int frac{dx}{sqrt{x^2 - a^2}} का मान क्या है? | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.$x = a \sec 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec 	heta 	an 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।इ

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$\log_e|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.$x = a \sec 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec 	heta 	an 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{a \sec 	heta 	an 	heta \, d	heta}{\sqrt{a^2 \sec^2 	heta - a^2}} = \int \frac{a \sec 	heta 	an 	heta \, d	heta}{a 	an 	heta} = \int \sec 	heta \, d	heta$.$\sec 	heta$ का समाकलन $\log_e |\sec 	heta + 	an 	heta| + c$ होता है।चूँकि $x = a \sec 	heta$,इसलिए $\sec 	heta = \frac{x}{a}$ और $	an 	heta = \sqrt{\sec^2 	heta - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}$ है।अतः,$I = \log_e \left| \frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a} ight| + c = \log_e \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{a} ight| + c$.लघुगणक के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \log_e |a| + c$. यहाँ $-\log_e |a| + c$ को एक नए अचर $c$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$I = \log_e |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$.

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