P मूल बिंदु से वक्र y = log_{e} x पर खींची गई | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $y = \log_{e} x$ $(i)$ है। माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ है। $P$ पर स्पर

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$\sqrt{e^{2}+1}$

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(D) दिया गया वक्र $y = \log_{e} x$ $(i)$ है। माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - \beta) = \frac{1}{\alpha}(x - \alpha)$ है। चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $(0 - \beta) = \frac{1}{\alpha}(0 - \alpha)$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है। समीकरण $(i)$ से,$P$ पर,$\beta = \log_{e} \alpha$ है। $\beta = 1$ होने के कारण,$1 = \log_{e} \alpha$,अतः $\alpha = e$ है। इस प्रकार,स्पर्श बिंदु $P(e, 1)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{1}{e}$ है,इसलिए $P$ पर अभिलंब की ढाल $-e$ है। $P(e, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = -e(x - e)$ है,जिसे सरल करने पर $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ प्राप्त होता है। मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|e(0) + 1(0) - (e^{2} + 1)|}{\sqrt{e^{2} + 1^{2}}} = \frac{e^{2} + 1}{\sqrt{e^{2} + 1}} = \sqrt{e^{2} + 1}$ है।

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वक्रों $x^2=8y$ और $xy=8$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(h, k)$ वक्र $y=x^{2}+7x+2$ पर एक बिंदु है जो रेखा $y=3x-3$ के सबसे निकट है। तो $P$ पर वक्र के अभिलंब का समीकरण क्या है?

यदि वक्र $x = a(\theta + \sin \theta ), y = a(1 - \cos \theta ), a \neq 0$ पर बिंदु $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $ST$ और $SN$ अधःस्पर्शक (subtangent) और अधोलंब (subnormal) की लंबाइयाँ हैं,तो:

वक्र $y=x^{3}-11x+5$ पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y=x-11$ है।

वक्र $y = x^{3} - 3x + 2$ के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जिसका $x$-निर्देशांक $3$ है।

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