बिंदुओं $(2, -3, 1)$ और $(3, -4, -5)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल $2x + y + z = 7$ को किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है?

यदि रेखा $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ समतल $ax + by + cz + d = 0$ के समांतर है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि समतलों $2x - y + z = 3$ और $4x - 3y + 5z + 9 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाला और रेखा $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 2}{5}$ के समांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + 6 = 0$ है,तो $a + b + c$ का मान $.............$ है।

माना $S$ एक बिंदु $Q$ का समतल $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,जहाँ $t, p$ वास्तविक प्राचल हैं और $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ तीन धनात्मक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। यदि $Q$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ और $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$

मान लीजिए कि $P$ वह समतल है जिसमें रेखा $\frac{x-3}{9}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z-7}{-5}$ स्थित है और यह रेखाओं $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ और $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{8}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है। यदि $d$,बिंदु $(2,-5,11)$ से $P$ की दूरी है,तो $d^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ दोनों समतलों $2x + 3y + z = 1$ और $x + 3y + 2z = 2$ के समांतर है। यदि रेखा $L$, $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\alpha$ कोण बनाती है, तो $\cos \alpha =$