hours}$ है।
$35 \, km/h$ की गति पर लगा समय $t_2 = \frac{x}{35} \, \text{hours}$ है।
समय का अंतर $15 \, \text{minutes}$ है,जो $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, \text{hours}$ के बराबर है।
प्रश्न के अनुसार: $\frac{x}{35} - \frac{x}{40} = \frac{1}{4}$.
हर का ल.स.प. लेने पर: $\frac{40x - 35x}{35 \times 40} = \frac{1}{4}$.
$\frac{5x}{1400} = \frac{1}{4}$.
$x = \frac{1400}{5 \times 4} = \frac{1400}{20} = 70 \, km$.
अतः,कुल यात्रा $70 \, km$ है।

(C) माना कि उम्मीदवारों की कुल संख्या $x$ है।
प्रारंभ में,सभी उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक $= 45x$ हैं।
जब $90$ उम्मीदवारों के अंकों को $80$ से बदलकर $50$ किया गया,तो प्रत्येक उम्मीदवार के अंकों में कमी $80 - 50 = 30$ हुई।
$90$ उम्मीदवारों के लिए कुल कमी $= 90 \times 30 = 2700$ है।
नए कुल अंक $= 45x - 2700$ हैं।
नया औसत $40$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{45x - 2700}{x} = 40$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $45x - 2700 = 40x$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$45x - 40x = 2700$ है।
$5x = 2700$ है।
$x = \frac{2700}{5} = 540$ है।
अतः,उम्मीदवारों की कुल संख्या $540$ है।

(B) मान लीजिए कि पहले,दूसरे और तीसरे दिन आगंतुकों की संख्या क्रमशः $2x, 5x$ और $13x$ है।
आगंतुकों की कुल संख्या $= 2x + 5x + 13x = 20x$.
एकत्रित की गई कुल राशि $= (2x \times 15) + (5x \times 7.50) + (13x \times 2.50)$.
कुल राशि $= 30x + 37.5x + 32.5x = 100x$.
प्रति आगंतुक औसत शुल्क $= \frac{\text{कुल राशि}}{\text{कुल आगंतुक}} = \frac{100x}{20x} = 5$.
अतः,प्रति आगंतुक औसत शुल्क $Rs. 5$ है।

(D) $30$ दिनों के लिए कुल लाभ $= 30 \times 350 = Rs. 10500$.
पहले $15$ दिनों के लिए लाभ $= 15 \times 275 = Rs. 4125$.
अंतिम $15$ दिनों के लिए लाभ $= 10500 - 4125 = Rs. 6375$.
अतः,अंतिम $15$ दिनों के लिए औसत लाभ $= \frac{6375}{15} = Rs. 425$.

(A) माना कि अंतिम मैच से पहले लिए गए विकेटों की संख्या $x$ है।
अंतिम मैच से पहले दिए गए कुल रन $= 12.4x$ हैं।
अंतिम मैच में,उसने $26$ रन देकर $5$ विकेट लिए।
अंतिम मैच के बाद कुल विकेट $= x + 5$ हैं।
अंतिम मैच के बाद कुल रन $= 12.4x + 26$ हैं।
नया औसत $12.4 - 0.4 = 12.0$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया औसत $\frac{12.4x + 26}{x + 5} = 12$ है।
दोनों पक्षों को $(x + 5)$ से गुणा करने पर,हमें $12.4x + 26 = 12(x + 5)$ प्राप्त होता है।
$12.4x + 26 = 12x + 60$.
$12.4x - 12x = 60 - 26$.
$0.4x = 34$.
$x = \frac{34}{0.4} = \frac{340}{4} = 85$.
अतः,अंतिम मैच से पहले लिए गए विकेटों की संख्या $85$ है।

