10 ft ऊँचाई और 30^{circ} अर्ध-शीर्ष कोण वाले | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए किसी समय $t$ पर पानी की ऊँचाई $h$, त्रिज्या $r$ और तिरछी ऊँचाई $l$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।शंकु की ज्यामिति

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$2 \pi$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए किसी समय $t$ पर पानी की ऊँचाई $h$, त्रिज्या $r$ और तिरछी ऊँचाई $l$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।शंकु की ज्यामिति से, $r = h 	an 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}ight)^2 h = \frac{\pi h^3}{9}$.चूँकि $V = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}}$ दिया गया है, $\frac{\pi h^3}{9} = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}} \Rightarrow h^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24 \sqrt{3} = (2 \sqrt{3})^3$, इसलिए $h = 2 \sqrt{3} \ ft$.तिरछी ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \frac{h^2}{3}} = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dl}{dt} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt}$.$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (घट रहा है) दिया गया है, इसलिए $-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2} \ ft/min$.आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi h^3}{9}ight) = \frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt}$.$h = 2 \sqrt{3}$ और $\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2}$ रखने पर, $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (2 \sqrt{3})^2 \left(-\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{3} (12) \left(-\frac{1}{2}ight) = -2 \pi \ cu. \ ft/min$.अतः, पानी का आयतन $2 \pi \ cu. \ ft/min$ की दर से घट रहा है।

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