int 2^x (f^{prime}(x) + f(x) log 2) , dx का म | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x

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$2^x f(x) + C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$. अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$. माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$. तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$. अतः, समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है, जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है। इसलिए, $I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

$\int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$ का मान क्या है?

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$\int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x=$

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} e^x (\log \sin x + \cot x) \, dx = $

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x>0$ है,का मान है

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