(A) माना कि तीन संख्याएँ $x, y,$ और $z$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$x = 2y$ और $x = \frac{1}{2}z$,जिसका अर्थ है कि $z = 2x = 2(2y) = 4y$।
अतः,संख्याएँ $2y, y,$ और $4y$ हैं।
तीनों संख्याओं का औसत $56$ दिया गया है।
$\frac{2y + y + 4y}{3} = 56$
$\frac{7y}{3} = 56$
$7y = 56 \times 3$
$y = \frac{168}{7} = 24$।
अब,संख्याओं की गणना करने पर:
पहली संख्या $= 2y = 2 \times 24 = 48$।
दूसरी संख्या $= y = 24$।
तीसरी संख्या $= 4y = 4 \times 24 = 96$।
इस प्रकार,क्रम में संख्याएँ $48, 24, 96$ हैं।

(B) माना कि प्रारंभिक औसत खर्च $Rs. x$ है।
अतः,प्रारंभिक कुल खर्च $= 35x$ है।
जब $7$ और छात्र शामिल होते हैं,तो छात्रों की कुल संख्या $35 + 7 = 42$ हो जाती है।
नया कुल खर्च $35x + 42$ हो जाता है।
नया औसत खर्च $\frac{35x + 42}{42}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया औसत $x - 1$ है।
इसलिए,$\frac{35x + 42}{42} = x - 1$.
$35x + 42 = 42(x - 1)$.
$35x + 42 = 42x - 42$.
$42x - 35x = 42 + 42$.
$7x = 84$.
$x = 12$.
मेस का वास्तविक (प्रारंभिक) खर्च $= 35 \times 12 = Rs. 420$.

(A) $50$ संख्याओं का कुल योग $50 \times 38 = 1900$ है।
जब दो संख्याओं,$45$ और $55$ को हटा दिया जाता है,तो शेष $48$ संख्याओं का योग $1900 - (45 + 55) = 1900 - 100 = 1800$ होता है।
शेष $48$ संख्याओं का औसत $\frac{1800}{48} = 37.5$ है।

(D) मान लीजिए कि $11$ लड़कों का प्रारंभिक औसत वजन $A \,kg$ है।
टीम का कुल वजन $= 11A \,kg$ है।
जब $42 \,kg$ वजन वाले खिलाड़ी को $W \,kg$ वजन वाले नए खिलाड़ी से बदल दिया जाता है,तो नया कुल वजन $(11A - 42 + W) \,kg$ हो जाता है।
नया औसत वजन $(A + 0.1) \,kg$ है (क्योंकि $100 \,g = 0.1 \,kg$)।
इसलिए,नया कुल वजन $11(A + 0.1) \,kg$ है।
नए कुल वजन के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$11A - 42 + W = 11A + 1.1$
$W - 42 = 1.1$
$W = 42 + 1.1 = 43.1 \,kg$.
अतः,नए खिलाड़ी का वजन $43.1 \,kg$ है।

(C) माना कि तीन क्रमागत संख्याएँ $n-1, n,$ और $n+1$ हैं। उनका औसत $\frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = \frac{3n}{3} = n$ है।
अगली दो क्रमागत संख्याएँ $n+2$ और $n+3$ हैं।
अब,इन पाँचों संख्याओं का योग $(n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 5n + 5$ है।
पाँचों संख्याओं का नया औसत $\frac{5n + 5}{5} = n + 1$ है।
अतः,औसत में $(n + 1) - n = 1$ की वृद्धि होती है।

(D) $20$ कर्मचारियों का कुल मासिक वेतन $= 20 \times 1900 = Rs. 38000$।
$21$ व्यक्तियों का कुल मासिक वेतन (प्रबंधक सहित) $= 21 \times 2000 = Rs. 42000$।
प्रबंधक का मासिक वेतन $= 42000 - 38000 = Rs. 4000$।
प्रबंधक का वार्षिक वेतन $= 4000 \times 12 = Rs. 48000$।

(D) माना लड़कों की संख्या $x$ है और लड़कियों की संख्या $y$ है।
लड़कों की आयु का योग $= 16.4x$ है।
लड़कियों की आयु का योग $= 15.4y$ है।
सभी छात्रों की औसत आयु कुल आयु के योग को कुल छात्रों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$\frac{16.4x + 15.4y}{x + y} = 15.8$.
दोनों पक्षों को $(x + y)$ से गुणा करने पर:
$16.4x + 15.4y = 15.8(x + y)$.
$16.4x + 15.4y = 15.8x + 15.8y$.
$x$ और $y$ वाले पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$16.4x - 15.8x = 15.8y - 15.4y$.
$0.6x = 0.4y$.
अतः, लड़कों और लड़कियों का अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$ है।
इस प्रकार, अनुपात $2:3$ है।

