बिंदु (1, 2, -3) से गुजरने वाला एक समतल ( pi | vedclass

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Question

(C) माना समतल का समीकरण $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ है। चूंकि यह $(1, 2, -3)$ से गुजरता है, हमारे पास $a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$ है, जिसका अर्थ है

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$2$

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(C) माना समतल का समीकरण $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ है। चूंकि यह $(1, 2, -3)$ से गुजरता है, हमारे पास $a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$ है, जिसका अर्थ है $a + 2b - 3c = -1$ (समीकरण $i$)। चूंकि समतल $x + y - z + 4 = 0$ और $2x - y + z + 1 = 0$ के लंबवत है, इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ इन समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ के लंबवत है। अतः, $a + b - c = 0$ (समीकरण $ii$) और $2a - b + c = 0$ (समीकरण $iii$)। समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर, हमें $3a = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $a = 0$। $a = 0$ को $(ii)$ में रखने पर, हमें $b - c = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $b = c$। $a = 0$ और $b = c$ को $(i)$ में रखने पर, हमें $0 + 2c - 3c = -1$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $-c = -1$, इसलिए $c = 1$। इस प्रकार, $b = 1$। मान $a = 0, b = 1, c = 1$ हैं। इसलिए, $a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$।

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