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Question

(D) दिया गया सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{H_n}{n^{2}}\right)^{n}$,जहाँ $H_n = 1+\frac{1}{2}+\ld

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$1$

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(D) दिया गया सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{H_n}{n^{2}}\right)^{n}$,जहाँ $H_n = 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ है।सूत्र $\lim _{n \rightarrow \infty}(1+f(n))^{g(n)} = e^{\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)g(n)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$L = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n^2} \cdot n\right) = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n}\right)$.हम जानते हैं कि $H_n \approx \ln(n) + \gamma$ (जहाँ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है)।अतः,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(n) + \gamma}{n} = 0$.इसलिए,$L = e^0 = 1$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}{n^{2}}\right)^{n} = \dots$

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