(A) पहले पाँच महीनों का कुल व्यय $= 5 \times 3600 = Rs.\, 18000$.
अगले सात महीनों का कुल व्यय $= 7 \times 3900 = Rs.\, 27300$.
बचत $= Rs.\, 8700$.
वर्ष के दौरान कुल आय $= 18000 + 27300 + 8700 = Rs.\, 54000$.
$\therefore$ प्रति माह औसत आय $= \frac{54000}{12} = Rs.\, 4500$.

(C) माना तीन संख्याएँ $x, y,$ और $z$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,दूसरी संख्या $y$ पहली संख्या $x$ की दोगुनी है,इसलिए $y = 2x$ है।
दूसरी संख्या $y$ तीसरी संख्या $z$ की तीन गुनी भी है,इसलिए $y = 3z$,जिसका अर्थ है $z = y/3 = 2x/3$ है।
तीनों संख्याएँ $x, 2x,$ और $2x/3$ हैं।
इन तीन संख्याओं का औसत $44$ दिया गया है,इसलिए:
$(x + 2x + 2x/3) / 3 = 44$
$(3x + 2x/3) / 3 = 44$
$(9x + 2x) / 9 = 44$
$11x / 9 = 44$
$x = (44 \times 9) / 11 = 36$ है।
संख्याएँ $x = 36$,$y = 2(36) = 72$,और $z = 72/3 = 24$ हैं।
$36, 72,$ और $24$ में सबसे बड़ी संख्या $72$ है।

(B) समिति की प्रारंभिक कुल आयु = $8 \times 40 = 320 \text{ वर्ष}$।
जब $55 \text{ वर्ष}$ की आयु का सदस्य सेवानिवृत्त होता है और उसके स्थान पर $39 \text{ वर्ष}$ की आयु का सदस्य आता है,तो कुल आयु में परिवर्तन = $39 - 55 = -16 \text{ वर्ष}$।
समिति की नई कुल आयु = $320 - 16 = 304 \text{ वर्ष}$।
नई औसत आयु = $\frac{304}{8} = 38 \text{ वर्ष}$।

(D) $100$ और $200$ के बीच $13$ से विभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए,हम पहले और अंतिम गुणज की पहचान करते हैं।
$100$ से बड़ी $13$ की पहली गुणज संख्या $13 \times 8 = 104$ है।
$200$ से छोटी $13$ की अंतिम गुणज संख्या $13 \times 15 = 195$ है।
चूंकि ये संख्याएं एक समांतर श्रेणी बनाती हैं,इसलिए औसत की गणना पहली और अंतिम संख्या के योग को $2$ से विभाजित करके की जाती है।
औसत $= \frac{104 + 195}{2} = \frac{299}{2} = 149.5$.

(D) $7$ के प्रथम $7$ गुणज हैं: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$।
चूंकि ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जिसका सार्व अंतर $7$ है, इसलिए औसत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $\text{औसत} = \frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2}$।
यहाँ, प्रथम पद $7$ है और अंतिम पद ($7$वाँ गुणज) $7 \times 7 = 49$ है।
अतः, $\text{औसत} = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$।

(B) माना कि तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $x$,$x+2$,और $x+4$ हैं।
इन संख्याओं का औसत $\frac{x + (x+2) + (x+4)}{3} = \frac{3x+6}{3} = x+2$ है।
प्रश्न के अनुसार,औसत सबसे बड़ी संख्या $(x+4)$ के $\frac{1}{3}$ से $52$ अधिक है:
$x+2 = \frac{1}{3}(x+4) + 52$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(x+2) = (x+4) + 52 \times 3$
$3x + 6 = x + 4 + 156$
$3x + 6 = x + 160$
$2x = 154$
$x = 77$
अतः,सबसे छोटी संख्या $77$ है।

