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Question

(C) हमें इस सीमा (limit) का मूल्यांकन करना है: $\lim _{x \rightarrow 1} \left( \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right) \right)$.सबसे

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$1$

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(C) हमें इस सीमा (limit) का मूल्यांकन करना है: $\lim _{x \rightarrow 1} \left( \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right) \right)$.सबसे पहले,आंतरिक सीमा पर विचार करें: $L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right)$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x/y$ है:$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( (1 + \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots) - 1 \right)$$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots \right)$$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} \left( x + \frac{x^2}{2y} + \dots \right) = x$.अब,बाहरी सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim _{x \rightarrow 1} (x) = 1$.

$\lim _{x \rightarrow 1} \left( \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( (e^x)^{1/y} - 1 \right) \right) = $

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