f(x) = [x] + sqrt{{x}} पर विचार करें,जहाँ [.] | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = [x] + \sqrt{\{x\}}$.किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[x]$ और $\{x\}$ सतत हैं,इसलिए $f(x)$ सतत है।अब,पूर्णांक $n \in I$ पर सांतत्य की

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$f(x)$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है।

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = [x] + \sqrt{\{x\}}$.किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[x]$ और $\{x\}$ सतत हैं,इसलिए $f(x)$ सतत है।अब,पूर्णांक $n \in I$ पर सांतत्य की जाँच करें।बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \lim_{x 	o n^-} ([x] + \sqrt{\{x\}}) = (n-1) + \sqrt{1} = n-1+1 = n$.दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \lim_{x 	o n^+} ([x] + \sqrt{\{x\}}) = n + \sqrt{0} = n$.फलन का मान: $f(n) = [n] + \sqrt{\{n\}} = n + 0 = n$.चूँकि $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \lim_{x 	o n^+} f(x) = f(n) = n$,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर सतत है।अतः,$f(x)$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है।

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$R$ से $R$ तक एक फलन $f$,बिंदु $a \in R$ पर सतत है यदि प्रत्येक $\epsilon > 0$ के लिए,एक ऐसा $\delta > 0$ विद्यमान है कि:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{3 \sin(\pi x)}{5x} & x \neq 0 \\ 2K & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} & , \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + kx + \lambda \log 4 & , \text{यदि } x \le 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $500 e^\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्या $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{यदि } x \le 1 \\ x - 5, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?

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