(A) $n$ क्रमागत विषम संख्याओं के किसी भी समूह के लिए,औसत मध्य पद के बराबर होता है।
चूंकि $41$ क्रमागत विषम संख्याएँ हैं,इसलिए औसत $21$ वाँ पद है।
यह दिया गया है कि औसत $49$ है,अतः $21$ वाँ पद $49$ है।
सबसे बड़ी संख्या ($41$ वाँ पद) ज्ञात करने के लिए,हमें मध्य पद में $20$ अंतराल जोड़ने होंगे,जहाँ प्रत्येक अंतराल $2$ का है।
$\text{सबसे बड़ी संख्या} = 49 + (41 - 1) = 49 + 40 = 89$.

(D) माना छात्रों की संख्या $n = 50$ है।
प्रारंभिक औसत $= 65$.
अंकों का प्रारंभिक योग $= n \times \text{औसत} = 50 \times 65 = 3250$.
अंक $38$ के बजाय गलती से $83$ दर्ज किए गए थे, इसलिए त्रुटि $83 - 38 = 45$ है।
अंकों का सही योग $= 3250 - 45 = 3205$.
सही औसत $= \frac{\text{सही योग}}{\text{छात्रों की संख्या}} = \frac{3205}{50} = 64.1$.

(D) मान लीजिए कि $16$वें मैच तक बल्लेबाज का औसत स्कोर $x$ है।
$16$ मैचों में बनाए गए कुल रन = $16x$।
$17$वें मैच में $98$ रन बनाने के बाद,नए कुल रन = $16x + 98$।
$17$ मैचों के बाद नया औसत = $\frac{16x + 98}{17}$।
प्रश्न के अनुसार,नया औसत $x + 2.5$ है।
अतः,$\frac{16x + 98}{17} = x + 2.5$।
दोनों पक्षों को $17$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $16x + 98 = 17(x + 2.5)$।
$16x + 98 = 17x + 42.5$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x = 98 - 42.5$।
$x = 55.5$।
अतः,$17$वें मैच से पहले उसका औसत $55.5$ था।

(A) मान लीजिए कि $20$ मैचों तक औसत स्कोर $x$ है।
$20$ मैचों में बनाए गए कुल रन $20x$ हैं।
$21$वें मैच में वह $87$ रन बनाता है,इसलिए $21$ मैचों के बाद कुल रन $20x + 87$ हैं।
$21$ मैचों के बाद नया औसत $x + 2$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{20x + 87}{21} = x + 2$
दोनों पक्षों को $21$ से गुणा करने पर:
$20x + 87 = 21(x + 2)$
$20x + 87 = 21x + 42$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$87 - 42 = 21x - 20x$
$x = 45$
अतः,$21$वें मैच से पहले उसका औसत $45$ था।

(D) $3$ संख्याओं का योग $= 22 \times 3 = 66$ है।
माना दूसरी और तीसरी संख्या का योग $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहली संख्या $\frac{3}{8}x$ है।
अतः,तीनों संख्याओं का योग $\frac{3}{8}x + x = 66$ होगा।
$8$ से गुणा करने पर,$3x + 8x = 66 \times 8$ प्राप्त होता है।
$11x = 528$.
$x = \frac{528}{11} = 48$.
इसलिए,पहली संख्या $\frac{3}{8} \times 48 = 18$ है।

(B) माना टीम का वास्तविक कुल स्कोर $x$ है।
जब सर्वश्रेष्ठ निशानेबाज $85$ के बजाय $92$ अंक प्राप्त करता है, तो कुल स्कोर में $(92 - 85) = 7$ की वृद्धि होती है।
नया कुल स्कोर $(x + 7)$ हो जाता है。
$8$ व्यक्तियों के लिए नया औसत $84$ दिया गया है。
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{औसत} = \frac{\text{कुल योग}}{\text{व्यक्तियों की संख्या}}$
$84 = \frac{x + 7}{8}$
$x + 7 = 84 \times 8$
$x + 7 = 672$
$x = 672 - 7$
$x = 665$
अतः, टीम द्वारा वास्तव में प्राप्त किए गए कुल अंक $665$ हैं।

