परवलय y^2 = 5x पर एक बिंदु P पर खींची गई अभिल | vedclass

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Question

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।$P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $Q(at_1^2

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$(10, -5\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।$P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $Q(at_1^2, 2at_1)$ पर मिलता है,जहाँ $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ है।जीवा $PQ$ शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP$ और $OQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।$OP$ की प्रवणता $= \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t}$ है।$OQ$ की प्रवणता $= \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है।अतः,$\left(\frac{2}{t}ight) 	imes \left(\frac{2}{t_1}ight) = -1 \implies t_1 = -\frac{4}{t}$ है।$t_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-t - \frac{2}{t} = -\frac{4}{t} \implies t = \frac{2}{t} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ (चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है)।तब $t_1 = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ है।$Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1) = \left(\frac{5}{4}(-2\sqrt{2})^2, 2(\frac{5}{4})(-2\sqrt{2})ight) = \left(\frac{5}{4}(8), -5\sqrt{2}ight) = (10, -5\sqrt{2})$ हैं।

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यदि बिंदु $P$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,तो $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

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