int frac{2+cos frac{x}{2}}{x+sin frac{x}{2}} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{2+\cos \frac{x}{2}}{x+\sin \frac{x}{2}} \,d x$. $t = x + \sin \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक

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$2 \log \left|x+\sin \frac{x}{2}\right|+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{2+\cos \frac{x}{2}}{x+\sin \frac{x}{2}} \,d x$. $t = x + \sin \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 1 + \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 + \cos \frac{x}{2}}{2}$. अतः,$(2 + \cos \frac{x}{2}) dx = 2 dt$. इन मानों को समाकल में रखने पर: $I = \int \frac{2}{t} dt = 2 \int \frac{1}{t} dt$. समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = 2 \log |t| + c$. $t = x + \sin \frac{x}{2}$ वापस रखने पर: $I = 2 \log \left| x + \sin \frac{x}{2} \right| + c$.

$\int \frac{2+\cos \frac{x}{2}}{x+\sin \frac{x}{2}} \,d x=$

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समाकलन $\int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{\left(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x\right)^2} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{1}{x} \log x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{3x^2}{x^6 + 1} dx = $

समाकलन $\int \frac{2 x^3-1}{x^4+x} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sin x}{\sqrt{5 \sin ^2 x+6 \cos ^2 x}} \,d x=$

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