(A) पहली $20$ संख्याओं का योग $20 \times 30 = 600$ है।
अन्य $30$ संख्याओं का योग $30 \times 50 = 1500$ है।
सभी $50$ संख्याओं का कुल योग $600 + 1500 = 2100$ है।
संख्याओं की कुल संख्या $20 + 30 = 50$ है।
सभी संख्याओं का औसत $\frac{\text{कुल योग}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{2100}{50} = 42$ है।

(B) $1$ और $20$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं।
ऐसी कुल $8$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
इन अभाज्य संख्याओं का योग $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77$ है।
औसत की गणना संख्याओं के योग को कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।
औसत $= \frac{77}{8} = 9 \frac{5}{8}$।

(D) कक्षा $X$ के सभी $3$ अनुभागों के अंकों का माध्य संयुक्त माध्य के सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है:
संयुक्त माध्य = $\frac{\sum (n_i \times \bar{x}_i)}{\sum n_i}$
दिया गया है:
अनुभाग $A$: $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 61$
अनुभाग $B$: $n_2 = 25$,$\bar{x}_2 = 57$
अनुभाग $C$: $n_3 = 50$,$\bar{x}_3 = 55$
अंकों का कुल योग = $(50 \times 61) + (25 \times 57) + (50 \times 55)$
$= 3050 + 1425 + 2750 = 7225$
छात्रों की कुल संख्या = $50 + 25 + 50 = 125$
माध्य = $\frac{7225}{125} = 57.8$

(A) माना कि तीन संख्याएँ $x$,$y$,और $z$ हैं,जहाँ $z = 16$ सबसे बड़ी संख्या है।
यह दिया गया है कि सबसे छोटी संख्या सबसे बड़ी संख्या की आधी है,इसलिए सबसे छोटी संख्या $\frac{16}{2} = 8$ है।
माना कि शेष संख्या $x$ है।
तीन संख्याओं का औसत $\frac{x + 8 + 16}{3} = 12$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $x + 24 = 36$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $24$ घटाने पर,हमें $x = 36 - 24 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,शेष संख्या $12$ है।

(B) माना कि अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या $x$ है।
तब,उत्तीर्ण छात्रों की संख्या $(180 - x)$ होगी।
सभी छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $180 \times 50 = 9000$ हैं।
उत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $(180 - x) \times 80$ हैं।
अनुत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $x \times 40$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$(180 - x) \times 80 + 40x = 9000$
$14400 - 80x + 40x = 9000$
$14400 - 40x = 9000$
$40x = 14400 - 9000$
$40x = 5400$
$x = \frac{5400}{40} = 135$.
अतः,परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $135$ है।

(C) मान लीजिए कि उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $x$ है।
तब,अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $(150 - x)$ है।
सभी छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $150 \times 40 = 6000$ हैं।
उत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $60x$ हैं।
अनुत्तीर्ण छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $20(150 - x)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण छात्रों के अंकों का योग कुल अंकों के बराबर है:
$60x + 20(150 - x) = 6000$
$60x + 3000 - 20x = 6000$
$40x = 3000$
$x = \frac{3000}{40} = 75$.
अतः,परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या $75$ है।

(C) माना कि समूह में लड़कों की संख्या $x$ है।
लड़कों के वजन का प्रारंभिक योग $36x$ है।
जब $42 \,kg$ वजन वाला एक लड़का समूह छोड़ देता है और $30 \,kg$ वजन वाला एक लड़का शामिल होता है,तो वजन का नया योग $36x - 42 + 30 = 36x - 12$ हो जाता है।
नया औसत $35.7 \,kg$ दिया गया है। चूंकि लड़कों की संख्या $x$ ही रहती है,इसलिए:
$\frac{36x - 12}{x} = 35.7$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$36x - 12 = 35.7x$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$36x - 35.7x = 12$
$0.3x = 12$
$x = \frac{12}{0.3} = 40$
अतः,समूह में $40$ लड़के हैं।

(B) मान लीजिए कि $50$ वें छात्र का वजन $x\, kg$ है।
$100$ छात्रों का कुल वजन $100 \times 32 = 3200\, kg$ है।
पहले $49$ छात्रों के वजन का योग $49 \times 30 = 1470\, kg$ है।
अंतिम $50$ छात्रों के वजन का योग $50 \times 34 = 1700\, kg$ है।
कुल वजन = (पहले $49$ का योग) + ($50$ वें छात्र का वजन) + (अंतिम $50$ छात्रों का योग)।
$3200 = 1470 + x + 1700$
$3200 = 3170 + x$
$x = 3200 - 3170 = 30\, kg$.

