यदि रेखा $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - k}{2}$ समतल $2x - 4y + z = 7$ पर स्थित है,तो $k = . . . . $

बिंदुओं $(0, 1, 2)$ और $(-1, 0, 3)$ से होकर जाने वाले तथा समतल $2x + 3y + z = 5$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}$ और $\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले और $xy$-समतल के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P_1$ और $P_2$ दो समतल हैं जो $P_1: 10x + 15y + 12z - 60 = 0$ और $P_2: -2x + 5y + 4z - 20 = 0$ द्वारा दिए गए हैं। निम्नलिखित में से कौन सी सीधी रेखा किसी ऐसे चतुष्फलक (tetrahedron) की कोर (edge) हो सकती है जिसके दो फलक $P_1$ और $P_2$ पर स्थित हैं?
$(A) \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{5}$
$(B) \frac{x-6}{-5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$
$(C) \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z}{4}$
$(D) \frac{x}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z}{3}$

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है:

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $\bar{i}-3 \bar{j}$ है और $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ एक रेखा है। यदि $P$ इस रेखा पर एक बिंदु है और समतल $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ से न्यूनतम दूरी पर है, तो $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए: