$\int_0^{\pi /2} \sin^{2m} x \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} \sin^5 x \, dx = $

मान लीजिए $f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ दो फलन हैं जो $f(x)=\int_{-x}^x(|t|-t^2) e^{-t^2} dt$ और $g(x)=\int_0^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $(f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x \in R$ के लिए,मान लीजिए $\tan^{-1}(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब $f: R \rightarrow R$ फलन,जो $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{(t-\cos x)}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा परिभाषित है,का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है, तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

यदि $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।