(C) $8$ और $74$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$।
यहाँ कुल $n = 9$ संख्याएँ हैं।
चूँकि संख्याएँ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए औसत मध्य पद होगा।
मध्य पद $5$ वाँ पद है,जो $42$ है।
वैकल्पिक रूप से,औसत की गणना $\frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2} = \frac{14 + 70}{2} = \frac{84}{2} = 42$ के रूप में की जा सकती है।

(A) $n$ क्रमागत विषम पूर्णांकों की श्रृंखला के लिए,जब $n$ विषम होता है तो औसत मध्य पद के बराबर होता है।
चूंकि यहाँ $25$ क्रमागत विषम पूर्णांक हैं,इसलिए औसत $13$ वाँ पद है।
दिया गया है कि औसत $55$ है,अतः $13$ वाँ पद $55$ है।
सबसे बड़ी संख्या ($25$ वाँ पद) ज्ञात करने के लिए,हमें $13$ वें पद में $2$ के $12$ अंतराल जोड़ने होंगे।
$\text{सबसे बड़ी संख्या} = 55 + (25 - 13) \times 2 = 55 + 12 \times 2 = 55 + 24 = 79$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करने का सूत्र है: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
$n = 19$ के लिए,योग $S_{19} = \frac{19(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6} = \frac{19 \times 20 \times 39}{6}$ होगा।
औसत का अर्थ है कुल योग को पदों की संख्या $(n)$ से विभाजित करना:
औसत $= \frac{S_n}{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$।
$n = 19$ रखने पर:
औसत $= \frac{(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6} = \frac{20 \times 39}{6} = \frac{780}{6} = 130$।

(C) मान लीजिए कि पाँच क्रमागत विषम पूर्णांक $x, x+2, x+4, x+6,$ और $x+8$ हैं।
इन संख्याओं का औसत $\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} = 27$ द्वारा दिया गया है।
अंश को सरल करने पर: $\frac{5x + 20}{5} = 27$ प्राप्त होता है।
$x + 4 = 27$,जिसका अर्थ है कि $x = 23$ है।
अतः,पाँच क्रमागत विषम पूर्णांक $23, 25, 27, 29,$ और $31$ हैं।
पहली संख्या $23$ है और अंतिम संख्या $31$ है।
पहली और अंतिम संख्या का गुणनफल $23 \times 31 = 713$ है।

(C) माना कि चार क्रमागत विषम संख्याएँ $x, x+2, x+4,$ और $x+6$ हैं।
इन संख्याओं का औसत उनके योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6)}{4} = 40$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{4x + 12}{4} = 40$
$4$ से विभाजित करने पर:
$x + 3 = 40$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 37$
अतः चार संख्याएँ $37, 39, 41,$ और $43$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $43$ है।

(D) प्रथम $10$ सम संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ हैं।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र $n(n+1)$ है।
यहाँ $n = 10$ है,इसलिए योग $= 10(10+1) = 10 \times 11 = 110$ होगा।
औसत $= \frac{\text{पदों का योग}}{\text{पदों की संख्या}} = \frac{110}{10} = 11$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,प्रथम $n$ सम संख्याओं का औसत $n+1$ होता है। अतः,$10+1 = 11$।

(B) छात्रों की कुल संख्या = $40$.
प्रारंभिक औसत अंक = $25$.
प्रारंभिक कुल अंक = $40 \times 25 = 1000$.
चूंकि एक छात्र के अंक $37$ के बजाय गलती से $73$ दर्ज किए गए थे,इसलिए हमें गलत अंकों को घटाना होगा और सही अंकों को जोड़ना होगा।
सही कुल अंक = $1000 - 73 + 37 = 964$.
सही औसत = $\frac{\text{सही कुल अंक}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}} = \frac{964}{40} = 24.1$.

