જો $r$ અને $s$ ધન હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - rx - s = 0$ ના બીજ કેવા હોય?

જો $f(x) = x^2 + bx + c$ અને તમામ $k \in R$ માટે $f(1+k) = f(1-k)$ હોય,બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $b$ અને $c$ માટે,તો:

જો $b_{1} b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$ અને $b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો સમીકરણો $x^{2} + b_{1} x + c_{1} = 0$ અને $x^{2} + b_{2} x + c_{2} = 0$ માંથી ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણના

જો $a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોય,તો સમીકરણ $ax^2 - 2bx + c = 0$ ના બીજ શોધો.

જો $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ એ સમીકરણ $x^4-x^2+x-1=0$ નું એક બીજ હોય,તો તેના વાસ્તવિક બીજ શોધો:

ધારો કે $p(x) = x^2 + ax + b$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $a, b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તમામ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $g(x) = p(x^3)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ $g$ ને બરાબર બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
$II.$ $g$ ને બે કરતા વધારે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોઈ શકે છે.
$III.$ એવી એક વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) \geq \alpha$ થાય.