int_0^1 x^{5/2} (1-x)^{3/2} , dx = | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन बीटा फलन के रूप में है,$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \, dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$.यहाँ,$m-1 = 5/2 \im

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$\frac{3\pi}{256}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन बीटा फलन के रूप में है,$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \, dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$.यहाँ,$m-1 = 5/2 \implies m = 7/2$ और $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$.अतः,समाकलन $B(7/2, 5/2) = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(7/2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(6)}$ है।$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ और $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:$\Gamma(7/2) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{15\sqrt{\pi}}{8}$.$\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$.$\Gamma(6) = 5! = 120$.इन मानों को रखने पर:समाकलन $= \frac{(\frac{15\sqrt{\pi}}{8}) \cdot (\frac{3\sqrt{\pi}}{4})}{120} = \frac{45\pi}{32 \cdot 120} = \frac{45\pi}{3840} = \frac{3\pi}{256}$.

$\int_0^1 x^{5/2} (1-x)^{3/2} \, dx =$

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मान लीजिए $f(x) = x - [x],$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,जहाँ $[x]$ का $x$ का पूर्णांक भाग है। तो $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx =$

$\int_0^4 \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}} dx =$

$\int_{1}^{3} \frac{|x-1|}{|x-2|+|x-3|} d x=$

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \infty\right) e^{2x} \, dx$.

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