$15$ છોકરીઓ એક ગોળ ટેબલ પર બેઠેલી છે. ત્રણ છોકરીઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી ત્રણેય એકસાથે ન બેઠેલી હોય.

એક સમતલમાં $37$ સીધી રેખાઓ છે,જેમાંથી $13$ રેખાઓ બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને $11$ રેખાઓ બિંદુ $B$ માંથી પસાર થાય છે. વધુમાં,કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ (બિંદુ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ સિવાય) એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી અને કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી. તો સીધી રેખાઓના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

$21$ સફેદ દડા અને $19$ કાળા દડાને એક હારમાં એવી રીતે કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા સાથે ન આવે?

એક ચેસ ટુર્નામેન્ટમાં બે મહિલાઓ કેટલાક પુરુષો સાથે ભાગ લઈ રહી છે. દરેક સહભાગીએ અન્ય દરેક સહભાગી સાથે બે રમતો રમી. પુરુષોએ પોતાની વચ્ચે રમેલી રમતોની સંખ્યા એ પુરુષોએ મહિલાઓ સાથે રમેલી રમતોની સંખ્યા કરતા $66$ વધારે છે. તો ટુર્નામેન્ટમાં કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા શોધો.

$10$ સમાંતર રેખાઓના સમૂહને $m$ સમાંતર રેખાઓના બીજા સમૂહ દ્વારા છેદવામાં આવે છે. જો આ બે રેખાઓના સમૂહ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા $675$ હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો:

$n$ બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $(T_n)$ એ $T_n = \binom{n}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $T_{n+1} - T_n = 21$ હોય,તો $n$ ની કિંમત કેટલી થાય?