શ્રેણી 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + dots ના n પદોનો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે શ્રેણી $S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots + T_n$ છે. ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $5, 7, 9, 11, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે. ધ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n}{6}[2n^2 + 9n - 5]$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે શ્રેણી $S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots + T_n$ છે. ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $5, 7, 9, 11, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે. ધારો કે $T_n = an^2 + bn + c$. $n=1$ માટે,$T_1 = a + b + c = 1$. $n=2$ માટે,$T_2 = 4a + 2b + c = 6$. $n=3$ માટે,$T_3 = 9a + 3b + c = 13$. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - 1 \implies 3a + b = 5$. $(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 13 - 6 \implies 5a + b = 7$. આ પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $(5a + b) - (3a + b) = 7 - 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1$. $3a + b = 5$ માં $a=1$ મુકતા,$3(1) + b = 5 \implies b = 2$. $a + b + c = 1$ માં $a=1, b=2$ મુકતા,$1 + 2 + c = 1 \implies c = -2$. આમ,$T_n = n^2 + 2n - 2$. હવે,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k - 2) = \sum k^2 + 2\sum k - \sum 2$. $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n$. $S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1) + 6n(n+1) - 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 - 12)}{6} = \frac{n(2n^2 + 9n - 5)}{6}$.

શ્રેણી $1 + 6 + 13 + 22 + 33 + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $9+99+999+\ldots$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $\alpha = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$ અને $\beta = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \infty$ છે. તો $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(\alpha)} + (0.04)^{\log_{5}(\beta)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ ની કિંમત શોધો.

જો એક શ્રેણીનું $n$ મું પદ $n(n + 1)$ હોય,તો તેના $n$ પદોનો સરવાળો......છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module