किस शर्त के लिए व्यंजक $a^2x^2 + bx + 1$ सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होगा?

यदि $x, y, z$ वास्तविक और भिन्न हैं,तो $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$ हमेशा

मान लीजिए कि $p$ और $q$ समीकरण $x^2-2x+A=0$ के मूल हैं और $r$ तथा $s$ समीकरण $x^2-18x+B=0$ के मूल हैं। यदि $p < q < r < s$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $A$ और $B$ का मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ पर विचार करें,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
$I$. किसी भी $n$ के लिए,मूल भिन्न हैं।
$II$. $n$ के ऐसे अनंत मान हैं जिनके लिए दोनों मूल वास्तविक हैं।
$III$. मूलों का गुणनफल अनिवार्य रूप से एक पूर्णांक है।

$x$ और $a$ के वास्तविक मानों के लिए,यदि व्यंजक $\frac{x+a}{2 x^2-3 x+1}$ सभी वास्तविक मान ग्रहण करता है,तो

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+p x+q=0$ के वास्तविक मूल हैं और $\alpha^4, \beta^4$ समीकरण $x^2-r x+s=0$ के मूल हैं,तो समीकरण $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ के हमेशा