एक प्राकृतिक संख्या $n$ इस प्रकार है कि $n!$ के अंत में ठीक $1000$ शून्य हैं,तो वह संख्या है

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$: संख्या $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ के गैर-तुच्छ सम भाजकों की संख्या $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ है।
$II$: संख्या $N = 2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2} 4^{\alpha_3} 5^{\alpha_4} 6^{\alpha_5}$ के गैर-तुच्छ विषम भाजकों की संख्या $\alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ है। तो:

कितने $(m, n)$ पूर्णांकों के क्रमित युग्म $\frac{m}{12} = \frac{12}{n}$ को संतुष्ट करते हैं?

$(x+\frac{2}{x}-5)^{12}$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक है

$67500$ के विषम धनात्मक भाजकों की संख्या है

$3$-अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $2$ और $3$ से विभाज्य हैं,लेकिन $4$ और $9$ से विभाज्य नहीं हैं?