$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 5 & \pi \\ {{\log }_e}e & 5 & {\sqrt 5 } \\ {{\log }_{10}}10 & 5 & e \end{array}} \right| = $

यदि $a, b, c$ सभी अलग-अलग हैं और $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$ है,तो $abc(ab + bc + ca)$ का मान क्या होगा?

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(b + c)}^2} & {{a^2}} & {{a^2}} \\ {{b^2}} & {{(a + c)}^2} & {{b^2}} \\ {{c^2}} & {{c^2}} & {{(a + b)}^2} \end{array}} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right| = k$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} 6a & 2b & 2c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right| = $

मान लीजिए $a, b, c$ इस प्रकार हैं कि $b + c \ne 0$। यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} \cdot a & (-1)^{n+1} \cdot b & (-1)^n \cdot c \end{array} \right| = 0$ है,तो $n$ किसके बराबर है?

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ जहाँ $p$ कोई अदिश है।