int sin^5 x , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$. हम $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$ लिख सकते हैं। अतः,$I = \int (1

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$-\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{\cos^5 x}{5} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$. हम $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$ लिख सकते हैं। अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$. माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -du$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du$. पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = -(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + c = -u + \frac{2}{3} u^3 - \frac{1}{5} u^5 + c$. $u = \cos x$ वापस रखने पर: $I = -\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + c$.

$\int \sin^5 x \, dx =$

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