$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx = $

$\frac{\int_{0}^{\pi/2} (x \cos x + 1) e^{\sin x} dx}{\int_{0}^{\pi/2} (x \sin x + 1) e^{\cos x} dx}$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય - ની બરાબર છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x)+f(x+1)=2$ થાય છે. જો $I_{1}=\int_{0}^{8} f(x) d x$ અને $I_{2}=\int_{-1}^{3} f(x) d x$ હોય,તો $I_{1}+2 I_{2}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $[\bullet]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. જો $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx$ હોય, તો $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\alpha\pi} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} \right) d\theta$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $f:[-2, 3] \to [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે જેથી દરેક $x \in [-2, 3]$ માટે $f(1-x) = f(x)$ થાય. જો $R_1$ એ $y = f(x)$,$x = -2$,$x = 3$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ હોય અને $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$ હોય,તો:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.