$ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। $AB$ और $AD$ को निर्देशांक अक्ष मानते हुए,वर्ग के शीर्षों से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$2x - 3y + 1 = 0$ और $4x - 5y - 1 = 0$ वृत्त $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy - 11 = 0$ के दो व्यासों के समीकरण हैं। $Q$ और $R$ बिंदु $P(-2, -2)$ से इस वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु हैं। यदि $C$ वृत्त $S = 0$ का केंद्र है,तो चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

$a$ के मानों का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(a, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ को संतुष्ट करता है:

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों $c_1$ और $c_2$ की उभयनिष्ठ जीवा उनके केंद्रों पर क्रमशः $90^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाती है। यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $\sqrt{3} + 1$ है,तो $c_1$ और $c_2$ की त्रिज्याएँ हैं:

मान लीजिए $C$ केंद्र $(2,0)$ वाला सबसे बड़ा वृत्त है जो दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ के अंतर्गत स्थित है। यदि $(1, \alpha)$ वृत्त $C$ पर स्थित है,तो $10 \alpha^2$ का मान $.........$ है।

मान लीजिए $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,जहाँ $r > 0$ है। गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ पर विचार करें। मान लीजिए $S_0 = 0$ है और,$n \geq 1$ के लिए,$S_n$ इस श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग दर्शाता है। $n \geq 1$ के लिए,$C_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, 0)$ और त्रिज्या $a_n$ है,और $D_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n$ है।
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ के साथ $M$ पर विचार करें। मान लीजिए $k$ उन सभी वृत्तों $C_n$ की संख्या है जो $M$ के अंदर हैं। मान लीजिए $l$ इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभव संख्या है ताकि कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को न काटें। तब
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ के साथ $M$ पर विचार करें। $M$ के अंदर स्थित उन सभी वृत्तों $D_n$ की संख्या है
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$