sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 का मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(B) दिया गया योग $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ है। इसे $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$

Vedclass · Accepted Answer

${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया योग $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ है। इसे $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$ के रूप में लिखा जा सकता है। सर्वसमिका ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए,हम ${}^{k} C_5$ को ${}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,योग इस प्रकार होगा: $\sum_{k=30}^{40} ({}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6) = ({}^{31} C_6 - {}^{30} C_6) + ({}^{32} C_6 - {}^{31} C_6) + \dots + ({}^{41} C_6 - {}^{40} C_6)$। यह एक टेलीस्कोपिंग योग है,जो सरल होकर ${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$ प्राप्त होता है।

$\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

यदि ${}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, \ldots, {}^n C_n$ द्विपद गुणांक $(1+x)^n$ के विस्तार में हैं,तो $n=10$ के लिए,$\sum_{r=1}^{10} {}^n C_r \cdot r(r-4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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