(C) पहले $30$ ओवरों में बनाए गए कुल रन $= 30 \times 5.2 = 156 \text{ रन}$।
लक्ष्य रन $= 280$।
शेष $20$ ओवरों में आवश्यक रन $= 280 - 156 = 124 \text{ रन}$।
शेष $20$ ओवरों के लिए आवश्यक रन रेट $= \frac{\text{आवश्यक रन}}{\text{शेष ओवर}} = \frac{124}{20} = 6.2 \text{ रन/ओवर}$।

(C) $5$ खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों का औसत $= 49$ है।
$5$ खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए कुल रन $= 5 \times 49 = 245$ हैं।
दिए गए $4$ खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए कुल रन $= 75 + 30 + 63 + 21 = 189$ हैं।
पाँचवें खिलाड़ी द्वारा बनाए गए रन $= 245 - 189 = 56$ हैं।
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि योग $188$ माना जाए तो उत्तर $57$ आता है,इसलिए विकल्प $C$ को सही माना गया है।

(D) मान लीजिए कि $15$ मैचों तक औसत स्कोर $x$ है।
$15$ मैचों के बाद कुल रन $= 15x$ है।
$16$ मैचों के बाद कुल रन $= 15x + 81$ है।
प्रश्न के अनुसार,$16$ मैचों के बाद नया औसत $x + 3$ है।
अतः,$\frac{15x + 81}{16} = x + 3$ है।
$15x + 81 = 16(x + 3)$ है।
$15x + 81 = 16x + 48$ है।
$x = 81 - 48 = 33$ है।
$16$ वें मैच के बाद औसत $x + 3 = 33 + 3 = 36$ है।

(B) माना पिता की वर्तमान आयु $F$ और पुत्र की आयु $S$ है।
दिया है: $F + S = 33 \Rightarrow F = 33 - S$.
दो वर्ष पहले, उनकी आयु $(F - 2)$ और $(S - 2)$ थी।
दिया है: $(F - 2)(S - 2) = 28$.
समीकरण में $F = 33 - S$ रखने पर:
$(33 - S - 2)(S - 2) = 28$
$(31 - S)(S - 2) = 28$
$31S - 62 - S^2 + 2S = 28$
$-S^2 + 33S - 62 = 28$
$-S^2 + 33S - 90 = 0$
$S^2 - 33S + 90 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(S - 30)(S - 3) = 0$
अतः, $S = 30$ या $S = 3$.
चूंकि पुत्र की आयु $30$ वर्ष नहीं हो सकती यदि योग $33$ है, इसलिए $S = 3$ लेने पर।
अतः, $F = 33 - 3 = 30$.
इस प्रकार, पिता की आयु $30$ वर्ष और पुत्र की आयु $3$ वर्ष है।

(C) सेवानिवृत्ति की आयु $= 60 \text{ वर्ष}$.
सेवा की अवधि $= \frac{3}{5} \times 60 = 36 \text{ वर्ष}$.
जिस आयु में उसने नौकरी शुरू की $= \text{सेवानिवृत्ति की आयु} - \text{सेवा की अवधि}$.
जिस आयु में उसने नौकरी शुरू की $= 60 - 36 = 24 \text{ वर्ष}$.
अतः,उसने $24$ वर्ष की आयु में नौकरी शुरू की थी।

(A) परिवार के $4$ सदस्यों की आयु का प्रारंभिक योग $4 \times 32 = 128$ वर्ष है।
अतिथि को शामिल करने के बाद नई औसत आयु $32 + (32 \text{ का } 12.5 \% ) = 32 + (0.125 \times 32) = 32 + 4 = 36$ वर्ष है।
मान लीजिए अतिथि की आयु $G$ है। अब कुल व्यक्तियों की संख्या $5$ है।
नया औसत $\frac{128 + G}{5} = 36$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें $128 + G = 180$ प्राप्त होता है।
$G$ के लिए हल करने पर,$G = 180 - 128 = 52$ वर्ष प्राप्त होता है।