frac{1}{2} + frac{3}{2} cdot frac{1}{4} + fra | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{n} \cdot \frac{1}{2^n}$ है।हम सामान्य पद को $\left( 2 - \frac{1}{n} \right) \frac{1}{2^n} = 2 \c

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$2 - \log_e 2$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{n} \cdot \frac{1}{2^n}$ है।हम सामान्य पद को $\left( 2 - \frac{1}{n} \right) \frac{1}{2^n} = 2 \cdot \frac{1}{2^n} - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2^n}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$S = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n}$।अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \sum_{n=1}^{\infty} (1/2)^n = 2 \cdot \frac{1/2}{1 - 1/2} = 2(1) = 2$ प्राप्त होता है।लघुगणकीय श्रेणी के विस्तार $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ का उपयोग करने पर,$x = 1/2$ के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n} = -\ln(1 - 1/2) = -\ln(1/2) = \ln 2$ प्राप्त होता है।इसलिए,$S = 2 - \ln 2$।

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{16} + \dots \infty = $

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