अतिपरवलय frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2} | vedclass

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Question

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूंकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है, $Q$ के निर्देशांक $(x_1, -y_1)$ होंगे।$\Delta OPQ$ समबाहु है और $M$, $PQ$ का

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$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूंकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है, $Q$ के निर्देशांक $(x_1, -y_1)$ होंगे।$\Delta OPQ$ समबाहु है और $M$, $PQ$ का मध्यबिंदु $x$-अक्ष पर है, इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा।$\Delta OMP$ में, $	an 30^{\circ} = \frac{y_1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, जिससे $x_1 = \sqrt{3} y_1$ प्राप्त होता है।चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है, $\frac{3y_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ होगा।इससे $y_1^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} ight) = 1$ मिलता है। $y_1^2 > 0$ के लिए, $3b^2 > a^2$ अर्थात $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$ होना चाहिए।$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर, $e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, अर्थात $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

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अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(1, 2)$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ और नियता $2x + y = 1$ है।

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