यदि $S_1, S_2$ और $S_3$ क्रमशः एक समांतर श्रेणी के पहले $n_1, n_2$ और $n_3$ पदों का योग दर्शाते हैं,तो $\frac{S_1}{n_1}(n_2 - n_3) + \frac{S_2}{n_2}(n_3 - n_1) + \frac{S_3}{n_3}(n_1 - n_2) = ....$

मान लीजिए $A = \{1, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{18}, 77\}$ पूर्णांकों का एक समुच्चय है जहाँ $1 < a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{18} < 77$ है। मान लीजिए कि समुच्चय $A + A = \{x + y : x, y \in A\}$ में ठीक $39$ अवयव हैं। तब,$a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{18}$ का मान क्या होगा?

यदि एक $A.P.$ का $9$ वाँ पद $35$ है और $19$ वाँ पद $75$ है,तो इसका $20$ वाँ पद क्या होगा?

मान लीजिए कि हमारे पास एक समांतर श्रेणी $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ है जिसमें $a_1 = 1$ और $a_2 - a_1 = 5$ है। परिमित अनुक्रम $a_1, a_2, \ldots, a_k$ का माध्यिका ज्ञात कीजिए,जहाँ $a_k \leq 2021$ और $a_{k+1} > 2021$ है।

यदि एक $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल उसके प्रथम $m$ पदों के योगफल के बराबर है,$(m \ne n)$,तो उसके प्रथम $(m + n)$ पदों का योगफल होगा

धनात्मक पूर्णांकों के $5$-टुपल्स $(a, b, c, d, e)$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि:
$I.$ $a, b, c, d, e$ एक उत्तल पंचभुज के कोणों के माप डिग्री में हैं।
$II.$ $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.
$III.$ $a, b, c, d, e$ एक समांतर श्रेणी में हैं।