मान लीजिए कि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped | vedclass

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Question

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।$|\over

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$\frac{7}{6 \sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।$|\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \ 1 & 1 & 3 \ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda$.चूंकि आयतन $1$ है,$|3 - \lambda| = 1$,जिसका अर्थ है $3 - \lambda = 1$ या $3 - \lambda = -1$.अतः,$\lambda = 2$ या $\lambda = 4$.स्थिति $1$: यदि $\lambda = 2$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5$.$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.$\cos 	heta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.स्थिति $2$: यदि $\lambda = 4$,तो $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (4)(1) = 2 + 1 + 4 = 7$.$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ और $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{6}$.$\cos 	heta = \frac{7}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{12}} = \frac{7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7}{6\sqrt{3}}$.विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{7}{6\sqrt{3}}$ सही उत्तर है।

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