f(x) = begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x neq 3 | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 3} f(x) = f(3) = k$ होना चाहिए। सबसे पहले,सीमा $\lim_{x 	o 3} ([x^2] - [-x^2])$ का मूल्यांकन कर

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$k$ का कोई भी मान $f(x)$ को $x = 3$ पर सतत नहीं बना सकता

Vedclass · Answer

(D) $f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 3} f(x) = f(3) = k$ होना चाहिए। सबसे पहले,सीमा $\lim_{x 	o 3} ([x^2] - [-x^2])$ का मूल्यांकन करें। महत्तम पूर्णांक फलन का गुण याद करें: यदि $y \in \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = 0$,और यदि $y 
otin \mathbb{Z}$ है,तो $[y] + [-y] = -1$ होता है। जैसे $x 	o 3$,$x^2 	o 9$ होता है। चूंकि $9$ एक पूर्णांक है,हम बाएँ हाथ की सीमा $(x 	o 3^-)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(x 	o 3^+)$ की जाँच करते हैं। $x 	o 3^-$ के लिए,$x^2  0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 8$ और $[-x^2] = [-9 + h] = -9$ होगा। अतः,$\lim_{x 	o 3^-} ([x^2] - [-x^2]) = 8 - (-9) = 17$। $x 	o 3^+$ के लिए,$x^2 > 9$,इसलिए $x^2 = 9 + h$ जहाँ $h > 0$ बहुत छोटी संख्या है। तब $[x^2] = 9$ और $[-x^2] = [-9 - h] = -10$ होगा। अतः,$\lim_{x 	o 3^+} ([x^2] - [-x^2]) = 9 - (-10) = 19$। चूंकि बाएँ हाथ की सीमा $(17)$ दाएँ हाथ की सीमा $(19)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x 	o 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है। इसलिए,$k$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो फलन को $x = 3$ पर सतत बना सके।

$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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यदि $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$,$x \in R$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{x^4-5x^2+4}{|(x-1)(x-2)|} & , x \neq 1,2 \\ 6 & , x=1 \\ 12 & , x=2 \end{cases}$. तो $f(x)$ किस समुच्चय पर सतत है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} a + bx, & x < 1 \\ 4, & x = 1 \\ b - ax, & x > 1 \end{cases}$ और यदि $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ है,तो $a$ और $b$ के संभावित मान क्या हैं?

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