int_{0}^{pi / 4} frac{sin x+cos x}{3+sin 2 x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4} \log 3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$. તેથી,સંકલન $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3 + 1 - (\sin x - \cos x)^2} d x = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{4 - (\sin x - \cos x)^2} d x$ બને છે. ધારો કે $t = \sin x - \cos x$. તો $dt = (\cos x + \sin x) dx$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$. જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$. આમ,$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{2^2 - t^2}$. સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$. $I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

$\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ ની કિંમત શું છે?

Similar Questions

$\int_{0}^{1} e^{x e^{x}} (1 + x e^{x}) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-2}^{1} [x+1] \, dx =$ (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$.

$\int_0^1 x \tan^{-1} x \, dx = $

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module