int_0^{pi / 4} x^2 sin 2x , dx = | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 4} x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv

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$\frac{\pi-2}{8}$

Vedclass · Answer

(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 4} x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.मान लीजिए $u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$. तब $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.$I = \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} - \int_0^{\pi / 4} \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) (2x) \, dx$$I = \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} + \int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx$प्रथम पद का मान: $-\frac{(\pi/4)^2 \cos(\pi/2)}{2} - 0 = 0$ (क्योंकि $\cos(\pi/2) = 0$).अब $\int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx$ का मूल्यांकन पुनः खंडशः समाकलन द्वारा करते हैं:मान लीजिए $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$. तब $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$.$\int_0^{\pi / 4} x \cos 2x \, dx = \left[ \frac{x \sin 2x}{2} \right]_0^{\pi / 4} - \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2} \, dx$$= \left( \frac{(\pi/4) \sin(\pi/2)}{2} - 0 \right) - \left[ -\frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi / 4}$$= \frac{\pi}{8} + \left[ \frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi / 4} = \frac{\pi}{8} + \left( \frac{\cos(\pi/2)}{4} - \frac{\cos 0}{4} \right)$$= \frac{\pi}{8} + (0 - \frac{1}{4}) = \frac{\pi-2}{8}$.

$\int_0^{\pi / 4} x^2 \sin 2x \, dx =$

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