$\lambda$ के किस मान के लिए,$\hat{i} - 6\hat{j} + 10\hat{k}$,$-\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$,$5\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$,और $7\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ स्थिति सदिश वाले शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $11$ घन इकाई होगा?

मान लीजिए कि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $1 \text{ cu. unit}$ है,जिसकी कोर $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि $\theta$ कोर $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान क्या हो सकता है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे $\vec{OA}, \vec{OB}$ और $\vec{OC}$ हैं,जहाँ $A(4, 3, 1), B(3, 1, 2)$ और $C(5, 2, 1)$ हैं और $O$ मूलबिंदु है,का आयतन ......... घन इकाई है।

मान लीजिए $OA, OB, OC$ एक $V$ आयतन वाले आयताकार समानांतर षट्फलक (rectangular parallelopiped) के सह-अंतिम किनारे हैं और $P$ बिंदु $O$ के विपरीत शीर्ष है। तो, $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु $O$ से तीन रेखाएँ खींची जाती हैं जिनके दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$, $(2, -3, 0)$ और $(1, 0, 3)$ के समानुपाती हैं। ये तीन रेखाएँ

यदि $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]=4$ है,तो $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?